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2008 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
理科数学（必修+选修Ⅱ）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，
共60分）．
i(2+i)
1．复数 等于（ ）
1-2i
A．i B．-i C．1 D．-1
2．已知全集U ={1，2，3，4，5}，集合A={x|x2 -3x+2=0}，B={x|x=2a，aÎA}，则集合ð (A B)
U U
中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c= 2，b= 6，B=120o，则a等于（ ）
A． 6 B．2 C． 3 D． 2
4．已知{a }是等差数列，a +a =4，a +a =28，则该数列前10项和S 等于（ ）
n 1 2 7 8 10
A．64 B．100 C．110 D．120
5．直线 3x- y+m=0与圆x2 + y2 -2x-2=0相切，则实数m等于（ ）
A． 3或- 3 B．- 3或3 3 C．-3 3或 3 D．-3 3或3 3
1 a
6．“a= ”是“对任意的正数x，2x+ ≥1”的（ ）
8 x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数 f(x)=2x+3， f -1(x)是 f(x)的反函数，若mn=16（m，nÎR+），则 f -1(m)+ f -1(n)的
值为（ ）
A．-2 B．1 C．4 D．10
x2 y2
8．双曲线 - =1（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F，F ，过F 作倾斜角为30o的直线交双曲
a2 b2 1 2 1
线右支于M 点，若MF 垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ ）
2
3
A． 6 B． 3 C． 2 D．
3
9．如图，a^b，a b=l，AÎa，BÎb，A，B到l的距离分别是a和b，AB与a，b所成的角分
I
别是q和j，AB在a，b内的射影分别是m和n，若a>b，则（ ）
第1页 | 共11页A．q>j，m>n B．q>j，mn a B
b
l
ìy≥1，
ï
10．已知实数x，y满足íy≤2x-1，如果目标函数z = x- y的最小值为-1，则实数m等于（ ）
ï
x+ y≤m．
î
A．7 B．5 C．4 D．3
11．定义在R上的函数 f(x)满足 f(x+ y)= f(x)+ f(y)+2xy（x，yÎR）， f(1)=2，则 f(-3)等
于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原
信息为a aa，a Î{0，1}（i =0，1，2），传输信息为h a aa h ，其中h =a Åa，h =h Åa ，Å运算
0 1 2 i 0 0 1 2 1 0 0 1 1 0 2
规则为：0Å0=0，0Å1=1，1Å0=1，1Å1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信
息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．
(1+a)n+1
13．lim =2，则a= ．
n→¥ n+a
14．长方体ABCD-ABC D 的各顶点都在球O的球面上，其中AB:AD:AA =1:1: 2．A，B两点
1 1 1 1 1
m
的球面距离记为m，A，D 两点的球面距离记为n，则 的值为 ．
1 n
15．关于平面向量a，b，c．有下列三个命题：
①若a b=a c，则b=c．②若a =(1，k)，b=(-2，6)，a∥b，则k =-3．
g g
③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角为60o．
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、
乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用
数字作答）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）
17．（本小题满分12分）
x x x
已知函数 f(x)=2sin cos -2 3sin2 + 3．
4 4 4
（Ⅰ）求函数 f(x)的最小正周期及最值；
æ πö
（Ⅱ）令g(x)= f
ç
x+ ÷，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
è 3ø
第2页 | 共11页18．（本小题满分12分）
某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得1~i (i =1，2，3)分，3次
