2008年高考数学试卷（理）（湖南）（空白卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

2008高考湖南理科数学试题及全解全析
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1
1．复数(i- )3等于( )
i
A.8 B.－8 C.8i D.－8i
2．“ x-1 <2成立”是“x(x-3)<0成立”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
x1,

3.已知变量x、y满足条件x- y0, 则x y的最大值是( )

x2y-90,

A.2 B.5 C.6 D.8
4.设随机变量x服从正态分布N(2,9),若P(x>c1)= P(x<c-1),则c= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.设有直线m、n和平面、,下列四个命题中，正确的是( )
A.若m∥,n∥,则m∥n
B.若m,n,m∥,n∥,则∥
C.若 ，m,则m 
D.若 ，m ，m,则m∥
 
6.函数 f(x)=sin2 x 3sinxcosx在区间 , 上的最大值是( )
 
4 2
1 3 3
A.1 B. C. D.1+ 3
2 2
uuur uuur uuur uuur
7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC =2BD, CE =2EA,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AF =2FB,则ADBECF与BC( )
第1页 | 共5页A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
x2 y2 3a
8.若双曲线 - =1（a＞0,b＞0）上横坐标为 的点到右焦点的距离
a2 b2 2
大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)
9.长方体ABCD－A B C D 的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD= 3,AA =1,
1 1 1 1 1
则顶点A、B间的球面距离是( )
2 2 D C
1 1
A.2 2 B. 2 C. D.
2 4
A 1 B 1
D O
C
A
B
5
10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［ ］=1）,对于给定的nN*,
4
定义C
n
x = n
x
(
(
n
x
-
-
1
1
)
)
L
L
(
(
n
x
-
-

x
x



1
1
)
)
,x1, ,则当x 
 
3
2
,3



时，函数C
8
x的
值域是( )
16  16 
A.  ,28  B.  ,56 
 3   3 
 28  16 28 
C. 4,  28,56 D. 4,    ,28 
 3   3   3 
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。
x-1
11.lim = ______.
x®1 x2 3x-4
x2 y2 5
12.已知椭圆  =1（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为l,离心率e= .
a2 b2 5
第2页 | 共5页过顶点A(0,b)作AM l,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
13.设函数y = f(x)存在反函数y = f -1(x),且函数y = x- f(x)的图象过点(1,2),
则函数y = f -1(x)-x的图象一定过点 .
3-ax
14.已知函数 f(x)= (a ¹1).
a-1
（1）若a＞0,则 f(x)的定义域是 ;
(2) 若 f(x)在区间0,1上是减函数，则实数a的取值范围是 .
15.对有n(n≥4)个元素的总体1,2, ,n进行抽样，先将总体分成两个子总体
L
1,2, ,m和m1,m2, ,n (m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从
L L
每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用P 表示元素i和j同时出现在样
ij
本中的概率，则P = ; 所有P (1≤i＜j≤n的和等于 .
1n ij
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试
1
合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响.求：
2
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;
（Ⅱ）签约人数x的分布列和数学期望.
17.（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
第3页 | 共5页18.（本小题满分12分）
n n
数列a 满足a =1,a =2,a =(1cos2 )a sin2 ,n=1,2,3, .
n 1 2 n2 2 n 2 L
(Ⅰ)求a ,a ,并求数列a 的通项公式；
3 4 n
a 1
(Ⅱ)设b = 2n-1,S =b b  b .证明：当n6时，S -2 < .
n a n 1 2 L n n n
2n
19.（本小题满分13分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一
个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45o且与点A相距40
26
2 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45o+(其中sin= ，
26
0o <<90o)且与点A相距10 13海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
20.（本小题满分13分）
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与
x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）
存在无穷多条“相关弦”.给定x >2.
0
（I）证明：点P（x ,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同；
0
(II) 试问：点P（x ,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
0
若存在，求其最大值（用x 表示）：若不存在，请说明理由.
0
21.（本小题满分13分）
x2
已知函数 f(x)=ln2(1x)- .
1x
第4页 | 共5页(I) 求函数 f(x)的单调区间;
1
（Ⅱ）若不等式(1 )na e对任意的nN*都成立（其中e是自然对数的底数）.
n
求a的最大值.
第5页 | 共5页