文档内容
2025 学年第一学期嘉兴八校联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．已知点 ， ，则直线 的斜率为
A． B． C． D．
2．已知直线 与 垂直，则实数 的值为
A． B． C． D．
3．已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，若 ，则
A． B． C． D．
4．已知空间向量 与 共线，则
A． B． C． D．
5．在三棱柱 中， ， ， ，BC的
中点为 ，则
A． B.C． D．6．过点 作圆O： 的一条切线，切点为M，则
A． B． C． D．
7．已知圆 和两点 ，若圆 上有且仅有一点 ，使得
，则实数 的值是
A． B．
C． D． 或
8．已知椭圆的左､右焦点分别为 、 ，过 的直线交椭圆于 、 两点，且 ，
，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
二、选择题Ⅱ：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 每题全部选对得6分，有选错得0分，部分选对
得部分分.
9．已知圆 ： ，则下列说法正确的是
A．点 在圆内
B．圆 的圆心坐标为 ，半径 为
C．圆 与 轴交于点 ，则
D．直线 ： 与圆 相切，则
10．正方体 的棱长为 ，则下列说法正确的是
A．直线 与直线 所成的角为
B．直线 与平面 所成的角为
C．二面角 的平面角为D．点 到平面 的距离为
11．如图，在棱长为 的正方体 中， 分别是棱 ， 的中点，点 在线段
上运动，下列结论正确的是
A．平面 截正方体 所得的截面图形是五边 形；
B．直线 到平面 的距离是 ；
C．存在点 ，使得 ；
． 面积的最小值是
D ．
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．直线 的倾斜角为 ．
13．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，若椭圆上的点 P 满足 轴，
，则 的周长为 ．
14．已知圆 ： 与圆 关于直线 ： 对称，且圆 上任一点 与圆 上
任一点 之间距离的最小值为 ，则实数 的值为 ．
四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题13分）已知空间三点 ， ， ，设 ， .
（1）求 ， ；
（2）若向量 与 互相垂直，求实数k的值.
16．（本题15分）已知 的三个顶点是 ， ， ．（1）若直线 过点 ，且点 ， 到直线 的距离相等，求直线 的方程；
（2）若直线 过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 、 两点， 为坐标原点，求 面积
取最小值时直线 的方程．
17．（本题15分）在平面直角坐标系中，已知直线 ： ，圆 ：
（1）若直线 与圆 相切，求实数 的值；
（2）若 ，直线 与圆 相交于 两点，求 的面积；
（3）若直线 ： 与圆 交于 两点，且 （ 为坐标原点），求实数 的值.
18．（本题17分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
，点E是棱 上靠近P端的三等分点.
（1）证明： ；
P
（2）证明： 平面 ； E
F
（3）是否存在棱 上一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在， D C
A B
请指出此时点 的位置.
19．（本题17分）已知椭圆 的离心率为 ，A、 分别为椭圆 的左、右顶点. 过
点 作斜率为 的动直线 交椭圆 于 、 两点；当 变化时， 面积的最大值为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）当 时，求 的面积；
（3）如图，设 关于原点 的对称点为 ，直线 、 交于点 ，设直线 的斜率为 ，试探究 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D； 2．B； 3．A； 4．C；
5．C； 6．B； 7．D； 8．A．
二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分；每题全部选对的得6分，有选错的得0分，部分
选对的得部分分）
9．ABC； 10．ABD； 11．AC；
三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）
12． ； 13． ； 14． 或 .
11.解析：对于A，如图直线 与 、 的延长线分别交于 ，
连接 分别交 于 ，连接 ，则五边形
即为所得的截面图形，
故A正确；
对于B，由题可知 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，故点 到平面 的距离即为直线 到平面 的距离，
设点 到平面 的距离为h，由正方体 的棱长为2可得，
， ，
∴ ，
，
∴由 ，可得 ，
所以直线 到平面 的距离是 ，故B错误；
对于C，如图建立空间直角坐标系，则 ，
设 ，∴ ，又 ，
∴ ， ，
假设存在点 ，使得 ，
∴ ，整理得 ，
∴ （舍去）或 ，
故存在点 ，使得 ，故C正确；
对于D，由上知 ，所以点 在 的射影为 ，
∴点 到 的距离为：
，
∴当 时， ，
∴故△ 面积的最小值是 ，故D错误.
