文档内容
2025~2026 学年度第一学期高二 10 月联考
数学（A 卷）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册（约20%）、选择性必修第一册第一章~第二章第2节
（约80%）.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数 ，则复数 的虚部为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数乘法、虚部的概念即可求解.
【详解】由题意可得 ，故复数 的虚部为 .
.
故选：D
2. 直线 的倾斜角是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 垂直于 轴即可得解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】直线 垂直于 轴，故所求倾斜角是 .
故选：C.
3. 已知点 ， ，点 满足 ，则点 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算计算.
【详解】设点 ，又 ， ，
所以 ， ，
又 ，
所以 ，
解得 ， ， ，
所以点 的坐标是 .
故选：A.
4. 过点 且与直线 平行的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出已知直线的斜率，再结合平行关系及直线的点斜式方程求解即得.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】直线 的斜率为 ，则所求直线的斜率为 ，且过点 ，
所以所求直线的方程为 ，即 .
故选：A.
5. 已知向量 ， ，且向量 与 夹角的余弦值为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由向量坐标形式的模的公式、夹角余弦公式和数量积坐标表示即可计算求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ， ，
又向量 与 夹角的余弦值为 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
6. 已知两点 ， ，直线 过点 ，若直线 与线段 相交，则直线 的斜率的
取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司分析】画出图形，求得 ， ，结合图形即可得解.
【
【详解】由题意知 ， ，由图可知直线 的斜率的取值范围是
.
故选：B.
7. 若直线 过点 ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则直线 的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可设直线 的方程为： ，利用三角形面积列方程，分类讨论求解即可.
【详解】由题意知，直线 的斜率存在且不为0.设直线 ： .
设此直线与 轴、 轴的交点分别为 ， ，
则点 ， 的坐标分别为 ， ，
因此面积为 ，
若 ，解得 ；
若 ，解得 或 .
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学科网（北京）股份有限公司综上，直线 的个数为3.
故选：C.
8. 已知空间向量 ， ， 满足 ， ，且 ， ，则
的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 25 D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】由题意设 ， ， ，利用数量积的坐标运算求得 的
最小值.
【详解】因为 ， ，
故可设 ， ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
又 ，
所以 ，
当且仅当 时取得等号，
所以 的最小值是5.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知一组样本数据如下：2，3，4，5，7，7，8，12，则该组数据的（ ）
A. 极差为10 B. 平均数为6
C. 标准差为9 D. 第80百分位数为7.5
【答案】AB
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用极差、平均数、标准差、百分位数的求法求解，逐项判断即可.
【详解】样本数据：2，3，4，5，7，7，8，12，
故极差为 ，故A正确；
平均数为 ，故B正确；
标准差为 ，故
C错误；
因为 ，所以第80百分位数为8，故D错误.
故选：AB.
10. 下列说法中正确的有（ ）
A. 若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底
B. 在空间直角坐标系 中，点 关于 轴对称的点的坐标是
C. 已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 .若 ，则
D. 已知直线 过点 ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，说明 ， ， 不共面即可；对于B，由点关于坐标轴的对称法则判断即可；对于
C，由 即可列方程验算；对于D，分截距是否为0进行讨论即可.
【详解】对于A，因为 ， ， 不共面，即 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ， 不共面，所以 也是空间的一个基底，故A正确；
对于B，点 关于 轴对称的点是 ，故B错误；
对于C，由平面平行可得 ，所以 ，解得 ，故C正确；
对于D，当直线 过坐标原点时，直线 的方程为 ；
当直线 不过坐标原点时，设直线 的方程为 ，又过点 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
综上，直线 的方程为 或 ，故D错误.
故选：AC.
11. 在四棱柱 中，底面 是平行四边形， ，且
，点 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 ， ， ， 四点共面
C. 直线 与直线 所成角的余弦值为
D. 四棱柱 的体积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据空间向量运算求解判断A；根据空间向量共面定理判断B；根据异面直线所成角的向量求法
求解判断C，根据向量法求得点 到平面 的距离，代入柱体体积公式求解判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意知 ，
若 ，则 ，故A正确；
由题意知 ，若 ，则 ，
可得 ，所以 ，
即 ，所以 ， ， ， 四点共面，故B正确；
因为 ， ， ，
且 ， 所 以
，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即直线 与直线 所成角的余弦值为 ，故C错误；
记点 在平面 内的投影为 ，设 ，
所以 ，
又 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
，
解 得 ， ， 所 以 ， 所 以
，即四棱柱 的高为 ，
所以四棱柱 的体积为 ，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知事件 与 互斥，且 ， ，则 ________.
【答案】0.82
【解析】
【分析】由概率的基本性质即可求解.
【详解】因为事件 与 互斥，所以 ，所以
.
故答案为：0.82.