均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）该射手的得分记为x，求随机变量x的分布列及数学期望．
19．（本小题满分12分）
三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为ABC ，ÐBAC =90o，AA^平面
1 1 1 1
BD 1
ABC，AA= 3，AB= 2 ，AC =2，AC =1， = ．
1 1 1 DC 2
（Ⅰ）证明：平面AAD^平面BCC B ；
1 1 1 A 1 C 1
B
1
（Ⅱ）求二面角A-CC -B的大小．
1
A
C
B D
20．（本小题满分12分）
已知抛物线C： y =2x2，直线 y =kx+2交C于A，B两点，M 是线段AB的中点，过M 作x轴的垂
线交C于点N ．
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N 处的切线与AB平行；
uuur uuur
（Ⅱ）是否存在实数k使NA NB=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
g
21．（本小题满分12分）
kx+1
已知函数 f(x)= （c>0且c¹1，kÎR）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是
x2 +c
x=-c．
（Ⅰ）求函数 f(x)的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数 f(x)的极大值M 和极小值m，并求M -m≥1时k的取值范围．
第3页 | 共11页22．（本小题满分14分）
3 3a
已知数列{a }的首项a = ，a = n ，n=1，2， ．
n 1 5 n+1 2a +1 L
n
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
1 1 æ 2 ö
（Ⅱ）证明：对任意的x>0，a n ≥ 1+x - (1+x)2 ç è3n -x ÷ ø ，n=1，2， L ；
n2
（Ⅲ）证明：a +a + +a > ．
1 2 L n n+1
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案
一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A
8．B 9．D 10．B 11．C 12．C
1
二、13．1 14． 15．② 16．96
2
x x x x æ x πö
三、17．解：（Ⅰ） Q f(x)=sin + 3(1-2sin2 ) =sin + 3cos =2sin ç + ÷．
2 4 2 2 è2 3ø
2π
\ f(x)的最小正周期T = =4π．
1
2
æ x πö æ x πö
当sin
ç
+
÷
=-1时， f(x)取得最小值-2；当sin
ç
+
÷
=1时， f(x)取得最大值2．
è2 3ø è2 3ø
æ x πö æ πö
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f(x)=2sin ç + ÷．又g(x)= f ç x+ ÷．
è2 3ø è 3ø
é1æ πö πù æ x πö x
\ g(x)=2sin ê ç x+ ÷ + ú =2sin ç + ÷ =2cos ．
ë2è 3ø 3û è2 2ø 2
第4页 | 共11页æ xö x
Q
g(-x)=2cos
ç
-
÷
=2cos = g(x)．
è 2ø 2
\函数g(x)是偶函数．
18．（Ⅰ）设该射手第i次击中目标的事件为A(i =1，2，3)，则P(A)=0.8，P(A)=0.2，
i i i
P(AA)= P(A)P(A)=0.2´0.8=0.16．
i i i i
（Ⅱ）x可能取的值为0，1，2，3． x的分布列为
x 0 1 2 3
P 0.008 0.032 0.16 0.8
E =0´0.008+1´0.032+2´0.16+3´0.8=2.752.
x
19．解法一：（Ⅰ） AA^平面ABC，BC Ì平面ABC，
Q 1
\ AA^ BC ．在Rt△ABC 中，AB= 2，AC =2，\BC = 6，
1
6 BD 3 AB
BD:DC =1:2，\BD= ，又 = = ，
Q
3 AB 3 BC
\△DBA∽△ABC，\ÐADB=ÐBAC =90o，即AD^ BC．
又AA AD= A，\BC ^平面AAD，
1 I 1
BC Ì平面BCC B ，\平面AAD ^平面BCC B ．
Q 1 1 1 1 1
（Ⅱ）如图，作AE ^CC交CC 于E点，连接BE，
1 1
由已知得AB^平面ACC A ．
1 1
A C
1 1
B
\AE 是BE在面ACC A 内的射影． 1
1 1
E
由三垂线定理知BE ^CC ， A
1 C
F
\ÐAEB为二面角A-CC -B的平面角． B D
1
（第19题，解法一）
过C 作C F ^ AC 交AC于F 点，
1 1
则CF = AC-AF =1，C F = AA= 3，
1 1
第5页 | 共11页\ÐCCF =60o．
1
3
在Rt△AEC 中，AE = ACsin60o =2´ = 3．
