文档内容
2014年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷(理工农医类)
考生注意：
1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.
2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求.
作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3.
答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条
形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. （2014）函数y =1-2cos2(2x)的最小正周期是 .
2p p
【解析】：原式＝-cos4x，T = =
4 2
æ 1ö
2. （2014）若复数z =1+2i，其中i是虚数单位，则ç z+ ÷ ×z = .
è zø
2
【解析】：原式＝z×z+1= z +1=5+1=6
3.
x2 y2
（2014）若抛物线y2 =2px的焦点与椭圆 + =1的右焦点重合，则该抛物线的准线
9 5
方程为 .
【解析】：椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程x=-2
ìx, xÎ(-¥,a),
4. （2014）设 f(x)=í 若 f(2)=4，则a的取值范围为 .
îx2, xÎ[a,+¥).
【解析】：根据题意，2Î[a,+¥)，∴a£2
5. （2014）若实数x, y满足xy =1，则x2 +2y2的最小值为 .
【解析】：x2 +2y2 ³2×x× 2y =2 2
6. （2014）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为
（结果用反三角函数值表示）.
【解析】：设圆锥母线长为R，底面圆半径为r，∵S =3S ，∴p×r×R=3p×r2，即
侧 底
1 1
R=3r ，∴cosq= ，即母线与底面夹角大小为arccos
3 3
7.
第1页 | 共8页（2014）已知曲线C的极坐标方程为r(3cosq-4sinq) =1，则C与极轴的交点到极点
的距离是 .
1
【解析】：曲线C的直角坐标方程为3x-4y =1，与x轴的交点为( ,0)，到原点距离为
3
1
3
8. （2014）设无穷等比数列a 的公比为q，若a =lima +a + +a ，则q=
n 1 3 4 L n
n®¥
.
a aq2 -1± 5
【解析】：a = 3 = 1 Þq2 +q-1=0Þq= ，∵0< q <1，∴
1 1-q 1-q 2
5-1
q=
2
2 1
-
9. （2014）若 f(x)= x3 -x 2，则满足 f(x)<0的x的取值范围是 .
2 1
-
【解析】： f(x)<0Þ x3 < x 2，结合幂函数图像，如下图，可得x的取值范围是(0,1)
10.
（2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练
，则 选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）.
8 1
【解析】：P= =
C3 15
10
11. （2014）已知互异的复数a,b满足ab¹0，集合a,b= a2 ,b2 ，则a+b= .
【解析】：第一种情况：a=a2,b=b2，∵ab¹0，∴a=b=1，与已知条件矛盾，不符
；
第二种情况：a=b2,b=a2，∴a=a4 Þa3 =1，∴a2 +a+1=0，即a+b=-1；
12.
（2014）设常数a使方程sinx+ 3cosx=a在闭区间[0,2p]上恰有三个解x , x , x ，
1 2 3
则x +x +x = .
1 2 3
p
【解析】：化简得2sin(x+ )=a，根据下图，当且仅当a= 3时，恰有三个交点，
3
第2页 | 共8页p 7p
即x +x +x =0+ +2p=
1 2 3 3 3
13. （2014）某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量x表示小白玩该游戏的得分. 若
E(x) = 4.2，则小白得5分的概率至少为 .
【解析】：设得i分的概率为 p ，∴ p +2p +3p +4p +5p =4.2，
i 1 2 3 4 5
且 p + p + p + p + p =1，∴4p +4p +4p +4p +4p =4，与前式相减得：
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
-3p -2p - p + p =0.2，∵ p ³0，∴-3p -2p - p + p £ p ，即 p ³0.2
1 2 3 5 i 1 2 3 5 5 5
14. （2014）已知曲线C:x=- 4- y2 ，直线l:x=6.
uuur uuur r
若对于点A(m,0)，存在C上的点P 和l 上的Q 使得AP+ AQ=0，则m的取值范围为
.
x +x x +6
【解析】：根据题意，A是PQ中点，即m= P Q = P ，∵-2£ x £0，∴
2 2 P
mÎ[2,3]
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的
相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. （2014）设a,bÎR，则“a+b>4”是“a>2且b>2”的 （ ）
(A) 充分条件. (B) 必要条件.
(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要条件.
【解析】：B
16.
（2014）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四 P P P
2 5 8
P P P
1 4 7
P P
B 3 6
第3页 | 共8页
A棱柱，AB是一条侧棱，P
i
(i=1,2,
L
,8) 是上底面上其余的八个点，则
uuur uuur
AB×AP (i =1, 2, , 8)的不同值的个数为 （ ）
i K
(A) 1. (B) 2.
