文档内容
2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章。
5．难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．斜线与平面所成角的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由线面角的定义可知，线与面的夹角范围为 ，
又因为斜线与平面不垂直，不平行，也不在平面内，
所以斜线与平面所成角的取值范围是 .
故答案为： .
2．已知空间两个角 和 ，若 ， ，则 ．
【答案】 或
【解析】因为 ， ，
当 和 开口方向相同时， ；
当 和 开口方向相反时， .
综上所述： 或 .
故答案为： 或 .
学科网（北京）股份有限公司3．如图，在三棱锥 中， ，且 ， ， 分别是棱 ， 的中点，则 和
所成的角等于 .
【答案】 /
【解析】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．
，F分别是CD，AB的中点，
， ，且 ， ．
为EF与AC所成的角（或其补角）．
又 ， ．
又 ， ， ，
为直角三角形， ，又 为锐角，
，即EF与AC所成的角为 ．故答案为： ．
4．如图所示， 是利用斜二测画法画出的 的直观图，已知 轴， ，且 的
面积为16，过 作 轴，则 的长为 .
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】因为 轴，所以 中， ，又三角形 的面积为16，
所以 .∴ ，所以 .
如图作 于 ，
因为 ，所以 .
故答案为： .
5．下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出
平面 的图形序号是 ．（写出所有符合条件的序号）
【答案】①②
【解析】对于①，如图1.
学科网（北京）股份有限公司因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以 ， .
又 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
同理可得 平面 .
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以平面 平面 .
又 平面 ，所以 平面 ，故①正确；
对于②，如图2，连结 .
因为点M、P分别为其所在棱的中点，所以 .
又 ，且 ，所以，四边形 是平行四边形，所以 ，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故②正确；
对于③，如图3，连结 、 、 .
因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以 ， .
学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
同理可得 平面 .
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以平面 平面 .
显然 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，且 与平面 不平行，所以 与平
面 不平行，故③错误；
对于④，如图4，连接 ，因为 为所在棱的中点，则 ，
故平面 即为平面 ，由正方体可得 ，
而平面 平面 ，
若 平面 ，
由 平面 可得 ，
故 ，显然不正确，故④错误.
故答案为：①②.
6．在空间中，三个平面最多能把空间分成 部分．
【答案】8
【解析】三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1；
三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2；
三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3；
三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4；
三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5，
所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分．
故答案为：8．
学科网（北京）股份有限公司7． 是空间两条不同直线， 是两个不同平面，下面有四个命题：
① ，则 ，
② ，则 ，
③ ，则 ，
④ ，则 ，
其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）
【答案】①④
【解析】对于①， ，必然存在一个平面 使得 ，并且 ，又
，正确；
对于②，如果 ，则结论不成立，错误；
对于③，如图：
，构造平面 ，使得 ，并且 ，则 ，在 平面内，作直线n，使得 ，显然
，错误；
对于④， ，又 ，正确；
故答案为：①④.
8．平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的 倍，则斜线与平面所成角的大小为 ．
【答案】 /
【解析】由题意，画出如下的草图，
因为斜线段 的长度是它在平面内的射影 长度的 倍，
连接 ，由斜线段与其射影，则 是 的直角三角形，
学科网（北京）股份有限公司所以 是斜线段 与平面所成的角，
在 中， ，所以 ，
所以 ，即斜线与平面所成角的大小为 .
故答案为： .
9．如图，设P为矩形ABCD所在平面外一点，直线PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，则点P到直线
BD的距离为 .
【答案】
【解析】如图，
过 作 于 ，连接 ，
直线PA⊥平面ABCD, ,又 ， 面PAE，则 面 ，
， 为所求的距离，
在 中， ,
在 中，
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
10．已知 为直角三角形，且 ， ，点 是平面 外一点，若 ，且
平面 ， 为垂足，则 ．
【答案】5
【解析】由 ，所以 ，即 是 的外心，
又 ，则 是 的中点，所以 ．
故答案为：5．
11．如图，正六棱柱 的底面和顶面均为正六边形，侧棱均垂直于底面和顶面.其6个侧
面12条面对角线所在的直线中，与直线 异面的共有 条.
