江苏省苏北七市(通扬泰徐宿连淮)2025 届高三第三次调研测试数学试
题(苏北三模)❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|-1<x<1}，B={x|0≤x<2}，则A∩B=( )
A. {x|-1<x<2} B. {x|0≤x<2} C. {x|0≤x<1} D. {x|-1<x<1}
2.复数z满足(1+i)z=i，则在复平面内，z对应的点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分下：119.50，134.75，
154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为( )
A. 134.75 B. 144.75 C. 154.75 D. 159.50
4.已知函数 ，曲线 在点 处的切线与x轴平行，则
f(x)=x3-3ax-1 y=f(x) (1,f(1)) a=( )
A. -3 B. -1 C. 0 D. 1
5.在正项数列{a }中，设甲：a =a a ，乙：{a }是等比数列，则( )
n m+n m n n
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6.已知函数 的图象关于直线 对称，则
f(x)=√3sin2x-2cos2x x=x tan2x =( )
0 0
√3 √3
A. B. - C. √3 D. -√3
3 3
7.设函数f(x)的定义域为R，x (x ≠0)是f(x)的极大值点，则( )
0 0
A. -x 是f(-x)的极小值点 B. -x 是-f(x)的极大值点
0 0
C. -x 是-f(-x)的极小值点 D. -x 是f(|x|)的极大值点
0 0
8.已知椭圆 x2 y2 的离心率为√2，左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交C于A，B
C: + =1(a>b>0) F F F
a2 b2 2 1 2 2
两点.若 ，则
|AF |
AF ⊥AF 2 =( )
1 2 |BF |
2A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，
部分选对的得2分，有选错的得0分。
1
9.已知a=log 10，b=log ，则( )
2 310
1 1 b-a
A. ab<0 B. 4a ⋅9b=1 C. - >1 D. log 6=
a b 5 ab-b
x2 y2
10.已知双曲线C: - =1的左、右焦点分别为F ，F ，直线l:y=kx交C于A，B两点，则( )
6 3 1 2
√2
A. |k|< B. ||AF |-|BF ||=2√3
2 1 1
C. A ⃗ F ⋅A ⃗ F 的最小值为 -3 D. F 2 到l的距离的最大值为 √3
1 2
11.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在△ABC中，BC=1，
BC边上的高等于tan A，以△ABC的各边为直径向△ABC外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域
为W，其“直径”为d，则( )
√5
A. AB2+AC2=3 B. △ABC面积的最大值为
4
π √5+1 √6+1
C. 当∠ABC= 时，d= D. d的最大值为
2 2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量 ， ，则 .
X∼N(1,σ2 ) 2P(X<0)=P(X≤2)=m m=
{ π
13.已知函数 满足 ，且 2cos x,-1<x≤1,则方程 的实数解的个
f(x) f(x+2)=f(x-2) f(x)= 2 3f(x)=x
1-|x-2|,1<x≤3,
数为 .
14.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6.一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能
接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知某校有甲、乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成.2 1
(1)先从两队中选取一队，选取甲队的概率为 ，选取乙队的概率为 ，再从该队中随机选取一名志愿者，
3 3
求该志愿者是男生的概率;
(2)在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记X为乙队中男生与女生人数之差，求X的
分布列与期望.
16.(本小题15分)
1
已知数列{a }是等差数列，记其前n项和为S ，且S =a ，a =2a + .
n n 3 5 2n n 4
(1)求数列{a }的通项公式;
n
将数列 与 的所有项从小到大排列得到数列
(2) {a } {√S } {b }.
n n n
①求{b }的前20项和;
n
②证明： 1 1 1
+ +⋯+ <32.
b2 b2 b2
1 2 n
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A B C 中，点D在BC上，AD⊥DC .
1 1 1 1
(1)证明：AD⊥平面BB C C;
1 1π
(2)若AB=AC=2√2，AB⊥AC，二面角C-AC -D的大小为 .
1 3
①求AC与平面ADC 所成角的正弦值;
1
4
②点E在侧面ABB A 内，且三棱锥E-ADC 的体积为 ，求E的轨迹的长度.
1 1 1 3
18.(本小题17分)
设O为坐标原点，抛物线 与 的焦点分别为 ， ， 为线段 的中点.
C :y2=2x C :y2=2px(p>0) F F F OF
1 2 1 2 1 2
点A 1 ，B 1 在C 1 上 (A 1 在第一象限 ) ，点A 2 ，B 2 在C 2 上， A ⃗ B =2A ⃗ B .
2 2 1 1
(1)求曲线C 的方程;
2
(2)设直线A B 的方程为y=2x-2，求直线A A 的斜率;
1 1 1 2
(3)若直线A A 与B B 的斜率之积为-2，求四边形A A B B 面积的最小值.
1 2 1 2 1 2 2 1
19.(本小题17分)
n
记 已知函数 和 的定义域都为D，若存在 ， ， ， ，使得
∏a =a a ⋯a . f(x) g(x) x x ⋯ x ∈D
i 1 2 n 1 2 m
i=1
m
，当且仅当 ， ，2， ，m时等号成立，则称 和 在D上
[f(x)-g(x)]⋅∏(x-x )≤0 x=x i=1 ⋯ f(x) g(x)
i i
i=1
“m次缠绕”.
