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2014高考数学山东【理】
一、选择题
1.已知a,bÎR，i是虚数单位，若a-i与2bi互为共轭复数，则(abi)2 =( )
A.5-4i B.54i C.3-4i D.34i
2.设集合A={x||x-1|<2}，B={y| y =2x,xÎ[0,2]}，则A B=( )
I
A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4)
1
3.函数 f(x)= 的定义域为 ( )
(log x)2 -1
2
1 1 1
A.(0, ) B.(2,¥) C.(0, )
U
(2,¥) D.(0, ]
U
[2,¥)
2 2 2
4.用反证法证明命题:“已知a,b为实数,则方程x2 axb=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程x2 axb=0没有实根 B.方程x2 axb=0至多有一个实根
C.方程x2 axb=0至多有两个实根 D.方程x2 axb=0恰好有两个实根
5.已知实数x,y满足ax
y2 1
B.ln(x2 1)>ln(y2 1) C.sinx>sin y D.x3 > y3
6.直线y =4x与曲线y = x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A.2 2 B.4 2 C.2 D.4
7.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志
愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)，[13,14)
，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号
为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的
频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数
为( )
A.1 B.8 C.12 D.18
8.已知函数 f(x)=|x-2|1,g(x)=kx,若 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )
第1页 | 共14页1 1
A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,¥)
2 2
ìx- y-1£0,
9.已知x,y满足约束条件í 当目标函数z =axby(a >0,b>0)在该约束条件下取到最小
î2x- y-3³0,
值2 5时，a2 b2的最小值为( )
A.5 B.4 C. 5 D.2
x2 y2 x2 y2
10.已知a>b，椭圆C 的方程为 =1，双曲线C 的方程为 - =1，C 与C 的离心率之积
1 a2 b2 2 a2 b2 1 2
3
为 ，则C 的渐近线方程为( )
2 2
A.x± 2y =0 B. 2x± y =0 C.x±2y =0 D.2x± y =0
二、填空题
11.执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为 开
始
；
输入
uuur uuur p x
12.在DABC中，已知AB×AC =tanA，当A= 时，DABC的面积为
n=0
6
； 否
x3-4x3£0
13.三棱锥P-ABC 中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥
是
x=x1
输出
V
D-ABE的体积为V ，P-ABC 的体积为V ，则 1 = ；
1 2 V n
2 n=n1 结
b 束
14.若(ax2 )6的展开式中x3项的系数为20，则a2 b2的最小值为
x
；
15.已知函数y = f(x)(xÎR).对函数y = g(x)(xÎI)，定义g(x)关于 f(x)的“对称函数”为
y =h(x)(xÎI)，y =h(x)满足：对任意xÎI ，两个点(x,h(x))，(x,g(x))关于点(x, f(x))对称，若
h(x)是g(x)= 4-x2 关于 f(x)=3xb的“对称函数”，且h(x)> g(x)恒成立，则实数b的取值范
围是 ；
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.（本小题满分12分）
第2页 | 共14页r r r r p
已知向量a=(m,cos2x)，b=(sin2x,n)，设函数 f(x)=a×b，且y = f(x)的图象过点( , 3)和点
12
2p
( ,-2).