【答案】5
【解析】与直线 相交的有 ，
与直线 平行的有 ，
剩余的 与直线 异面，共5条.
故答案为：5.
A B C D
1 1 1 1
12．如图，正方体 的棱长为2，E，F分别为 ， 的中点，P是底面 上一点．
A B C D
1 1 1 1
若 平面BEF，则AP与平面 成角的正弦值的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】如图，取 的中点 ， 的中点M，连接AM，AN，MN， ， ，
由正方体 ，E，N分别为 ， 的中点，
易知 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又因为 平面BEF， 平面BEF，所以 平面BEF，
因为E，F分别为 ， 的中点，由中位线性质可得 ，同理可知 ，所以
，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 ， 平面
AMN，所以平面 平面 ，
A B C D
1 1 1 1
因为P是底面 上一点，且 平面 ，所以点 ，
由 分别为 的中点，且 ， ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司，即 ，
由 ，则 ，
在等腰 中，底边上的高 ，
则AP的长度的取值范围为 ，
A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
设 与平面 成角为 ，在正方体 中，易知 平面 ，且 为垂足，
所以 ．
故答案为： .
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13．给出下面四个命题：
①三个不同的点确定一个平面；
②一条直线和一个点确定一个平面；
③空间两两相交的三条直线确定一个平面；
④两条平行直线确定一个平面．
其中正确的命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】对于①, 三个不共线的点确定一个平面, 故①错;
对于②, 一条直线和直线外一个点确定一个平面, 故②错;
对于③), 空间两两相交的三条直线, 且不能交于同一点, 确定一个平面, 故③错;
对于④, 两条平行直线确定一个平面, 故④正确.
故选：D.
14．如图，已知正四棱台 中， ， ， ，点 分别为 ， 的中
学科网（北京）股份有限公司点，则下列平面中与 垂直的平面是（ ）
A．平面 B．平面DMN C．平面ACNM D．平面
【答案】C
【解析】解：延长 交于一点 ，取 中点 ，连接 ，如图所示：
因为正四棱台 ，所以 为正四棱锥，
因为 ， ， ，且 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，即 为等边三角形，
因为 为 中点，所以 ，且 ，同理可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 为 中点，所以 ，
故 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
因为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上， 在 上，
因为 ， ，所以 ， ，
即 ， ，因为 平面ACNM， 平面ACNM，
，所以 平面ACNM.
故选：C.
15．已知二面角 为 ，点 、 分别在 、 内且 ， 到 的距离为 ， 到 的距离
为 , 则 两点之间的距离为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，作 交 于 ，连接 ，作 ， ，
因为 ， ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，所以 为二面角 的平面角，
即 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， ， ，所以 ，
所以 ，
同理 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司在 中， ， ，所以 ，
在 中， ， ，所以 ，
在 中， ，
所以 .
故选： .
16．M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，
则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．
以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
【答案】A
【解析】因为M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以 ，
因为 平面ABD， 平面ABD，所以①直线MN恒与平面ABD平行正确；
如图，取 中点 ，则 （菱形对角线垂直），
又 ，且两直线在平面内，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以②正确，
故选： ．
学科网（北京）股份有限公司三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图，在长方体 中， ， ，点P为棱 的中点．
(1)证明： ∥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正切值．
【解析】（1）如图，
设 和 交于点 ，连接 ，
为长方体，
∴点 为 中点，
∵点 为 中点，
∴ ， （4分）
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ∥平面 . （6分）
学科网（北京）股份有限公司（2） 为长方体，
∴ 平面 ，则直线 与平面 所成角为 ， （8分）
， ，
所以直线 与平面 所成角的正切值为 . （14分）
18．已知三棱锥 中， 平面 为 中点，过点 分别作平行
于平面 的直线交 于点 .