答案为：AC.
14．解析：设圆 的圆心为 ，
∵圆 和圆 关于直线 对称，
∴ ，解得 ，
∴圆 的圆心为 ．
∴ ．
∵圆 上任一点 与圆 上任一点 之间距离的最小值为为 ，
∴ ，解得 或 ．
四、解答题（本大题有5小题， 共77分）
15．（本题满分13分）
解: （1）由题意， ， ………………………2分
故 ……………………4分
； ……………………6分
（2）因 与 互相垂直，则 ……………………8分
即 ……………11分
解得， 或 . ………………13分
16．（本题满分15分）
解：（1）方法一：因为点 ， 到直线 的距离相等，所以直线 与 平行或通过 的中点，
①当直线 与 平行，因为 ，且 过点 ，所以 方程为 ，即 ；
………………………3分
②当直线 通过 的中点 ，所以 ，所以 的方程为 ，即
． ………………………6分
综上：直线 的方程为 或 ．
方法二：设直线 ， ………………………1分
即 ，又因为点 ， 到直线 的距离相等
所以 ………………………3分
化简计算可得， 或 ………………5分
即直线 的方程为 或 ………………………6分（2）方法一：由题意设 ， ，其中 ， 为正数，
可设直线 的方程为 ………………………7分
因为直线 过点 ，所以 ， ………………………9分
由基本不等式可得 ， ……………………11分
所以 ， ，当且仅当 即 时， 取得最小值24，
所以 面积 ， ………………………13分
所以当 ， 时， 面积最小，此时直线 的方程为 ，即 ．
………………………15分
方法二：设直线 …………………7分
则 ， ………………………9分
………………………10分
依题意知 ，故 ，
由基本不等式可得： ………………………12分
当且仅当 时取等号，此时 ，
此时 面积最小为 . ………………………14分
此时直线 的方程为 ，即 ………………………15分17．（本题满分15分）
解：解：（1）圆 ： ………………………1分
圆心 半径 ………………………2分
直线 与圆 相切 ………………………4分
y
B
（2）直线 ： 则
A
C
………………………6分
x
所以 ………………………8分
…………………9分
（3）设 ，
， ①
y
M
…………………10分
C
O x
由 得 N
②
…………………12分
将①式代入②式得 …………………15分
18.（本题满分17分）
解：（1）因为 平面 ，所以 ………………1分
因为 ，所以 ………………3分
………………4分
P
E
（2）方法一：连 交 于点 ，连
D C
M
A B, …………6分
， ………7分
平面 ………8分
方法二：以点D为坐标原点， 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
…………5分
z
P
E
则 ， .
F
C
D
y
，设平面 的一个法向量 A 为
B
x
，则 ，即 ，
令 ，得 ， ，则 . …………7分
又 ，可得 ，
因为 平面 ，所以 平面 . …………8分
（3）假设存在，设 （ ） …………9分
设 ，则 ， ，
可得 …………10分
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，可得 …………12分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，可得 ………14分
设平面 与平面 的夹角为 ，则
.......15分
， ，化简整理得
解得 ，从而点 是棱 的中点. .......17分
19.（本题满分17分）
解：（1）依题意可知 ，……………1分
当 为短轴顶点时， 取到最大值 ，…………………2分
可得 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程 …………………4分
（2）因为点 在椭圆内部 ，可知直线 与椭圆 必相交，设 ，
若 ，则直线 ，…………………5分联立方程 ，消去 可得 ，解得 或 ，…………………7分
所以 的面积 …………………10分
（3）由（2）可设 ，则 ，
设直线 的方程为 ，此时 ，
联立直线与椭圆方程 ，消去 可得 ，
则 ， …………………12分
不妨设 ，因为 三点共线，则 ，…………………13分
可得 ，则 ，
因为 三点共线，则 ， …………………14分
可得 ，则 ，
可得 ，
则 ，可得 …………………15分
所以 ，即 …………………17分