2
AB 2 6
在Rt△BAE中，tanAEB= = = ．
AE 3 3
z
6
\ÐAEB=arctan ， A 1 C 1
3 B
1
6
即二面角A-CC -B为arctan ． A
1 3 y
C
B D
解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，
x
则A(0，0，0)，B( 2，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，3)，C (0，1，3)，
（第19题，解法二）
1 1
uuur 1uuur
BD:DC =1:2，\BD= BC．
Q
3
æ2 2 2 ö
\D点坐标为ç ，，0÷．
ç ÷
3 3
è ø
uuur æ2 2 2 ö uuur uuur
\ AD=ç ，，0÷，BC =(- 2，2，0)，AA =(0，0，3)．
ç 3 3 ÷ 1
è ø
uuur uuur uuur uuur
BC AA =0，BC AD=0，\BC ^ AA ，BC ^ AD，又AA AD= A，
Q g 1 g 1 1 I
\BC ^平面AAD，又BC Ì平面BCC B ，\平面AAD^平面BCC B ．
1 1 1 1 1 1
uuur
（Ⅱ） BA^平面ACC A ，取m = AB=( 2，0，0)为平面ACC A 的法向量，
Q 1 1 1 1
uuur uuuur
设平面BCC B 的法向量为n=(l，m，n)，则BC n=0，CC n=0．
1 1 g 1g
ì ï- 2l+2m=0， 3
\í \l = 2m，n= m，
ïî-m+ 3n=0， 3
æ 3ö
如图，可取m=1，则n=ç 2，1， ÷，
ç ÷
3
è ø
3
2´ 2+0´1+0´
3 15
cos= = ，
2 5
æ 3ö
( 2)2 +02 +02 g ( 2)2 +12 +ç ÷
3
è ø
第6页 | 共11页15
即二面角A-CC -B为arccos ．
1 5
20．解法一：（Ⅰ）如图，设A(x，2x2)，B(x，2x 2)，把y =kx+2代入y =2x2得2x2 -kx-2=0，
1 1 2 2
k y
由韦达定理得x +x = ，x x =-1，
1 2 2 1 2 M A
x +x k æk k2 ö 2
\ x = x = 1 2 = ，\ N 点的坐标为ç ， ÷．
N M 2 4 è4 8 ø B 1
N x
O
1
k2 æ k ö
设抛物线在点N 处的切线l的方程为y- =m ç x- ÷，
8 è 4ø
mk k2
将y =2x2代入上式得2x2 -mx+ - =0，
4 8
直线l与抛物线C相切，
Q
æmk k2 ö
\D=m2 -8ç - ÷=m2 -2mk+k2 =(m-k)2 =0，\m=k．
è 4 8 ø
即l∥AB．
uuur uuur
（Ⅱ）假设存在实数k，使NA NB=0，则NA^ NB，又 M 是AB的中点，
g Q
1
\|MN |= | AB|．
2
1 1 1
由（Ⅰ）知y = (y + y )= (kx +2+kx +2)= [k(x +x )+4]
M 2 1 2 2 1 2 2 1 2
1æk2 ö k2
= ç +4÷= +2．
2è 2 ø 4
k2 k2 k2 +16
MN ^ x轴，\|MN |=| y - y |= +2- = ．
Q M N 4 8 8
又| AB|= 1+k2 |x -x |= 1+k2 (x +x )2 -4x x
g 1 2 g 1 2 1 2
2
æk ö 1
= 1+k2
g ç ÷
-4´(-1) = k2 +1
g
k2 +16．
è2ø 2
k2 +16 1
\ = k2 +1 k2 +16，解得k =±2．
g
8 4
uuur uuur
即存在k =±2，使NA NB=0．
g
解法二：（Ⅰ）如图，设A(x，2x2)，B(x，2x2)，把y =kx+2代入y =2x2得
1 1 2 2
第7页 | 共11页k
2x2 -kx-2=0．由韦达定理得x +x = ，x x =-1．
1 2 2 1 2
x +x k æk k2 ö
\ x N = x M = 1 2 2 = 4 ，\ N 点的坐标为ç è4 ， 8 ÷ ø ． Q y =2x2，\y¢=4x，
k
\抛物线在点N 处的切线l的斜率为4´ =k ，\l∥AB．
4
uuur uuur
（Ⅱ）假设存在实数k，使NA NB=0．
g
uuur æ k k2 ö uuur æ k k2 ö
由（Ⅰ）知NA=çx - ，2x2 - ÷ ，NB=çx - ，2x2 - ÷，则
è 1 4 1 8 ø è 2 4 2 8 ø
uuur uuur æ k öæ k ö æ k2 öæ k2 ö
NA g NB= ç è x 1 - 4 ÷ ø ç è x 2 - 4 ÷ ø +ç è 2x 1 2 - 8 ÷ ø ç è 2x 2 2 - 8 ÷ ø
æ k öæ k ö æ k2 öæ k2 ö
= ç x - ÷ç x - ÷ +4çx2 - ÷çx2 - ÷
è 1 4øè 2 4ø è 1 16øè 2 16ø
æ k öæ k ö é æ k öæ k öù
= x - x - 1+4 x + x +
ç