(1)求直线 与平面 所成的角的正切值；
(2)证明：平面 平面 ，并求直线 到平面 的距离.
【解析】（1）如图，
因为 平面 ，连接 ，
则 即为直线 与平面 所成的角， （1分）
又 ， ， ，
为 中点，可得 ， ，
所以 ，
即直线 与平面 所成的角的正切值为 . （6分）
学科网（北京）股份有限公司（2）由题知， 平面 ， 平面 ，
， 平面 ，
所以平面 平面 . （8分）
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 就是直线 到平面 的距离，
又 为 中点，ME∥AB，
所以E为AC中点，
所以 ，
即直线 到平面 的距离为 . （14分）
19．如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为2的菱形，△ 是边长为2的等边三角形，
， ．
(1)设 中点 ，连接 ， ，求证： 平面 ；
(2)求平面 和平面 所成锐二面角的大小．
【解析】（1）证明：在等边三角形 中， ，
又因为 ， ， 面 ，
所以 面 ，因为 面 ， （2分）
所以 ，又 ，
所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
又 ， 、 面 ，
所以 面 ； （6分）
（2）设平面 平面 ，又 // ， 平面 ，
平面 ，所以 //平面 ，又 平面 ，所以 // ， （8分）
所以 // // ，又 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 即为面 和平面 所成二面角的平面角，
由（1）知， ，所以△ 为等腰直角三角形，
故面 和平面 所成锐二面角为 ． （14分）
20．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳
马” 中，侧棱 底面 ，且 .
(1)若 ，试计算底面 面积的最大值；
(2)过棱 的中点 作 ，交 于点 ，连 ， ，求证:直线 平面 ；
(3)若平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，试求 的值.
【解析】（1） 平面 ， 平面 ，则 ，
所以 ，又 ，所以 ， （1分）
因为 是矩形，所以 ，即 ，当
且仅当 ，即 ， 时等号成立，
学科网（北京）股份有限公司所以底面 面积的最大值是 ； （4分）
（2） 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ， （6分）
， 是 中点，则 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ；
（10分）
（3）因为 平面 ， 底面 ，平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，
所以 与 的夹角也是 ，即 ， （12分）
所以 ， ，
，
所以 ． （18分）
21．在棱长均为2的正三棱柱 中，E为 的中点．过AE的截面与棱 分别交于点F，
G．
学科网（北京）股份有限公司(1)若F为 的中点，试确定点G的位置，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值；
(3)设截面AFEG的面积为 ， 面积为 ， 面积为 ，当点F在棱 上变动时，求
的取值范围．
【解析】（1）在平面 内延长 ， 相交于点P，则 平面 ，又 平面
，
则平面 平面 ， ，即A，G，P三点共线．
因为E为 的中点，F为 的中点，所以 ，所以 ，又因为 ，所
以 ， （3分）
所以 ，即点G为棱 上靠近点 的三等分点 （4分） ．
学科网（北京）股份有限公司（2）在平面 内延长 ， 相交于点Q，连接 ，则平面 平面 ，
在平面 内作 于点M，则 平面ABC，
又 平面 ，所以 ，
在平面 内作 于点N，连接 ，
又 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 为截面 与底面 所成锐二面角的平面角．
在 中，作 于点H， ， ， ， ，
， ， （8分）
由余弦定理 ，则 ，
，可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故截面 与底面 所成锐二面角的正切值为 . （10分）
学科网（北京）股份有限公司（3）设 ，则 ， ．
设 的面积为S，所以 ，
又因为 ，所以 ，且 ，
故 ，令 ，则 ， （12分）
设 ，
当 时， ，
， ， ，则 ，即 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ， ，所以 ，
所以 ． （18分）
学科网（北京）股份有限公司