3
（Ⅰ）求m,n的值；
（Ⅱ）将y = f(x)的图象向左平移j（00)的焦点为F ，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另
一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时，DADF 为正三角形.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l //l，且l 和C有且只有一个公共点E，
1 1
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）DABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
第4页 | 共14页参考答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学参考答案
一．1、D 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、C 8、B 9、B 10、A
1 1
二．11、3 12、 13、 14、2 15、 2 10,+¥
6 4
三．16、解：（Ⅰ）已知 f(x)=a×b=msin2xncos2x，
æ π ö æ2π ö
Q f(x)的图像过点 ç , 3÷,ç ,-2÷
è12 ø è 3 ø
π π π
\f( )=msin ncos = 3，
12 6 6
2π 4π 4π
f( )=msin ncos =-2
3 3 3
ì1 3
ï m n= 3
ï2 2 ìïm= 3
\í 解得í
ï 3 1 ïîn=1
- - =-2
ï
î 2 2
π π
（Ⅱ） f(x)= 3sin2xcos2x=2sin(2x )， g(x)= f(x+j)=2sin(2x2j )
6 6
设g(x)的对称轴为x= x ，Qd = 1x 2 =1解得x =0
0 0 0
π
\g(0)=2，解得j=
6
p p p
\g(x)=2sin(2x )=2sin(2x )=2cos2x
3 6 2
\-p2kp£2x£2kp,kÎZ
p
- kp£x£kp,kÎZ
2
é p ù
\f(x)的单调赠区间 - kp,kp ,kÎZ
ê ú
ë 2 û
17、解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，
且AB=2CD
所以AB//DC,又由M 是AB中点，
因此CD//MA且CD=MA．
第5页 | 共14页连接AD
1
在四棱柱ABCD-ABCD 中，
1 1 1 1
因为CD//CD ,CD=CD
1 1 1 1
可得CD //MA,CD =MA
1 1 1 1
所以四边形AMCD 为平行四边形
1 1
因此CM//D A
1 1
又CM Ë平面AADD ,DAÌ平面AADD ,
1 1 1 1 1 1
所以CM//平面AADD
1 1 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平DC M∩面ABCD= AB过C向AB做垂线交AB于N ，连接DN ,
1 1 1
由CD ^面ABCD,可得DN ^ AB,故ÐDNC为二面角C -AB-C的平面角
1 1 1 1
3
在RT△DCN中，BC =1,ÐNBC =60°可得CN = ，
1 2
15
所以ND = CD2 CN2 =
1 1 2
3
CN 2 5
在RtVDCN 中，cosÐDNC = = = ,
1 1 DN 15 5
1
2
5
所以平面CDM 和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为 ．
1 1 5
18、解：（Ⅰ）设恰有一次的落点在乙上为事件A
5 1 1 4 3
PA= ´ ´ =
6 5 6 5 10
（Ⅱ）x的可能取值为0,1,2,3,4,6
1 1 1 1 1 1 3 1
Px=0= ´ = ，Px=1= ´ ´ =
6 5 30 3 5 6 5 6
1 3 1 1 1 1 1 2
Px=2= ´ = ,Px=3= ´ ´ =
3 5 5 2 5 6 5 15
1 3 1 1 11 1 1 1
Px=4= ´ ´ = ,Px=6= ´ =
2 5 3 5 30 2 5 10
第6页 | 共14页\x的分布列为
x 0 1 2 3 4 6
1 1 1 2 11 1
P
30 6 5 15 30 10
1 1 1 2 11 1 91
\其数学期望为Ex=0´ 1´ 2´ 3´ 4´ 6´ =
30 6 5 15 30 10 30
19、解：（Ⅰ） d =2,S =a ,S =2a d,S =4a 6d
1 1 2 1 4 1
S ,S ,S 成等比数列
Q 1 2 4
\S2 =S S
2 1 4
解得a =1,\a =2n-1
1 n
4n 1 1
（Ⅱ）b =(-1)n-1 =(-1)n-1( )
n a a 2n-1 2n1
n n1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
当n为偶数时，T =(1 )-( )( )- ( )-( )
n 3 3 5 5 7 L 2n-3 2n-1 2n-1 2n1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
当n为奇数时，T =(1 )-( )( )- -( )( )
n 3 3 5 5 7 L 2n-3 2n-1 2n-1 2n1
1 2n2
\T =1 =
n 2n1 2n1
ì 2n
,n为偶数
ï
ï2n1
\T =í
n 2n2
ï ,n为奇数
ïî2n1
ex×x2 -2xex 2 1
20、解：（Ⅰ） f 'x= -k(- )
x4 x2 x
x-2 ex -kx
= x>0
x3
当k £0时，kx£0,\ex -kx>0
