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河北省沧州市多校联考2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．0
2．已知 是椭圆 的左､右焦点， 是 上一点，若 ，则 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．已知向量 ， ，若 与 共线，则 （ ）
A．12 B．9 C． D．
4．若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点 ，若过定点 的直线 与线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， 为 的重心，
，且 ， ，则点 到直线 的距离为（ ）A． B． C． D．
7．已知椭圆 的离心率为 ，若椭圆 上的点到直线 的最短距离不小
于 ，则长半轴长 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点 ，直线 ，若直线 上存在点 ，使得 ，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若 为椭圆的方程，则 的值可以为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．1
10．已知直线 与 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 上恰有1个点到直线 的距离为2，则
B．若 上恰有2个点到直线 的距离为2，则 的取值范围是C．若 上恰有3个点到直线 的距离为2，则
D．若 上恰有4个点到直线 的距离为2，则 的取值范围是
11．如图，多面体 是各棱长均为1的平行六面体 截去三棱锥 后剩下
的几何体，若点 是三角形 的重心， ，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．异面直线 所成角的余弦值为
C．
D．若 四点共面，则点 是线段 的中点
三、填空题
12．已知直线 ： ，直线 ： ，若 ，则 .
13．过点 与圆 相切的直线方程为 .
14．已知 、 分别是椭圆 的左､右焦点， 为坐标原点， 是椭圆 上的点，
若 的面积是 ，且 ，则 的离心率是 ．四、解答题
15．已知直线 与直线 相交于点 ．
(1)求过点 且与直线 垂直的直线的方程；
(2)求过点 且在 轴上的截距是在 轴上的截距的2倍的直线的方程．
16．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点.
(1)判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值.
17．已知圆 经过点 ，且与圆 相切于原点 .
(1)求圆 的标准方程；
(2)若直线 不同时为0 与圆 交于 两点，当 取得最小值时， 与圆 交于
两点，求 的值.
18．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，且过点 ．
(1)求 的方程；
(2)若点 是 上的两点，且线段 的中点为 ，求直线 的方程；(3)若点 是 上不同于左､右顶点的一点，点 是 的重心，点 是圆 上的一点，
求 的最大值．
19．如图1，在 中， ， ， ， 分别是 ， 边上的动点（不同于端点），
且 ，将 沿 折起到 的位置，得到四棱锥 ，如图2所示，点 是线段
的中点.
(1)求证： ；
(2)若 ，当四棱锥 的体积取得最大值时，求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B A A C D AC ACD
题号 11
答案 BCD
1．D
由倾斜角的定义可得.
【详解】由题意知直线的倾斜角为0．
故选：D．
2．C
根据椭圆的定义求得正确答案.
【详解】根据椭圆的定义可知 ，
所以 .
故选：C
3．C
由空间向量共线的充要条件列式求得 ， ，即得.
【详解】由向量 ， 共线，
故存在 ，使得 ，即 ，
解得 ， ，所以 ．
故选：C．
4．B
由方程表示圆可得 ，再由点在圆外即可得 ，求得实数 的取值范围是 .
【详解】易知圆 可化为 ，可得 ，即 ；
又 在圆 外部，可得 ，解得 ；可得 .
故选：B.
5．A
根据直线斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可.
【详解】 直线 过定点 ，且直线 与线段 相交，
由图象知， 或 ，则斜率 的取值范围是 ．
故选：A
6．A
建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案.
【详解】如图，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，由 ，可得 ，
为 的重心，所以 ， ， ，则 ， ， ，
故点 到直线 的距离为 .
故选：A
7．C
确定与 距离为 的直线，由题意这条直线与相切或没交点，联立方程，由韦达定理即可求解.
【详解】
设 平行且距离为 的直线方程为 ，
所以 ，解得 或 （结合图象舍去）
设直线 与 平行且它们之间的距离为 ，则 的方程为 ，
由 整理，得 ，
因为 上的点到直线 的最短距离不小于 ，
所以 与椭圆相切或没有交点，
所以 ，整理得 ，
由椭圆 的离心率为 ，可知 ，所以 ，所以 ，则 ，所以 .
故选：C.
8．D
利用两点间距离公式由 得到点 的轨迹方程，再利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得.
【详解】设点 ，
因为 ，所以 ，
整理得点 的轨迹方程为 ，
根据题意可得直线 与点 的轨迹有公共点，
所以 ，即 ，解得 ．
故选：D．
9．AC
将方程化为标准式，依题意可得 ，即可求出 的取值范围，即可判断.
【详解】方程 ，即 ，
依题意可得 ，解得 且 ，
即 的取值范围为 ，结合选项可知A、C符合题意.
故选：AC
10．ACD
根据圆 上点的个数到直线 的距离为2，数形结合得到圆心到直线 的距离或距离范围，得到方程或不等
式，求出答案.【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
A选项，要想圆 上恰有1个点到直线 的距离为 ，则圆心到直线 的距离为 ，
即 ，解得 ，A正确；
B选项，要想圆 上恰有2个点到直线 的距离为 ，则圆心到直线 的距离大于 ，小于 ，
即 ，解得 ，B错误；
C选项，圆 上恰有3个点到直线 的距离为 ，则圆心到直线 的距离等于1，
即 ，解得 ，C正确；
D选项，圆 上恰有4个点到直线 的距离为 ，则圆心到直线 的距离小于1，
即 ，解得 ，D正确.
