辽宁省抚顺市第一中学2024-2025学年高二下学期期初考试数学PDF版含答案（可编辑）_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年03月试卷_0319辽宁省抚顺市第一中学2024-2025学年高二下学期期初考试

抚顺一中 2024-2025 学年度高二年级下学期期初测试 数 学 （ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求. x2 y2 1 1. 椭圆C:  1  a 0 的焦点在x轴上，其离心率为 ，则（ ） a2 3 2 A． 椭圆 C 的短轴长为 3 B．椭圆 C 的长轴长为 4 C． 椭圆C的焦距为4 D．a 4 2. 设  x2 1  4x3 8 a a  2x1 a  2x1 2a  2x1 10 ， 0 1 2 10 则a a a a 等于 （ ） 0 1 2 10 A．1 B．2 C． D．5 5 3. 为支援边远地区教育事业的发展，现有5名师范大学生毕业生，主动要求赴西部某地区 4 三所不同的学校去支教，每个学校至少去1人，甲乙不能安排在同一所学校，则不同的安排 方法有（ ） A．180种 B．150种 C．90种 D．114种 4.已知数列 a 是等差数列，且满足a a 30，则a a a 等于( ) n 3 11 6 7 8 A.45 B.60 C.75 D.90 5.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇 数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B| A)（ ） 3 13 13 3 A． B． C． D． 8 40 45 4 3 6.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是 的事件为 10 ( ) A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 7.盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取i  i 1,2  个球，在取出的球中， 黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为X  i 1,2  ，则（ ） iA．P  X 2  P  X 2  ，E  X  E  X  1 2 1 2 B．P  X 2  P  X 2  ，E  X  E  X  1 2 1 2 C．P  X 2  P  X 2  ，E  X  E  X  1 2 1 2 D．P  X 2  P  X 2  ，E  X  E  X  1 2 1 2 8．设0 p 1（i 1，2），随机变量(i 1,2)的概率分布分布如下，则 （ ） i i  0 1 2 1 1 p 2 p P 1 1 3 3 3  0 1 2 2 p 2 1 p P 2 2 3 3 3 1 A.若 p  p  ，则D  D  1 2 2 1 2 1 B.若 p  p  ，则D D  1 2 2 1 2 1 C.若 p   p ，则D  D  1 2 2 1 2 1 D.若 p   p ，则D D  1 2 2 1 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知 ab n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 10. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先 从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A，A ，A 表示由甲箱中取出的是红球，白球 1 2 3 和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则 下列结论正确的是（ ） 2 5 A．P(B) B．P(B A) 5 1 11 C．事件B与事件A相互独立 D．A、A 、A 两两互斥 1 1 2 311. 2022年世界田联半程马拉松锦标赛,是扬州首次承办高规格,大规模的国际体育赛事.运 动会组织委员会欲从4名男志愿者,3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长,下列 说法正确的有( ) 6 A.设“抽取的3人中恰有1名女志愿者”为事件A,则P  A  7 34 B.设“抽取的3人中至少有1名男志愿者”为事件B,则P  B  35 12 C.用X表示抽取的3人中女志愿者的人数,则E  X  7 24 D.用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数,则D  Y  49 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示． 数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 物理成绩y 80 87 75 a 100 79 93 68 85 77 已知y与x线性相关，且y关于x的回归直线方程为yˆ 1.1x5，则下列说法正确的是 10 ________．（参考数据：x 800） i i1 ①a86；②y与x正相关；③y与x的相关系数为负数；④若数学成绩每提高5分，则物 理成绩估计能提高5.5分． 13.甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动，该活动有任务需要完成，甲、乙完成任务 的概率分别为0.7，0.8，且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总 人数为X ，则E  X ______. 14. 某学校有A,B两家餐厅,经统计发现,某班学生第1天午餐时选择A餐厅和选择B餐的概 1 3 率均为 .如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为 ;如果第1天去B餐厅,那么 2 5 4 第2天去A餐厅的概率为 ,则某同学第2天去A餐厅用餐的概率为_______;假设班内各位 5 同学的选择相互独立,随机变量X为该班3名同学中第2天选择B餐厅的人数,则随机变量X 的均值E  X _______________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列 a 的前n项和为S 2n2 10n1 n n (1)当S 取最小值时,求n的值; n (2)求出{a }的通项公式. n 16．