令 f 'x=0，则x=2
\当xÎ0,2时， f x单调递减；
当xÎ2,¥时， f x单调递增．
（Ⅱ）令gx=ex -kx
第7页 | 共14页则g'x=ex -k
当k £0时，g'x>0恒成立，\gx在0,2上单调递增，不符合题意．
当k >0时
令g'x=0，\ex =k,x=lnk
g'0=1-k <0,g0=1>0
Q
g'2=e2 -k >0,g2=e2 -2k >0
e2
\k <
2
glnk=elnk -klnk <0
\lnk >1
\k >e
æ e2 ö
综上：k的取值范围为çe, ÷．
è 2 ø
21、解：（Ⅰ）当A的横坐标为3时，过A作AG^x轴于G，
p
AF =3
2
p
\ FD = AF =3 y
2 A
QVAFD为等边三角形
1 3 p
\ FG = FD =
2 2 4
O F G D x
p
又 FG =3-
2
3 p p
\ =3- ，\p=2，\C:y2 =4x
2 4 2
B
（Ⅱ）（ⅰ）设A(x,y )， FD = AF =x 1
1 1 1
y
\Dx 2,0 \k = 1
1 AB 2
1
Ql //l \k =- y
1 AB l1 2 1
又l 与C相切，设切点Ex ,y ,
1 E E
1 1 1 -2 4
x= y2，x'= y \ y = ，\y =-
4 2 2 E y E y
1 1
第8页 | 共14页2
1æ 4 ö 4 æ 4 4 ö æ y2 ö
x = ç- ÷ = \Eç ,- ÷,Aç 1 ,y ÷
E 4è y ø y2 è y2 y ø è 4 1 ø
1 1 1 1
4
y
1 y æ y2 ö
\l :y-y = 1 çx- 1 ÷
AE 1 4 y2 è 4 ø
- 1
y2 4
1
4y
即y= 1 x-1恒过点1,0\直线AE过定点1,0．
y2 -4
1
y æ y2 ö
（ⅱ）l :y-y =- 1çx- 1 ÷，
AB 1 2 è 4 ø
ì 2 y2
ïx=- y 1 2
即í y 4
1
ï
îy2 =4x
8
y2 y- y2 8 =0
y 1
1
8
y y =-
1 2 y
1
8
\y =-y -
2 1 y
1
4 4 8
AB = 1 × y - y = 1 2y +
y2 1 2 y2 1 y
1 1 1
8 y2 4 4 y2
1 2- 1 2
y2 4 y2 y2 4
点E到AB的距离d = 1 1 = 1
4 4
1 1
y2 y2
1 1
1 1 8 4 y2 y 2 3
\S = AB ×d = 2y 1 2 =2 1 ³2´23 =16，当且仅当y =±2时，“=”成立．
2 2 1 y y2 4 2 y 1
1 1 1
选择填空解析
2014年全国统一高考（山东）理科真题及详解
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符
第9页 | 共14页合题目要求的选项。
1.已知a,bÎR,i是虚数单位，若a-i与2bi互为共轭复数，则（abi）2 =
（A）5-4i (B) 54i (C) 3-4i (D) 34i
答案：D
解析：a-i与2bi互为共轭复数，
\a=2,b=1\abi2 =2i2
=44ii2 =34i
2.设集合A={x x-1 <2},B={y y =2x,xÎ[0,2]},则A B=
I
(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)
答案：C
解析：
Q x-1 <2\-2< x-1<2\-1< x<3
Qy =2x,xÎ0,2\yÎ1,4
\AÇB=1,3
1
3.函数 f(x)= 的定义域为
(log x)2 -1
2
1 1 1
(A)(0，) (B) (2，¥) (C) (0，) (2,¥) (D) (0，] [2，¥)
U U
2 2 2
答案：C
解析：
log x2 -1>0
2
\log x>1或\log x<-1
2 2
1
\x>2 或\0< x> 。
2
4. 用反证法证明命题“设a,bÎR,则方程x2 axb=0至少有一个实根”时要做的假设是
(A)方程x2 axb=0没有实根 (B)方程x2 axb=0至多有一个实根
(C)方程x2 axb=0至多有两个实根 (D)方程x2 axb=0恰好有两个实根
5.已知实数x,y满足ax (B) ln(x2 1)>ln(y2 1) (C) sinx>sin y (D) x3 > y3
x2 1 y2 1
答案：D
解析：
第10页 | 共14页Qax y
6.直线y =4x与曲线y = x2在第一象限内围成的封闭图形的面积为
（A）2 2（B）4 2（C）2（D）4
答案：D
解析：
Q4x= x3，Q4x-x3 = x 4-x2 = x2x2-x
第一象限
ò 2 4x-x3 =2x2 - 1 x4 =8-4=0
0 4
7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）
的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…
…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没
有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
频率 / 组距
0.36
0.24
0.16
0.08
0
12 13 14 15 16 17
舒张压/kPa
（A）6 （B）8 （C） 12（D）18
答案：C
解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4
20¸0.4=50
50´0.36=18
18-6=12
8.已知函数 fx = x-2 1 g x =kx 若方程f x = g x 有两个不相等的实根，则实数k的取值范围
, .