故选：ACD．
11．BCD
用基底 表示 ，再结合数量积计算 即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算
，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算 即可判断C；用基底
表示 ，由共面定理求出 即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
取FC中点为M，因为点 是三角形 的重心，
所以 ，
所以，
所以 ，
所以
，所以 ，故A错误；
因为 ，所以异面直线 所成角即为 所成角，
因为 ，
所以 ，
所以 所成角即异面直线 所成角的余弦值为 ，故B正确；
因为
，
所以 ，即 ，故C正确；
，
因为 四点共面，所以 ，
所以 ，所以点 是线段 的中点，故D正确.
故选：BCD
12．2
根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式求解.【详解】由直线 ： 与直线 ： 平行，得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：2
13． 或
直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可.
【详解】易知圆心 ，半径 ，且点 在圆 外，
当直线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
则 ，即 ，解得 ，故切线方程为 .
当直线斜率不存在时，且过 ，此时直线为 ，圆心 到直线的距离
，所以直线 与圆 相切.
故所求切线方程为 或 .
故答案为： 或 .
14． /
依题意可得 且 在线段 上，从而得到 ，设 ，利用余弦定理及
椭圆的定义得到 ，再由面积公式得到 ，即可求出 ，
再由勾股定理求出 、 与 的关系，最后在 中利用勾股定理求出 、 的关系，即可得解.
【详解】因为 ，所以 且 在线段 上，
所以 ，设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
即 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
即 ．
故答案为：
15．(1) ；
(2) 或 ．
（1）通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直的两直线方程的特征，利用代入法进行求解即可；（2）根据截距是否为零分类进行求解即可.
【详解】（1）由 得 所以点 ．
设过点 且与直线 垂直的直线的方程为 ，
将点 代入方程得 ，解得 ，
所以所求直线的方程为 ．
（2）当直线过原点时，直线在 轴上的截距与在 轴上的截距都是0，显然符合题意，
设所求直线的方程为 ，将点 代入，得 ，
故所求直线方程为 ．
当直线不过原点时，设所求直线方程为 ，将点 代入，得 ，
故所求直线方程为 ，即 ．
综上所述，所求直线的方程为 或 ．
16．(1)直线 平面 ，理由见解析
(2)
（1）直线 平面 ，取 的中点 ，连接 ， ，证明 即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式计算可得结果.
【详解】（1）直线 平面 ，证明如下：
取 的中点 ，连接 ， ，因为 为 的中点，所以 ，且 ，又 为 的
中点， ， ，所以 ，且 ，所以 ，且 ，所以四边
形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以直线 平面.
（2）因为 ，由已知得 平面 ，以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为
轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系如图所示，
由 ，得 ， ， ， ， .
设异面直线 与 所成的角为 ，则 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
17．(1) ；
(2) .
（1）先判断出 与圆 外切，从而得 三点共线，则有圆心 在直线 ，用待定系数法求解
即可；
（2）先求出直线 恒过点 ，从而得当 时， 取最小值，即可求出直线 的方程，再利用
直线与圆相交时的弦长公式求解即可.
【详解】（1）解：因为圆 与图 相切，且点 在圆 的外部，所以圆 与圆 外切，
则 三点共线，
图 ，
化为标准形式为： ，
所以圆心 ，
故圆心 在直线 上，
设圆 的标准方程为 ，
又圆 过原点 ，则 ，
圆 经过点 ，则 ，解得 ，
故圆 的标准方程为 ；
（2）解：由（1）可知，圆 的圆心坐标为 ，
由直线 ，化为 ，
所以直线 恒过点 ，
易知点 在圆 的内部，设点 到直线 的距离为 ，则 ，
要使 取得最小值，则 取得最大值，所以 ，
此时 ，所以 ，
则直线 的方程为 ，即 .
又圆心 到直线 的距离 ，
所以 .
18．(1)
(2)
(3)
（1）根据椭圆定义求出 的值，根据 ，求解即得椭圆方程；
（2）利用点差法求出中点弦所在直线方程；
（3）依题意，设 ， ，根据
，求解即可．
【详解】（1）解：由题意知 ，
所以 ，所以 ，
所以 的方程为 ．（2）设 ，又线段 的中点为 ，且在椭圆内部，
所以 ，即 ，
又点 是 上的两点，所以 ，
两式相减得 ，
所以 ，
即直线 的斜率为
所以直线 的方程为 ，即 ．
（3）
设 ，因为点 是 的重心，所以 ，
所以 ，又点 是 上的一点，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ．所以 ，
当且仅当 时等号成立，
因为 ，当且仅当 在线段 上时等号成立，
所以 的最大值为 ．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）在 中， ， ，所以 ，
所以在四棱锥 中， ， ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
（2）当四棱锥 的体积取得最大值时，平面 平面 .
又平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
故以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
则 ， ， ， ， ，所以 .设平面 的一个法向量为 ，
又 ， ，
所以 ，令 ，解得 ， ，
所以平面 的一个法向量 .
设平面 的一个法向量为 ，
又 ， ，
所以 ，
令 ，解得 ，所以平面 的一个法向量 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ，
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
（3）以 为坐标原点，直线 和 分别为 ， 轴，过 作平面 的垂线为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，设 ， ， ， ，
，， ，
又 ，所以 ，解得 ，
则 ，则 ，
又 ，所以 ，
整理得 ，且 ， ，得 .
易得平面 的一个法向量为 ，设直线 与平面 所成角为 ，
，
则 ，
令 ，函数 在 上单调递减， ，
因此 ，则 ，解得 ，