（15分）某种产品的加工需要经过5道工序. （1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ （4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 17．（15分）随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园 ､场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的 市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调查，得到如下表的统计数据： 周平均锻炼时间少于5 周平均锻炼时间不少于5 合 小时 小时 计 50岁以下 80 120 200 50岁以上（含50） 50 150 200 合计 130 270 400 （1）根据表中数据，依据0.01的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？ （2）现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽 样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平 均锻炼时间不少于5小时的人数为X，求X的分布列和数学期望. n(ad bc)2 参考公式及数据：2  ，其中nabcd .  ab  cd  ac  bd  =P  2  k  0.025 0.01 0.005 0.001 k 5.024 6.635 7.879 10.82818. （17分）袋中装有大小相同的4个红球，2个白球.某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规 则如下： ①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取； ②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束. (1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率； (2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分X的分 布列和数学期望. x2 y2 19.（17分）已知椭圆C:  1（ab0）的左、右焦点分别为F ，F ，右顶点 a2 b2 1 2 1 为A，且 AF  AF 4，离心率为 . 1 2 2 (1)求C的方程； (2)已知点B 1,0 ，M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线AM ，AN分别   9 交直线x=1于P，Q两点，若BPBQ ，证明：直线MN过定点. 4答 案 一．单项选择题 1.B 2.B 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C 8.A 1 p 2 p 2 8 ． 解 析 ： 由 题 可 得 E 0 1 1 2 1   1 p  ， 1 3 3 3 3 1 E  2  1 2 4 p 1  2  4p 1 ， E 0 p 2 1 2 2 1 p 2  2  2 p  ， 1 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2   2 1 p 4 E 2 1 4 2 2 p ， 则 2 3 3 3 2 D  E  2  E  2  2  4p 1  4  1 p 2  2  4p 1  4 p2 ，   1 1 1 3 3 9 1 9 9 9 1 D  E  2  E  2 2 4 p  4  2 p 2  2  4 p  4 p2 ，   2 2 2 3 2 9 2 9 9 2 9 2 D D  4  p  p  4 p2  p2   4  p  p 1 p  p ，   1 2 9 1 2 9 1 2 9 1 2 1 2 1 若 p  p  ，则 p  p 0，p  p 1，故D D 0，即D  D ， 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 故A正确，B错误；若 p   p ，则 p  p 0，但无法判断 p  p 与1的大小，故无 1 2 2 1 2 1 2 法判断D ，D 的大小，故C，D错误.故选A. 1 2 二．多项选择题 9.ABC 10. BD 11. BD 11.解析：对于A:从7名志愿者中抽取3人,所有可能的情况有C3 35（种）,其中恰有1名 7 C1C2 18 女志愿者的情况有C1C2 18（种）,故P  A  3 4  ,故A错误; 3 4 C3 35 7 C1C2 C2C1 C3 34 对于B:P  B  4 3 4 3 4  ,故B正确; C3 35 7 对于C:由题意知X的可能取值为0,1,2,3, C3 4 18 C2C1 12 C3 1 则P  X 0  4  ,P  X 1  ,P  X 2  3 4  ,P  X 3  3  , C3 35 35 C3 35 C3 35 7 7 7 4 18 12 1 9 所以E  X 0 1 2 3  ,故C错误. 35 35 35 35 7 对 于 D: 由 题 可 知 Y 的 可 能 取 值 为 0,1,2,3, 则 1 12 18 P  Y 0  P  X 3  , P  Y 1  P  X 2  , P  Y 2  P  X 1  , 35 35 35 4 P  Y 3  P  X 0  , 35则E  Y2  0 1 1 12 4 18 9 4  24 , 35 35 35 35 7 1 12 18 4 12 E  Y 0 1 2 3  , 35 35 35 35 7 2 则 D  Y  E  Y2    E  Y 2  24    12   24 ,故D正确. 7  7  49 7 9 三．填空题 12.①②④ 13. 1.5 14.10;10.（第一空2分，第二空3分） 14．解析：设事件A :第一天去A餐厅,事件A :第二天去A餐厅,事件B :第一天去B餐厅, 1 2 1 事件B :第二天去B餐厅, 2 由题意可知,P  A  P  B  1 ,P  A A   3 ,P  A B   4 , 1 1 2 2 1 5 2 1 5 则P  A  P  A  P  A A  P  B  P  A B  , 2 1 2 1 1 2 1 1 3 1 4 7      , 2 5 2 5 10 7 所以第2天去A餐厅的概率为 ; 10 7 3  3  由题意可知,每个人去B餐厅的概率为1  ,X  B3, , 10 10  10 3 9 所以EX 3  . 