海南省海南中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学Word版含解析_2024年11月试卷_1118海南省海南中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试

海南中学 2024－2025 学年度第一学期期中考试 高二数学 试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共19小题，满分150分，考试时间 为120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选 择题时，将答案写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知直线 的一个方向向量为 ，则直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. ， 分别为直线 与 上任意一点，则 最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知 、 ，则以AB为直径的圆的一般方程为（ ） . A B. C. D. 4. 圆 与圆 的公切条数为（ ） A. 2条 B. 1条 C. 3条 D. 4条 5. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，点 在双曲线的右半支上，点 ，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 6. 若直线 与曲线 恰有两个交点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若圆 上恰有2个点到直线 的距离为1，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于 春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是 一个半径为 的圆，圆心到伞柄底端距离为 ，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分 时，北京的阳光与地面夹角为 ），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线 与双曲线 有相同的焦点，点 在抛物线 上，则 下列结论正确的有（ ）A. 双曲线 的离心率为2 B. 双曲线 的渐近线方程为 C. D. 点 到抛物线 的焦点的距离为4 10. 已知直线 ，圆 为圆 上任意一点，则下列说法正确 的是（ ） A. 直线 与圆 相切时， B. 的最大值为 的 C. 圆心 到直线 距离最大为4 D. 的最大值为5 11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为 ，动点 在椭圆 上， 则下列描述正确的有（ ） A. 若 的周长为6，则 B. 若当 时， 的内切圆半径为 ，则 C. 若存在 点，使得 ，则 D. 若 的最大值为2b，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 动点P到两定点A(－4，0)、B(4，0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为________． 13. 设 为抛物线 ： 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点， 为坐标原点，则 的面积为_______ 14. 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆 ： 上任意一点作双曲线 ： 的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆 称作双曲线 的蒙日圆.过双曲线 ： 的蒙日圆上一点 作 的两条切线，与该蒙日圆分别交于 ， 两点，若 ，则 的周长为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 光线自点 射到点 后被 轴反射． （1）求反射光线所在的直线的方程； （2）求过点 且与入射光线垂直的直线方程．（请用直线的一般方程表达解题结果）. 16. 安庆市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短 轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618．我们把短轴长与长轴长的平方比为 的椭圆称为黄金椭圆．现有一黄金椭圆 其中A，F分别为其左顶点和右焦点，B 为上顶点． 的 （1）求黄金椭圆C 离心率； （2）某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测 可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说明理由． 17. 已知圆 与圆 交于 ， 两点，圆 经过 ， 两点，且圆心在直线 上． （1）求 ； （2）求圆 的方程． 18. 已知双曲线 ， ，斜率为 的直线 过点 . （1）若 ，且直线 与双曲线 只有一个公共点，求 的值； （2）双曲线 上有一点 ， 的夹角为 ，求三角形 的面积. 的 19. 直线族是指具有某种共同性质 直线的全体，例如 表示过点 的直线，直线的包络曲线 定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族 中的某条直线. 