2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果
，每个空格填对得4
分，否则一律得零分．
（1）【2014年上海，文1，5分】函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是 ．
π
【答案】
2
2π π
【解析】y=1-2cos2(2x)=-(2cos2(2x)-1)=-cos4x，所以T = = ．
4 2
æ ö
1 _
（2）【2014年上海，文2，5分】若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则çz+ ÷×z=
ç _ ÷
è zø
．
【答案】6
æ ö
1 _ -
【解析】çz+ ÷×z=z×z+1=(1+2i)(1-2i)+1=1-4i2+1=6．
ç _ ÷
è zø
（3）【2014年上海，文3，5分】设常数aÎR，函数 f(x)=|x-1|+|x2 -a|，若 f(2)=1，
则 f(1)= ．
【答案】3
【解析】 f(2)=1+|4-a|=1，所以a=4，所以 f(x)=|x-1|+|x2 -4|，故 f(1)=3．
x2 y2
（4）【2014年上海，文4，5分】若抛物线y2 =2px的焦点与椭圆 + =1的右焦点重合
9 5
，则该抛物线的准线方程为 ．
【答案】x=-2
x2 y2 p
【解析】椭圆 + =1的右焦点右焦点为（2,0），故 =2，故该抛物线的准线方程为
9 5 2
p
x=- =-2．
2
（5）【2014年上海，文5，5分】某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800
名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三
抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．
【答案】70
【解析】由分层抽样知高一、高二、高三抽取的学生数比为4:3:2，高三抽取的学生数为20
æ 2 4+3 ö
，故高一、高二共需抽取的学生数为20 ç ´ ÷=70．
è4+3+2 4+3+2ø
（6）【2014年上海，文6，5分】若实数x,y满足xy=1，则x2 +2y2的最小值为 ．
【答案】2 2
【解析】由基本不等式可得x2 +2y2…2 2xy=2 2 ，故x2 +2y2的最小值为2 2．
（7）【2014年上海，文7，5分】若圆锥的侧面积是底面积的三倍，则其母线与轴所成的角
大小为 ．（结果用反三角函数值表示）
1
【答案】arcsin
3
第1页 | 共6页【解析】由题意可得，πrl =3πr2，解得l =3r，记母线与轴所成的角为q，则
r 1 1
sinq= = ，即q=arcsin ．
l 3 3
（8）【2014年上海，文8，5分】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的
三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ．
【答案】24
【解析】由三视图可知，被割去的两个小长方体长为2，宽为3，高为2，故切
割掉的两个小长
方体的体积之和为2×3×2×2=24．
ì-x+a,x„ 0
ï
（9）【2014年上海，文9，5分】设 f(x)=í 1 ，若 f(0)是 f(x)的最小值，则a
x+ ,x>0
ï
î x
的取值范围为 ．
【答案】(-¥,2]
【解析】 f(0)=a，当x>0时， f(x)…2，因为 f(0)是 f(x)的最小值，故a£2．
（10）【2014年上海，文10，5分】设无穷等比数列{a }的公比为q，若
n
a =lim(a +a + +a ), q= ．
1 3 4 L n
n®¥
5-1
【答案】
2
【解析】因为无穷等比数列{a
n
}的极限存在，所以|q|<1，又因为a
1
=lim(a
3
+a
4
+
L
+a
n
),
n®¥
aq2(1-qn-2) 5-1
即a =lim 1 ，解得q= ．
1 n®¥ 1-q 2
2 1
-
（11）【2014年上海，文11，5分】若 f(x)=x3 -x 2，则满足 f(x)<0的x的取值
范围是 ．
【答案】(0,1)
2 1
-
【解析】函数 f(x)的定义域为(0,+¥)， f(x)<0即x3 <x 2，在同一坐标系中作出
2 1
-
x3、x 2（x>0）
2 1
-
的图象（如图），由图象可知，当xÎ(0,1)时，x3 <x 2.故满足 f(x)<0的x的取
值范围是(0,1)．
（12）【2014年上海，文12，5分】方程sinx+ 3cosx=1在区间[0,2π]上的所有解的和等
于 ．
7π
【答案】
3