10 10 7 9 故答案为： ; . 10 10 四．解答题 15.（13分）(1)因为S 2n2 10n1, n 2  5 23 所以 S 2n   ,又 nN, n  2 2 所以n2或n3时, S n 取最小值时,最小值为11;·························（5分） (2)因为S 2n2 10n1, n 所以S 21017,当n2时,S 2  n1 2 10  n1 1, 1 n1a 7 所以 1 ,·····································（7分） 当n2时,a  S S 2n2 10n12  n1 2 10  n1 14n12,··（12分） n n n1 7,n1 a  所以 n 4n12,n2 .·······································（13分） 16. （15分） （1）C1 A4 96（种）·······························（3分） 4 4 （2）A2A3 36（种）·······························（7分） 3 3 （3）A4A2 48（种）······························（11分） 4 2 （4）A3A2 72（种）······························（15分） 3 4 17.（15分）（1）零假设H :周平均锻炼时长与年龄无关联. 0 400(1205015080)2 由表格数据得：2  10.256 6.635 x ，··（5分） 200200270130 0.01 根据小概率值0.01的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为周平均锻炼 0 时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.······· ·（7分） 50 （2）抽取的8人中，周平均锻炼时长少于5小时的有8 2人，不少于5 200 150 小时的有8 6人，···················（9分） 200 则X所有可能的取值为1，2，3， C2C1 3 C1C2 15 C3 5 所以P  X 1  2 6  ，P  X 2  2 6  ，P  X 3  6  （12分） C3 28 C3 28 C3 14 8 8 8 所以X的分布列为： X 1 2 3 3 15 5 P 28 28 143 15 5 9 所以数学期望E  X 1 2 3  .···········（15分） 28 28 14 4 18.（17分） （1）设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次为事件A， 记第i次（i 1,2,3）摸到红球为事件B ， i 则事件AB B B BB B ， 1 1 2 1 2 3 显然B 、B B 、BB B 彼此互斥， 1 1 2 1 2 3 由互斥事件概率的加法公式：P  A P  B B B BB B  1 1 2 1 2 3        P B P B B P BB B 1 1 2 1 2 3 因为每次摸到红球后放回，所以，P  B  2 ，P  B   1 ， i 3 i 3 1 2 1 2 2 1 19 所以，P  A        .·························（5分） 3 3 3 3 3 3 27 （2）依题意，X的可能取值为2，3，4，5， P  X 2  P  B   1 ， 1 3 P  X 3  P  B B   2  1  2 ， 1 2 3 3 9 4 P  X 4  P  BB B  P  BB B B  2  2  1    2   28 ， 1 2 3 1 2 3 4 3 3 3 3 81 3 P  X 5  P  BB B B     2   1  8 ，························（13分） 1 2 3 4 3 3 81 所以，一轮摸球游戏结束时，此人总得分X的分布列为： X 2 3 4 5 1 2 28 8 P 3 9 81 81 1 2 28 8 260 E  X 2 3 4 5  .························（17分） 3 9 81 81 81 19.（17分） (1)设椭圆C的半焦距为c，2a 4 a 2  c 1  由题意得  ，解得b 3， a 2   c1  a2 b2 c2  x2 y2 故C的方程为  1.·····························（5分） 4 3 (2)证明：由题意可知直线MN 的斜率不为0，   否则P，Q将位于x轴同侧，BPBQ 0，不合题意； x2 y2 设MN的方程为xsyt（t 2），代入  1， 4 3   得 3s2 4 y2 6sty3t2 120，    由Δ 36s2t2 4 3s2 4 3t2 12 0， 得3s2 4t2 0， 设M  x ,y ，N  x ,y ， 1 1 2 2 6st 3t2 12 则 y  y  ， y y  ，·······················（9分） 1 2 3s2 4 1 2 3s2 4 8t 所以x x  s  y  y 2t  ， 1 2 1 2 3s2 4 x x  sy t  sy t  1 2 1 2 4t2 12s2  s2y y st  y  y t2  ， 1 2 1 2 3s2 4 y 直线AM的方程为 y  1  x2 ， x 2 13y  3y  令x=1，得 y  1 ，故P1, 1 ， x 2  x 2 1 1  3y  同理可求Q1, 2 ，  x 2 2   3y    3y  所以BP 0, 1 ，BQ 0, 2  ，·······················（13分）  x 2  x 2 1 2   9 3y  3y  9 由BPBQ ，得 1  2  ， 4 x 2  x 2 4 1 2 y y 1 即 1 2  ， x x 2  x x 4 4 1 2 1 2 3t2 12 3s2 4 1 所以  ， 4t2 12s2 8t 4 2 4 3s2 4 3s2 4   3 t2 4 所以 1，解得t 1，（t 2舍），  t2 2 所以直线MN的方程为x  sy1， 故直线MN过定点1,0  .································（17分）