的 （1）若圆 是直线族 包络曲线，求 满足的关系式； （2）若点P(x ,y )不在直线族： 的任意一条直线上，求 的取 0 0 值范围和直线族 的包络曲线 ； （3）在（2）的条件下，过曲线 上 两点作曲线 的切线 ，其交点为 .已知点C(0,1)，若 三点不共线，探究 是否成立？请说明理由.海南中学 2024－2025 学年度第一学期期中考试 高二数学 试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共19小题，满分150分，考试时间 为120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选 择题时，将答案写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知直线 的一个方向向量为 ，则直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方向向量写出斜率，结合斜率与倾斜角关系确定倾斜角大小即可. 【详解】由题设 ，则直线 的斜率 ， 结合直线倾斜角的范围，易知直线 的倾斜角为 . 故选：B 2. ， 分别为直线 与 上任意一点，则 最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式可求出 的最小值. 【详解】由 ，可得两条直线相互平行， 所以 最小值为平行线之间的距离， 可化为 ， 所以， . 故选：A 3. 已知 、 ，则以AB为直径的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出AB的中点和 可得以AB为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将 其转化为一般方程即可得解. 【详解】已知 、 ，则AB中点坐标为 即 . ， 所以以AB为直径的圆的圆心为 ，半径为 . 所以圆的标准方程为 ，展开可得 ， 整理得 . 故选：B.4. 圆 与圆 的公切条数为（ ） A. 2条 B. 1条 C. 3条 D. 4条 【答案】A 【解析】 【分析】首先把圆的一般式转换为标准式，进一步判断两圆的位置关系，最后得出两圆的公切线的条数. 【详解】由 是以 为圆心， 3为半径的圆.， 转换为 ， 即该圆是以 为圆心，4为半径的圆. 所以圆心距 ， 所以 所以两圆相交，故公切线的条数为2， 故选：A 5. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，点 在双曲线的右半支上，点 ，则 的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用双曲线的定义转化 ，再结合图象，求 的 最小值，再联立方程求交点坐标. 【详解】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当 ， ， 三点共线时等号成立.而直线 的方程为 ，由 可得 ，所以 ， (3 1) 所以点 的坐标为 , . 2 2 (3 1) 所以当且仅当点 的坐标为 , 时， 的最小值为 . 2 2 故选：D. 6. 若直线 与曲线 恰有两个交点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到直线过定点 ，作出直线 与曲线C，由图求出直线 过点 时 的斜率和直线 与曲线C相切时的斜率即可树形结合得解. 【详解】由 可知直线 过定点 ， 曲线 两边平方得 ， 所以曲线C是以 为圆心，半径为1且位于直线x轴上方的半圆， 当直线 过点 时，直线 与曲线C有两个不同的交点，此时 ，当直线 与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心 到直线 的距离 ，两边平方解 得 ， 所以结合图形可知直线 与曲线C恰有两个交点，则 . 故选：B. 7. 若圆 上恰有2个点到直线 的距离为1，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出与直线 平行且到直线 的距离为1的直线的方程为 和 ，数 形结合可知，圆 与直线 相交，与直线 相离，利用点到直线的距离公式 可求得 的取值范围. 【详解】如图所示.设与直线 平行且与直线 之间的距离为1的直线方程为 ， 则 ，解得 或 ， 圆心 到直线 的距离为 ， 圆 到直线 的距离为 ， 由图可知，圆 与直线 相交，与直线 相离， 所以 ，即 . 故选：C 8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于 春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是 一个半径为 的圆，圆心到伞柄底端距离为 ，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分 时，北京的阳光与地面夹角为 ），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答. 【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长 轴的另一个端点， 对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为 ，半焦距为 ， 由 ，得 ， ， 在 中， ，则 ， ， 由正弦定理得， ，解得 ，则 ， 所以该椭圆的离心率 . 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线 与双曲线 有相同的焦点，点 在抛物线 上，则 下列结论正确的有（ ） A. 双曲线 的离心率为2 B. 双曲线 的渐近线方程为C. D. 