π π 1
【解析】因为sinx+ 3cosx=1，所以2sin(x+ )=1,sin(x+ )= ，因为xÎ[0,2π]，所以
3 3 2
π π 7π π 1 π 5π π 13π
x+ Î[ , ]，所以由sin(x+ )= 可得x+ = 或x+ = ，解得
3 3 3 3 2 3 6 3 6
π 11π π 11π 7π
x = ,x = ，所以x +x = + = ．
1 2 2 6 1 2 2 6 3
（13）【2014年上海，文13，5分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机
选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是
（结果用最简分数表示）．
1
【答案】
15
第2页 | 共6页【解析】记“选择的3天恰好为连续3天”的概率为P，从10天中选择3天共有C3 种方法，从1
10
8 8 1
0天中选择连续的3天有8种选择方法，故P= = = .．
C3 120 15
10
（14）【2014年上海，文14，5分】已知曲线C:x=- 4- y2 ，直线l:x=6．若对于点
uuur uuur r
A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得AP+ AQ=0，则m的取值范围为 ．
【答案】[2,3]
uuur uuur r
【解析】由题意可设P(- 4- y 2,y ),Q(6,y )（-2„ y „ 2），又因为AP+ AQ=0，所以
p p Q P
点P、A、Q在一条直线上，且A点为线段PQ的中点．所以，2m=- 4- y 2 +6，
P
又-2„ y „ 2，所以mÎ[2,3]．
P
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有
一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．
（15）【2014年上海，文15，5分】设a,bÎR，则“a+b>4”是“a>2且b>2”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件
（D）既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】由a+b>4不能推出a>2且b>2，如a=1,b=6满足a+b>4，但不能满足a>2
且b>2；如果a>2且b>2，由不等式的性质可得a+b>4；故“a+b>4”是“
a>2且b>2”的必要非充分条件，故选B．
（16）【2014年上海，文16，5分】已知互异的复数a,b满足ab¹0，集合{a,b}={a2,b2}，
则a+b=（ ）
（A）2 （B）1 （C）0 （D）-1
【答案】D
【解析】（1）当a=a2,b=b2时，a,b可看作是x=x2的根，此时ab=0与ab¹0矛盾，故
舍去；
（2）当a=b2,b=a2时，可得a+b=b2 +a2，（*）因为a=b2，所以a2 =b4，所
以（*）即为b2 +b=b2 +b4，即b(b3 -1)=0，所以b=0或b3 =1，此时
1 3
b=0,或b=1,或b=- ± i；
2 2
①当b=0时，a=0，ab=0与ab¹0矛盾且不满足集合的互异性，故舍去；
②当b=1时，a=1,ab¹0，但此时不能满足集合的互异性，故舍去；
1 3 1 3
③当b=- + i时，a=- - i，ab¹0且满足集合的互异性，符合题意
2 2 2 2
，此时a+b=-1；
1 3 1 3
④当b=- - i时，a=- + i，ab¹0且满足集合的互异性，符合题意
2 2 2 2
，此时a+b=-1；
综上所述，a+b=-1.，故选D．
（17）【2014年上海，文17，5分】如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，
AB是大正方形的一条边，P(i=1,2,3, ,7)是小正方形的其余顶点，则
i L
uuur uuur
AB×AP(i=1,2, ,7)的不同值的个数为（ ）
i L
（A）7 （B）5 （C）3 （D）1
【答案】C
【解析】如图，以点A为原点，建立坐标系，则
A(0,0),B(0,2),P(0,1),P(1,0),P(1,1),P(1,2),P(2,0),
1 2 3 4 5
P(2,1),P(2,2)，故
6 7
第3页 | 共6页uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
AB=(0,2),AP =(0,1),AP =(1,0),AP =(1,1),AP =(1,2),AP =(2,0),
1 2 3 4 5
uuuur uuur uuur