(C) 4. (D) 8.
uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】：根据向量数量积的几何意义，AB×AP等于 AB 乘以AP 在AB方向上的投影
i i
uuur uuur uuur uuur uuur
，而AP 在AB方向上的投影是定值， AB 也是定值，∴AB×AP为定值1，∴选A
i i
17.
（2014）已知P(a ,b)与P(a ,b )是直线y =kx+1（k为常数）上两个不同的点
1 1 1 2 2 2
ìa x+b y =1,
，则关于x 和y的方程组í 1 1 的解的情况是 （ ）
a x+b y =1
î
2 2
(A) 无论k ,P ,P 如何，总是无解. (B)
1 2
无论k ,P ,P 如何，总有唯一解.
1 2
(C) 存在k ,P ,P ，使之恰有两解. (D) 存在k ,P ,P ，使之有无穷多解.
1 2 1 2
【解析】：由已知条件b =ka +1，b =ka +1，
1 1 2 2
a b
D= 1 1 =ab -a b =a (ka +1)-a (ka +1)=a -a ¹0，∴有唯一解，选B
a b 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
2 2
ì(x-a)2, x£0,
ï
18. （2014）设 f(x)=í 1 若 f (0)是 f (x)的最小值，则a的取值范围为（
x+ +a, x>0.
ï
î x
）
(A) [-1,2]. (B) [-1,0]. (C) [1,2].
(D) [0,2].
【解析】：先分析x£0的情况，是一个对称轴为x=a的二次函数，当a<0时，
f(x) = f(a)¹ f(0)，不符合题意，排除AB选项；当a=0时，根据图像
min
f(x) = f(0)，即a=0符合题意，排除C选项；∴选D；
min
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
内写出必要的步骤.
19. （2014）(本题满分12分)
底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是 P 3
三角形PPP，如图.
1 2 3
A C
第4页 | 共8页
P P
1 B 2求△PPP 的各边长及此三棱锥的体积V .
1 2 3
【解析】：根据题意可得P,B,P 共线，
1 2
∵ÐABP =ÐBAP =ÐCBP ，ÐABC =60°，
1 1 2
∴ÐABP =ÐBAP =ÐCBP =60°，∴ÐP =60°，同理ÐP =ÐP =60°，
1 1 2 1 2 3
∴△PPP 是等边三角形，P-ABC 是正四面体，所以△PPP 边长为4；
1 2 3 1 2 3
2 2 2
∴V = ´AB3 =
12 3
20.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
2x +a
设常数a³0，函数 f(x)= .
2x -a
(1) 若a=4，求函数y = f(x)的反函数y = f -1(x)；
(2) 根据a的不同取值，讨论函数y = f(x)的奇偶性，并说明理由.
2x +4 4y+4 4y+4
【解析】：（1）∵a=4，∴ f(x)= = y，∴2x = ，∴x=log ，
2x -4 y-1 2 y-1
4x+4
∴y = f -1(x)=log ，xÎ(-¥,-1)È(1,+¥)
2 x-1
2x +a 2-x +a
（2）若 f(x)为偶函数，则 f(x)= f(-x)，∴ = ，
2x -a 2-x -a
整理得a(2x -2-x)=0，∴a=0，此时为偶函数
2x +a 2-x +a
若 f(x)为奇函数，则 f(x)=-f(-x)，∴ =- ，
2x -a 2-x -a
整理得a2 -1=0，∵a³0，∴a=1，此时为奇函数
当aÎ(0,1)È(1,+¥)时，此时 f(x)既非奇函数也非偶函数
21.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在A、B两地连线上的定点
D
C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长
35米，CB长80米.
a b
A C B
第5页 | 共8页设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为a和b.
(1) 设计中CD是铅垂方向. 若要求a³2b，问CD的长至多为多少（结果精确到
0.01米）？
(2)
施工完成后，CD与铅垂方向有偏差．现在实测得a=38.12°，b=18.45°，求CD的长
（结果精确到0.01米）.
x x p
【解析】：（1）设CD的长为x米，则tana= ,tanb= ，∵ >a³2b>0，
35 80 2
x
2
2tanb x 80 160x
∴tana³tan2b，∴tana³ ，∴ ³ = ，
1-tan2b 35 x2 6400-x2
1-
6400
解得0< x£20 2 »28.28，∴CD的长至多为28.28米
（2）设DB=a,DA=b,DC =m，ÐADB=180°-a-b=123.43°，
a AB 115sin38.12°
则 = ，解得a= »85.06，
sina sinÐADB sin123.43°
∴m= 802 +a2 -160acos18.45° »26.93，∴CD的长为26.93米
22. （2014）(本题满分16分)
本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.