是
第11页 | 共14页1 1
（A）（0，）（B）（ ，1）（C）（1，2）（D）（2，¥）
2 2
答案：B
1
解析：画出 f x的图象最低点是2,1，gx=kx过原点和2,1时斜率最小为 ，斜率最大时gx
2
的斜率与 f x= x-1的斜率一致。
ìx-y-1£0,
9.已知x,y满足的约束条件í 当目标函数z=axby(a>0,b>0)在该约束条件下取得最小
î2x-y-3³0,
值2 5时，a2 b2的最小值为
（A）5（B）4（C） 5（D）2
答案：B
ìx- y-1£0
解析：í 求得交点为2,1，则2ab=2 5，即圆心0,0到直线2ab-2 5 =0的距
î2x- y-3³0
2
æ2 5ö
离的平方ç ÷ =22 =4。
ç ÷
5
è ø
x2 y2 x2 y2
10.已知a >0,b>0,椭圆C 的方程为 =1，双曲线C 的方程为 - =1，C 与C 的离心率
1 a2 b2 2 a2 b2 1 2
3
之积为 ，则C 的渐近线方程为
2 2
（A）x± 2y =0（B） 2x± y =0（C）x±2y=0（D）2x±y=0
答案：A
解析：
c2 a2 -b2
e2 = =
1 a2 a2
c2 a2 b2
e 2 = =
2 a2 a2
a4 -b4 3
\ee 2 = = \a4 =4b4
1 2 a4 4
b 2
\ =±
a 2
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
第12页 | 共14页11.执行下面的程序框图，若输入的x的值为1，
则输出的n的值为 。
答案：3
解析：根据判断条件x2 -4x3£0，得1£ x£3，
输入x=1
第一次判断后循环，x= x1=2,n=n1=1
第二次判断后循环，x= x1=3,n=n1=2
第三次判断后循环，x= x1=4,n=n1=3
第四次判断不满足条件，退出循环，输出n=3
uuur uuur
p
12.在VABC中，已知AB×AC =tanA，当A= 时，VABC的面积为 。
6
1
答案：
6
解析：由条件可知AB×AC =cbcosA=tanA，
p 2 1 1
当A= ，bc= , S = bcsin A=
6 3 DABC 2 6
13.三棱锥P-ABC 中，D,E分别为PB,PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V ，P-ABC 的体
1
V
积为V ，则 1 = 。
2 V
2
1
答案：
4
第13页 | 共14页h 1
解析：分别过E,C向平面做高h,h ，由E为PC的中点得 1 = ，
1 2 h 2
2
1 1 1 1
由D为PB的中点得S = S ，所以V :V = S ×h = S ×h =
DABD 2 DABP 1 2 3 DABD 1 3 DABP 2 4
4
æ bö
14.若 ax6 的展开式中x3项的系数为20，则a2 b2的最小值为 。
ç ÷
è xø
答案：2
b
解析：将(ax2 )6展开，得到T =Cra6-rbrx12-3r，令12-3r =3,得r =3.
x r1 6
由C3a3b3 =20，得ab=1，所以a2 b2 ³2ab=2.
6
15.已知函数y = f(x)(xÎR)，对函数y = gxxÎI，定义gx关于 f x的“对称函数”为函数
y =hxxÎI，y =hx满足：对任意xÎI ，两个点 x,hx , x,gx 关于点 x, f x 对称，
若hx是gx= 4-x2 关于 f x=3xb的“对称函数”，且hx> gx恒成立，则实数b的取
值范围是 。
答案：b>2 10
解析：根据图像分析得，当 f(x)=3xb与g(x)= 4-x2 在第二象限相切时，
b=2 10 ，由h(x)> g(x)恒成立得b>2 10 .
第14页 | 共14页