点 到抛物线 的焦点的距离为4 【答案】ACD 【解析】 的 【分析】根据双曲线 方程求出离心率可判断A；求出双曲线 的渐近线方程可判断B；由 有 相同的焦点求出 可判断C；点 坐标代入 方程可判断D． 【详解】双曲线 的焦点为(2,0)， ， ， 对于A，双曲线 的离心率 ，故A正确； 对于B，双曲线 的渐近线方程为 ，故B错误； 对于C，由 有相同的焦点，得 ，解得 ，故C正确； 对于D，抛物线 的焦点为(2,0)，点 在 上， 则 ，故 或 ， 所以点 到 的焦点的距离为4，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知直线 ，圆 为圆 上任意一点，则下列说法正确 的是（ ）A. 直线 与圆 相切时， B. 的最大值为 C. 圆心 到直线 的距离最大为4 D. 的最大值为5 【答案】AB 【解析】 的 【分析】根据直线和圆 位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆 的方程可化为 ， 所以圆 的圆心为 ，半径 . 直线 ，即 ，过定点 ， 若直线 与圆 相切，则圆心 到直线 的距离为2， 即 ，解得 ，所以A选项正确. 如图所示，当直线 的斜率大于零且与圆相切时， 最大， 此时 ，且 ，B选项正确. 圆心 到直线 的距离 ， 当 时， ，当 时， ，所以C选项错误. 又 ， 是圆上的点， 所以 的最大值为 ，D选项错误. 故选：AB. 11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为 ，动点 在椭圆 上， 则下列描述正确的有（ ） A. 若 的周长为6，则 B. 若当 时， 的内切圆半径为 ，则 C. 若存在 点，使得 ，则 D. 若 的最大值为2b，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用焦点三角形的周长求得 ，可求 判断A；利用余弦定理求得焦点三角形的面积，可得 ，求解可判断B；若 ，则以 为圆心， 为半径的圆与椭圆有交点，则 ，求解可判断C； ，利用二次 函数的最值可求得 的范围判断D. 【详解】对于A,由椭圆 ，可得 ， 因为 的周长为6，所以 ，解得 ， 因为 ，所以 ，解得 ，故A正确； 对于B，由 ，可得 ， 当 时，由余弦定理可得 ， 则 ，解得 ， 所以 ， 又 的内切圆半径为 ， 所以 ，所以 ，所以 ，解得 （舍去）或 ， 所以 ，故B正确； 对于C，若 ，则以 为圆心， 为半径的圆与椭圆有交点，则 ， 所以 ，所以 ，解得 ， 所以存在 点，使得 ，则 ，故C错误； 对于D，设 ， ， 又因为 ，因为下顶点到上顶点的距离为2b，又 的最大值为2b， 故 时取最大值，所以 ，解得 ，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论 （1）焦点三角形的周长为 ； （2）当点 为椭圆短轴的一个端点时， 为最大. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 动点P到两定点A(－4，0)、B(4，0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为________． 【答案】 ．【解析】 【分析】利用定义法求点P的轨迹方程. 【详解】解：因为 ， 由椭圆的定义可知，动点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为10的椭圆， 所以 ， ， 所以点 的轨迹方程是 . 故答案为： 13. 设 为抛物线 ： 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点， 为坐标原点， 则 的面积为_______ 【答案】 【解析】 【分析】 先由抛物线方程，得到 ，得出直线 的方程，由抛物线的焦点弦公式求出弦长 ，再由点到 直线距离公式，即可得出结果. 【详解】因为 为抛物线 ： 的焦点，所以 ， 又直线 过点 且倾斜角为 ， 则直线 的方程为： ，即 ， 设 ， ， 由 消去 可得 ，整理得 ，所以 ，因此 又点 到直线 的距离为 ， 所以 的面积为 . 故答案为： . 【点睛】思路点睛： 求抛物线中三角形面积的一般步骤： （1）设直线与抛物线交点坐标，联立直线与抛物线方程； （2）根据抛物线的弦长公式求弦长，根据点到直线距离公式求距离； （3）根据三角形面积公式，即可得出结果. 14. 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆 ： 上任意一点作双曲线 ： 的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆 称作双曲线 的蒙日圆.过双曲线 ： 的蒙日圆上一点 作 的两条切线，与该蒙日圆分别交于 ， 两点，若 ，则 的周长为________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据 得到 ，再利用 求出另外两直角边即可得到周长. 【详解】由题可知， 的蒙日圆方程为 ，半径为 ，且 ， 所以 为直径，所以 .又 ，所以 ， . 所以 的周长为 . 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 光线自点 射到点 后被 轴反射． （1）求反射光线所在的直线的方程； （2）求过点 且与入射光线垂直的直线方程．（请用直线的一般方程表达解题结果）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）反射光线过点 (2,0)，而由物理学知识知反射角与入射角相等，因此反射光线与入射光线的 斜率相反（注意直线的倾斜角不是入射角、反射角）； （2）根据垂直的直线的斜率乘积为－1可得所求直线的斜率，进而由点斜式可得方程. 