在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:ax+by+c=0和点P(x , y ), P(x , y )，
1 1 1 2 2 2
记h=(ax +by +c)(ax +by +c). 若h<0，则称点P ,P 被直线l分割.
1 1 2 2 1 2
若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P ,P 被直线l分割，则称直线l为曲线
1 2
C的一条分割线.
(1) 求证：点A(1,2), B(-1,0)被直线x+ y-1=0分割；
(2) 若直线y =kx是曲线x2 -4y2 =1的分割线，求实数k的取值范围；
(3) 动点M 到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E .
求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.
【解析】：（1）将A(1,2),B(-1,0)分别代入x+ y-1，得(1+2-1)´(-1-1)=-4<0
∴点A(1,2),B(-1,0)被直线x+ y-1=0分割
ìx2 -4y2 =1
（2）联立í ，得(1-4k2)x2 =1，依题意，方程无解，
î y =kx
第6页 | 共8页1 1
∴1-4k2 £0，∴k £- 或k ³
2 2
（3）设M(x,y)，则 x2 +(y-2)2 x =1，
∴曲线E的方程为[x2 +(y-2)2]x2 =1 ①
当斜率不存在时，直线x=0，显然与方程①联立无解，
又P(1,2),P(-1,2)为E上两点，且代入x=0，有h=-1<0，
1 2
∴x=0是一条分割线；
当斜率存在时，设直线为y =kx，代入方程得：(k2 +1)x4 -4kx3 +4x2 -1=0
，
令 f(x)=(k2 +1)x4 -4kx3+4x2 -1，则 f(0)=-1，
f(1)=k2 +1-4k+3=(k-2)2， f(-1)=k2 +1+4k+3=(k+2)2，
当k ¹2时， f(1)>0，∴ f(0)f(1)<0，即 f(x)=0在(0,1)之间存在实根，
∴y =kx与曲线E有公共点
当k =2时， f(0)f(-1)<0，即 f(x)=0在(-1,0)之间存在实根，
∴y =kx与曲线E有公共点
∴直线y =kx与曲线E始终有公共点，∴不是分割线，
综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线x=0是E的分割线
23. （2014）(本题满分18分)
本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.
1
已知数列a 满足 a £a £3a ，nÎN*，a =1.
n 3 n n+1 n 1
(1) 若a =2,a = x,a =9，求x的取值范围；
2 3 4
1
(2) 设a 是公比为q的等比数列，S =a +a + +a . 若 S £S £3S ，nÎN*，
n n 1 2 L n 3 n n+1 n
求q的取值范围；
(3) 若a ,a , ,a 成等差数列，且a +a + +a =1000，求正整数k的最大值，以
1 2 L k 1 2 L k
及
k取最大值时相应数列a
1
,a
2
,
L
,a
k
的公差.
1 2 1
【解析】：（1）依题意， a £a £3a ，∴ £ x£6，又 a £a £3a ，∴
3 2 3 2 3 3 3 4 3
3£ x£27，
综上可得3£ x£6；
第7页 | 共8页1 1
（2）由已知得a =qn-1，又 a £a £3a ，∴ £q£3
n 3 1 2 1 3
1 n
当q=1时，S =n， S £S £3S ，即 £n+1£3n，成立
n 3 n n+1 n 3
qn -1 1 1 qn -1 qn+1-1 qn -1
当11，
3 qn -1 îqn+1-3qn +2£0
∴3qn+1-qn -2=qn(3q-1)-2>2qn -2>0，
对于不等式qn+1-3qn +2£0，令n=1，得q2 -3q+2£0，解得1£q£2，
又当10,q-3<0
îqn+1-3qn +2³0
∵3qn+1-qn -2=qn(3q-1)-2<2qn -2<0
qn+1-3qn +2=qn(q-3)+2³q(q-3)+2=(q-1)(q-2)>0
1
∴ £q<1时，不等式恒成立
3
1
综上，q的取值范围为 £q£2
3
（3）设公差为d ，显然，当k =1000,d =0时，是一组符合题意的解，
1+(k-2)d
∴k ³1000，则由已知得 £1+(k-1)d £3[1+(k-2)d]，
max 3
ì(2k-1)d ³-2 2 2
∴í ，当k ³1000时，不等式即d ³- ,d ³- ，
î(2k-5)d ³-2 2k-1 2k-5
2 k(k-1)d
∴d ³- ，a +a +...+a =k+ =1000，
2k-1 1 2 k 2
2000-2k 2
∴k ³1000时，d = ³- ，
k(k-1) 2k-1
解得1000- 999000 £k £1000+ 999000 ，∴k £1999，
2000-2k 1998 1
∴k的最大值为1999，此时公差d = =- =-
k(k-1) 1999´1998 1999
第8页 | 共8页