13. 若 ， ，且 ，则经过 ， 的直线 的一般方程为
________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等式与直线方程的联系进行求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ， ，
所以 在直线 上， 在直线 上，
又过点 的直线有且只有一条，
所以经过 ， 的直线 的一般方程为 ，
故答案为：
14. 已知正方体 的棱长为4，空间中的一点 满足 ，则 的取值范
围是________.
【答案】
【解析】
【分析】设 的中点 ，由 得到点P的轨迹，然后利用向量的数量积求解.
【详解】设 的中点 ，易得 ，
所以
，
所以 ，即 在以 为球心， 为半径的球面上，
过点 作直线 的垂线，垂足为 ，
所以 ，
所以 ， ，
即 的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间三点 ， ， ，设 ， .
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求 的值；
（2）若向量 满足 ，且 ，求向量 的坐标.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）写出两个向量的坐标，然后通过向量垂直的坐标公式求解；
（2）通过向量平行设出向量的坐标、再通过向量的模长求解.
【小问1详解】
由题意知 ，
，
所以 ，
又 ，所以 ，
解得 .
【小问2详解】
因为 ，又 ，
设 ，
又 ，所以 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以向量 的坐标为 或 .
16. 已知 的三个顶点是 ， ， .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求边 上的中线所在的直线方程；
（2）求边 上的高所在的直线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据中线的性质和直线的点斜式方程，求出结果；
（2）根据高的性质，和直线垂直斜率的关系，以及点斜式方程，求出结果；
【小问1详解】
因为 ， ，所以 的中点 的坐标为 ，
又 ，
所以边 上的中线所在的直线方程为 ，即 .
【小问2详解】
因为 ， ，所以 ，
设边 上的高所在的直线的斜率为 ，所以 ，得 ，
所以边 上的高所在的直线方程为 ，即 .
17. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，点 是边 上的一点，且 ，求 和 的面积.
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2） ，
【解析】
的
【分析】（1）通过正弦定理和两角和 正弦公式，求出 ；
（2）先用余弦定理求出 ，再通过三角恒等变换求出 ，结合正弦定理求出 ，从而得到
的面积.
【小问1详解】
因为 ，由正弦定理得 ，
又 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 .
【小问2详解】
由余弦定理可得 ，所以 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以
，
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学科网（北京）股份有限公司在 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
所以 的面积为 .
18. 如图，在直四棱柱 中，四边形 是矩形， ， ，点 ，
分别为 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行；
（2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离；
（3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明：以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所
示，则 ， ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
又 ， ，所以
令 ，解得 ，所以平面 的一个法向量为 ，
又 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
解：由（1）知 ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，所以
令 ，解得 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以点 到平面 的距离 ，
即点 到平面 的距离为 .
【小问3详解】
解：由（1）知平面 的一个法向量为 ，
由（2）知平面 的一个法向量为 ，设二面角 的大小为 ，
又 ，
所以 ，即二面角 的正弦值为 .
19. 如图1，在 中， ， ， ， 分别是 ， 边上的动点（不同于
端点），且 ，将 沿 折起到 的位置，得到四棱锥 ，如图2所示，
点 是线段 的中点.
（1）求证： ；
（2）若 ，当四棱锥 的体积取得最大值时，求平面 与平面 的夹角的余
弦值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明 平面 ，从而利用线面垂直性质定理得到线线垂直；
（2）先通过面积取得最大值，得到两平面垂直，再建立空间直角坐标系，并求出两平面的法向量，从而
得到两平面夹角的余弦值；
（3）先建立空间直角坐标系，并设出点 和 的坐标，通过垂直得出关系，求出平面 的法向量，
代入线面角的向量公式得 ，从而利用对勾函数单调性和正弦函数性质求解
即可.
【小问1详解】
在 中， ， ，所以 ，
所以在四棱锥 中， ， ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
【小问2详解】
当四棱锥 的体积取得最大值时，平面 平面 .
又平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司故以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
.
则 ， ， ， ， ，所以
设平面 的一个法向量为 ，
又 ， ，
所以 ，令 ，解得 ， ，
所以平面 的一个法向量 .
设平面 的一个法向量为 ，
又 ， ，
所以 ，
令 ，解得 ，所以平面 的一个法向量 .
的
设平面 与平面 夹角为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
【小问3详解】
以 为坐标原点，直线 和 分别为 ， 轴，过 作平面 的垂线为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，设 ， ， ，
， ，
， ，
又 ，所以 ，解得 ，
则 ，则 ，
又 ，所以 ，
整理得 ，且 ， ，得 .
易得平面 的一个法向量为 ，设直线 与平面 所成角为 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
令 ，函数 在 上单调递减， ，
因此 ，则 ，解得 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是 .
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学科网（北京）股份有限公司