【小问1详解】 设 ， 则 ， 所 以 ， 直 线 方 程 为 ， 即 ． 【小问2详解】 设所求直线的斜率为 ，则 ， ，直线方程为 ，即 ．16. 安庆市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短 轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618．我们把短轴长与长轴长的平方比为 的椭圆称为黄金椭圆．现有一黄金椭圆 其中A，F分别为其左顶点和右焦点，B 为上顶点． （1）求黄金椭圆C的离心率； （2）某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测 可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并 说明理由． 【答案】（1） （2）正确，理由见解析 【解析】 【分析】(1)根据题目中黄金椭圆的定义，再根据离心率的计算公式 可求得椭圆的离心率.(2)通 过计算 的值，可以判断出三角形的形状. 【小问1详解】 由题意，设椭圆C的焦距为2c，则 ， 又 ，得 ，即 ，，所以 ． 【小问2详解】 正确．理由如下； 设椭圆中心为O，由 所以 ，即 ， 所以 是直角三角形． 17. 已知圆 与圆 交于 ， 两点，圆 经过 ， 两点，且圆心在直线 上． （1）求 ； （2）求圆 的方程． 【答案】（1） ； （2） ． 【解析】 【分析】（1）首先作差得两圆相交弦所在直线方程，然后根据弦长公式计算即可； （2）求出直线 的方程，再联立直线 的方程得到圆 的圆心坐标，再求出半径即可. 【小问1详解】 因为圆 与 交于 ， 两点，所以两圆方程作差得直线 的方程为 ． 又圆 ，所以点 到直线 的距离 ， 所以 ； 【小问2详解】 ，圆 ， 则 ， ，则 ， 则直线 的方程为 ，即 ， 由 ，解得 ，所以 ， 所以点 到直线 的距离 ， 设圆 的半径为 ，所以 ， 所以圆 的方程为 ． 18. 已知双曲线 ， ，斜率为 的直线 过点 . （1）若 ，且直线 与双曲线 只有一个公共点，求 的值； （2）双曲线 上有一点 ， 的夹角为 ，求三角形 的面积. 【答案】（1） 或（2） 【解析】 【分析】（1）根据直线过点 ，写出点斜式，当直线与渐近线平行时，与双曲线有且只有一个交点，当 直线与渐近线不平行时，联立直线与双曲线，根据判别式可得斜率 的值； （2）根据双曲线的定义及三角形余弦定理与面积公式可得解. 【小问1详解】 当 时， ， 的 则直线 方程为 ， 又双曲线 的渐近线为 ， 所以当 时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点； 当 时， 联立方程组 ， 得 ， ， 解得 ； 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时 或 ； 【小问2详解】 由双曲线 ，则 ， ， ， 又点 在双曲线上，即 ，即 ， 在 中， 由余弦定理 ， 即 ， 解得 ， 所以 面的积 . 19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 表示过点 的直线，直线的包络曲线 定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族 中的某条直线. （1）若圆 是直线族 的包络曲线，求 满足的关系式； （2）若点P(x ,y )不在直线族： 的任意一条直线上，求 的取 0 0 值范围和直线族 的包络曲线 ； （3）在（2）的条件下，过曲线 上 两点作曲线 的切线 ，其交点为 .已知点C(0,1)，若 三点不共线，探究 是否成立？请说明理由.【答案】（1） （2） （3）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据包络曲线的定义利用直线和圆相切即可得 ； （2）易知方程 无解，根据判别式可得 ，证明可得直线族 的包 络曲线 为 ； （3）法一：求出 两点处曲线 的切线 的方程，解得 ，根据平面向量夹角的表 达式即可得 ，即 ； 法二：过 分别作准线的垂线 ，连接 ，由导数求得切线斜率并利用抛物线定义和三 角形内角关系即可证明 . 【小问1详解】 由定义可知， 与 相切， 则圆 的圆心 到直线 的距离等于1， 则 ， . 【小问2详解】点P(x ,y )不在直线族 的任意一条直线上， 0 0 所以无论 取何值时， 无解. 将 整理成关于 的一元二次方程， 即 . 若该方程无解，则 ，即 . 证明：在 上任取一点 在该点处的切线斜率为 ， 于是可以得到 在 点处的切线方程为： ， 即 . 今直线族 中 ， 则直线为 ， 所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线， 而对任意 都是抛物线在点 处的切线. 所以直线族 的包络曲线 为 . 【小问3详解】 法一：已知C(0,1)，设A(x ,y ),B(x ,y )， 1 1 2 2 则 ， ；由（2）知 在点A(x ,y )处的切线方程为 ； 1 1 同理 在点B(x ,y )处的切线方程为 ； 2 2 联立 可得 ，所以 . 因此 ， 同理 . 所以 ， ， 即 ，可得 ， 所以 成立. 法二：过 分别作准线的垂线 ，连接 ，如图所示： 则 ，因为 ，显然 .又由抛物线定义得 ，故 为线段 的中垂线，得到 ，即 . 同理可知 ， 所以 ，即 . 则 . 所以 成立. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解包络曲线的定义，利用直线和曲线相切求出包络曲线 的方程为 并进行证明，再利用抛物线定义和性质即可得出结论.