è 1 4
÷
ø
ç
è 2 4
÷
ø
gê
ë
ç
è 1 4
÷
ø
ç
è 2 4
÷
ø
ú
û
é k k2ù é k2ù
= x x - x +x + 1+4x x +k(x +x )+
ê
ë 1 2 4 1 2 16
ú
û
gê
ë 1 2 1 2 4
ú
û
æ k k k2 ö é k k2ù
=ç-1- ´ + ÷gê 1+4´(-1)+k´ + ú
è 4 2 16ø ë 2 4 û
æ k2 öæ 3 ö
=ç-1- ÷ç -3+ k2 ÷
è 16øè 4 ø
=0，
k2 3
-1- <0，\-3+ k2 =0，解得k =±2．
Q
16 4
uuur uuur
即存在k =±2，使NA NB=0．
g
k(x2 +c)-2x(kx+1) -kx2 -2x+ck
21．解：（Ⅰ） f¢(x)= = ，由题意知 f¢(-c)=0，
(x2 +c)2 (x2 +c)2
即得c2k-2c-ck =0，（*） c¹0，\k ¹0．
Q
由 f¢(x)=0得-kx2 -2x+ck =0，
第8页 | 共11页2
由韦达定理知另一个极值点为x=1（或x=c- ）．
k
2 2
（Ⅱ）由（*）式得k = ，即c=1+ ．
c-1 k
当c>1时，k >0；当00时， f(x)在(-¥，-c)和(1，+¥)内是减函数，在(-c，1)内是增函数．
k+1 k
\M = f(1)= = >0，
c+1 2
-kc+1 -k2
m= f(-c)= = <0，
c2 +c 2(k+2)
k k2
由M -m= + ≥1及k >0，解得k≥ 2．
2 2(k+2)
（ii）当k <-2时， f(x)在(-¥，-c)和(1，+¥)内是增函数，在(-c，1)内是减函数．
-k2 k
\M = f(-c)= >0，m= f(1)= <0
2(k+2) 2
-k2 k (k+1)2 +1
M -m= - =1- ≥1恒成立．
2(k+2) 2 k+2
综上可知，所求k的取值范围为(-¥，-2) [ 2，+¥)．
U
3a 1 2 1 1 1æ 1 ö
22．解法一：（Ⅰ） Q a n+1 = 2a + n 1 ，\ a = 3 + 3a ，\ a -1= 3 ç a -1÷，
è ø
n n+1 n n+1 n
1 2 æ 1 ö 2 1
又 -1= ，\ç -1÷是以 为首项， 为公比的等比数列．
a 3 a 3 3
è ø
n n
1 2 1 2 3n
\ -1= = ，\a = ．
a 3 g 3n-1 3n n 3n +2
n
3n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a = >0，
n 3n +2
1 1 æ 2 ö
- -x
ç ÷
1+x (1+x)2 è3n ø
1 1 æ 2 ö
= - +1-1-x
ç ÷
1+x (1+x)2 è3n ø
第9页 | 共11页1 1 é 1 ù
= - -(1+x)
ê ú
1+x (1+x)2 a
ë û
n
1 1 2
=- +
g
a (1+x)2 1+x
n
2
1 æ 1 ö
=-
ç
-a
÷
+a ≤a ，\原不等式成立．
a è1+x n ø n n
n
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的x>0，有
1 1 æ2 ö 1 1 æ 2 ö 1 1 æ 2 ö
a +a + +a ≥ - -x + - -x + + - -x
1 2 L n 1+x (1+x)2 ç è3 ÷ ø 1+x (1+x)2 ç è32 ÷ ø L 1+x (1+x)2 ç è3n ÷ ø
n 1 æ2 2 2 ö
= - ç + + L + -nx ÷．
1+x (1+x)2 è3 32 3n ø
2æ 1 ö
1-
ç ÷
1æ2 2 2 ö 3è 3n ø 1æ 1 ö
\取x= ç + + L + ÷ = = ç 1- ÷，
nè3 32 3n ø æ 1ö nè 3n ø
n 1-
ç ÷
è 3ø
n n2 n2
则a +a + +a ≥ = > ．
1 2 L n 1æ 1 ö 1 n+1
1+ 1- n+1-
ç ÷
nè 3n ø 3n
\原不等式成立．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
1 1 æ 2 ö
（Ⅱ）设 f(x)= - ç -x ÷，
1+x (1+x)2 è3n ø
æ 2 ö æ 2 ö
-(1+x)2 - -x 2(1+x) 2 -x
ç ÷g ç ÷
1 è3n ø è3n ø
则 f¢(x)=- - =
(1+x)2 (1+x)2 (1+x)2
x>0，
Q
2 2
\当x< 时， f¢(x)>0；当x> 时， f¢(x)<0，
3n 3n
2 æ 2 ö 1
\当x= 时， f(x)取得最大值 f ç ÷ = =a ．
3n è3n ø 2 n
1+
3n
\原不等式成立．
（Ⅲ）同解法一．
第10页 | 共11页B卷选择题答案：
1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．A 7．D
8．C 9．C 10．B 11．B 12．D
第11页 | 共11页