AP =(2,2)，通过计算可得AB×AP(i=1,2, ,7)的值有0,2,4,共3个，故选C．
7 i L
（18）【2014年上海，文18，5分】已知P(a,b)与P(a ,b )是直线y=kx+1（k为常数）
1 1 1 2 2 2
ìax+by=1
上两个不同的点，则关于x和y的方程组í 1 1 的解的情况是（ ）
îa x+b y=1
2 2
（A）无论k、P、P 如何，总是有解 （B）无论k、P、P 如何，总有唯一解
1 2 1 2
（C）存在k、P、P ，使之恰有两解 （D）存在k、P、P ，使之有无穷多解
1 2 1 2
【答案】B
【解析】解法一：
ìka +1=b ìax+by=1 ìax+(ka +1)y=1 ìx=-k
由已知得í 1 1 ，代入í 1 1 得í 1 1 解得í ，即
îka +1=b îa x+b y=1 îa x+(ka +1)y=1 î y=1
2 2 2 2 2 2
直线ax+b y=1与a x+b y=1恒交于点(-k,1)（k为常数），故选B．
1 1 2 2
解法二：
a b
由已知条件b =ka +1，b =ka +1，D= 1 1 =ab -a b
1 1 2 2 a b 1 2 2 1
2 2
=a (ka +1)-a (ka +1)=a -a ¹0，
1 2 2 1 1 2
∴有唯一解，故选B．
三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内
写出必要的步骤．
（19）【2014年上海，文19，12分】底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展
P
3
开图是三
角形PPP ，如图．求DPPP的各边长及此三棱锥的体积V ．
1 2 3 1 2 3
解：根据题意可得P,B,P 共线，∵ÐABP =ÐBAP =ÐCBP ，ÐABC =60°， A C
1 2 1 1 2
∴ÐABP =ÐBAP =ÐCBP =60°，∴ÐP =60°，同理ÐP =ÐP =60°，∴DPPP
1 1 2 1 2 3 1 2 3
是等
P 1 B P 2
2 2 2
边三角形，P-ABC是正四面体，所以DPPP边长为4；∴V = ´AB3 =
1 2 3 12 3
．
2x +a
（20）【2014年上海，文20，14分】设常数a³0，函数 f(x)= ．
2x -a
（1）若a=4，求函数y= f(x)的反函数y= f-1(x)；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y= f(x)的奇偶性，并说明理由．
2x +4 4y+4 4y+4
解：（1）∵a=4，∴ f(x)= = y，∴2x = ，∴x=log ，
2x -4 y-1 2 y-1
4x+4
∴y= f-1(x)=log ，xÎ(-¥,-1) (1,+¥)． ……6分
2 x-1 U
（2）当a=0时， f(x)=1，定义域为R，故函数y= f(x)是偶函数；当a=1时，
2x +1
f(x)= 定义域为
2x -1
2-x +1 2x +1
(-¥,0) (0,+¥)， f(-x)= =- =-f(x)，故函数y= f(x)是奇函数；
U
2-x -1 2x -1
当a>0且a¹1时，
（-¥，log a) (log a,+¥)关于原点不对称，故函数y= f(x)既不是奇函数，也不是
2 U 2
偶函数．……14分
（21）【2014年上海，文21，14分】如图，某公司要在A、B两地连线
D
第4页 | 共6页 a b
A C B上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米． 设点
A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为a和b．
（1）设计中CD是铅垂方向． 若要求a³2b，问CD的长至多为多少（结
果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差．现在实测得a=38.12°，b=18.45°，求
CD的长（结果精确
到0.01米）．
x x p
解：（1）设CD的长为x米，则tana= ,tanb= ，∵ >a³2b>0，
35 80 2
2tanb
∴tana³tan2b，∴tana³ ，
1-tan2b
x
2
x 80 160x
∴ ³ = ，解得0<x£20 2 »28.28，∴CD的长至多为28.28米
35 x2 6400-x2
1-
6400
． ……6分
a AB
（2）设DB=a,DA=b,DC =m，ÐADB=180°-a-b=123.43°，则 = ，
sina sinÐADB
115sin38.12°
解得a= »85.06∴m= 802 +a2 -160acos18.45° »26.93∴CD的长为
sin123.43°
26.93米．……14分
（22）【2014年上海，文22，16分】在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:ax+by+c=0
和点P(x , y ),P(x , y )，记h=(ax +by +c)(ax +by +c)． 若h<0，则称点
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
P ,P 被直线l分隔． 若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P ,P 被直线
1 2 1 2
l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证：点A(1,2),B(-1,0)被直线x+ y-1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2 -4y2 =1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M 到点Q(0,2)的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ，
求E 的方程，并证明y
轴为曲线E 的分隔线．
解：（1）将A(1,2),B(-1,0)分别代入x+ y-1，得(1+2-1)´(-1-1)=-4<0，
∴点A(1,2),B(-1,0)被直线x+ y-1=0分隔． ……3分
ì y=kx
（2）直线y=kx与曲线x2 -4y2 =1有公共点的充要条件是方程组í 有解，
îx2 -4y2 =1
1
即|k|< ．
2
1
因为直线y=kx是曲线x2 -4y2 =1的分隔线，故它们没有公共点，即|k|… ．
2
1
当|k|… 时，对于直线y=kx，曲线x2 -4y2 =1上的点(-1,0)和(1,0)满足
2
h=-k2 <0，即点(-1,0)和
1 1
(1,0)被y=kx分隔．故实数k的取值范围是(-¥,- ] [ ,+¥)．
U
2 2
……9分
（3）设M的坐标为(x,y)，则曲线E的方程为 x2 +(y-2)2×|x|=1,即[x2 +(y-2)2]×x2 =1
．
对任意的y ,(0,y )不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点．又曲线E上的
0 0
第5页 | 共6页点(-1,2)和(1,2)对于
y轴满足h<0，即点(-1,2)和(1,2)被y轴分隔．所以y轴为曲线E的分割线．
……16分
1
（23）【2014年上海，文23，18分】已知数列a 满足 a £a £3a ，nÎN*，a =1．
n 3 n n+1 n 1
（1）若a =2,a =x,a =9，求x的取值范围；
2 3 4
1
（2）若a 是等比数列，且a = ，求正整数m的最小值，以及m取最小值时
n m 1000
相应a 的公比；
n
（3）若a,a , a 成等差数列，求数列a,a , a 的公差的取值范围．
1 2 L 100 1 2 L 100
1 2 1
解：（1）依题意， a £a £3a ，∴ £x£6，又 a £a £3a ，∴3£x£27，综上可得
3 2 3 2 3 3 3 4 3
3£x£6．……3分
1
（2）设{a }的公比为q．由 a„ 3a ，且a =aqn-1 ¹0，得a >0．因为
n 3 n n n 1 n
1 1
a„ a „ 3a ，所以 „ q„ 3．
3 n n+1 n 3
1 1
从而 =aqm-1 =qm-1…( )m-1,3m-1…1000，解得m… 8．m=8时，
1000 1 3
1 1
q= 7 Î[ ,3]．
1000 3
7104
所以，m的最小值为8，m=8时，{a }的公比为 ．
n 10
……9分
1 2
（3）设数列a ,a , ,a 的公差为d ．则 a„ a +d„ 3a ,- a„ d„ 2a ,n=1,2, ,99，
1 2 L 100 3 n n n 3 n n L
①当d >0时，a >a > >a >a ，所以0<d„ 2a ，即0<d„ 2．
99 98 L 2 1 1
②当d =0时，a =a = =a =a,符合条件．
99 98 L 2 1
2
③当d <0时，a <a < <a <a ，所以- a „ d„ 2a ，
99 98 L 2 1 3 99 99
2
- (1+98d)„ d„ 2(1+98d)，又d <0，
3
2
所以- „ d <0．
199
2
综上，a ,a , ,a 的公差的取值范围为[- ,2]． ……18分
1 2 L 100 199
第6页 | 共6页