(1)判断f(x)=sinx和g(x)=cosx在(0,2π)上“几次缠绕”，并说明理由;
a 1
(2)设f(x)=lnx+ ，若f(x)和f( )在(0,+∞)上“3次缠绕”，求a的取值范围;
x2 x
(3)记所有定义在区间(a,b)上的函数组成集合A，证明：给定m∈N*，对任意F(x)∈A，都存在f(x)，
g(x)∈A，使得F(x)=f(x)+g(x)，且f(x)和g(x)在(a,b)上“m次缠绕”.答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：在数轴上分别标出集合所表示的范围如图所示，
由图可知，A∩B={x|0≤x<1}.
故选：C
2.【答案】A
i i(1-i) 1 i
【解析】解：由 (1+i)z=i，得 z= = = + ，
1+i (1+i)(1-i) 2 2
(1 1)
复数 z在复平面内对应的点的坐标为 , ，在第一象限．
2 2
故选A.
3.【答案】C
【解析】解：数据从小到大排列得到：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，
∵6×0.4=2.4，∴这组数据的第40百分位数为第三个数据154.75.
故选C.
4.【答案】D
【解析】解：由 ，得 ，
f(x)=x3-3ax-1 f '(x)=3x2-3a
由条件得：f '(1)=3-3a=0，解得a=1.
故选：D.
5.【答案】A
【解析】解：已知在正项数列{a }中，a =a a ，
n m+n m n
令 ，则 ，即a 常数 ，
m=1 a =a a n+1=a ( )
n+1 1 n a 1
n
所以数列{a }是以a 为首项，a 为公比的等比数列，
n 1 1故由条件甲可以推出条件乙；
若{a }是等比数列，
n
设其公比为q，则 ，
a =a qn-1
n 1
那么
a a =a qm-1 ⋅a qn-1=a2qm+n-2.
m n 1 1 1
而 ，
a =a qm+n-1
m+n 1
当q≠a 时，a ≠a a ，所以由条件乙不能推出条件甲.
1 m+n m n
故甲是乙的充分条件但不是必要条件.
6.【答案】D
π
【解析】解：f(x)=√3sin2x-2cos2x=√3sin2x-cos2x-1=2sin(2x- )-1，
6
因为函数 的图象关于直线 对称，
f(x)=√3sin2x-2cos2x x=x
0
π π
所以2x - =kπ+ ，k∈Z，
0 6 2
2π
所以2x =kπ+ ，
0 3
2π
所以tan2x =tan(kπ+ )=-√3.
0 3
故选D.
7.【答案】C
【解析】解：设g(x)=f(-x)，则g(x)的图象是由f(x)的图象关于y轴对称得到的.
因为x 是f(x)的极大值点，那么f(x)在x=x 附近，f(x )大于其左右两侧附近的函数值，
0 0 0
对于g(x)=f(-x)，当x=-x 时，g(-x )=f(x ).
0 0 0
由于图象关于y轴对称，g(x)在x=-x 附近的函数值情况与f(x)在x=x 附近相反，
0 0
所以-x 是f(-x)的极大值点，A选项错误；
0
设h(x)=-f(x)，h(x)的图象是由f(x)的图象关于x轴对称得到的.
因为x 是f(x)的极大值点，即f(x )大于其左右两侧附近的函数值.
0 0对于h(x)=-f(x)，当x=x 时，h(x )=-f(x ).
0 0 0
由于图象关于x轴对称，h(x)在x=x 附近的函数值情况与f(x)在x=x 附近相反，
0 0
所以x 是-f(x)的极小值点，那么-x 不是-f(x)的极大值点，B选项错误；
0 0
设m(x)=-f(-x)，m(x)的图象是由f(x)的图象先关于y轴对称，再关于x轴对称得到的.
因为x 是f(x)的极大值点，f(x)在x=x 附近，f(x )大于其左右两侧附近的函数值，
0 0 0
m(x)经过两次对称变换后，当x=-x 时，m(-x )=-f(x )，
0 0 0
在x=-x 附近，m(x)的函数值情况与f(x)在x=x 附近相反，
0 0
所以-x 是-f(-x)的极小值点，C选项正确；
0
设n(x)=f(|x|)，n(x)是偶函数，其图象关于y轴对称.
当x≥0时，n(x)=f(x)，
已知x (x ≠0)是f(x)的极大值点，
0 0
但对于n(x)=f(|x|)，在x=-x 处，因为n(x)是偶函数，
0
，且在 右侧附近 的值小于 ，
n(-x )=n(x ) x=x (x>x )f(x) f(x )
0 0 0 0 0
根据偶函数性质，在x=-x 左侧附近(x<-x )n(x)的值与x>x 时对称位置的值相等，
0 0 0
所以-x 不是f(|x|)的极大值点，D选项错误.
0
故选C.
8.【答案】B
【解析】解：设 ， ，
|AF |=x |AF |=2a-x
2 1
√2
离心率为 ，则a=√2c
2
由 AF ⊥AF ， |AF | 2+|AF | 2=4c2 ，
1 2 1 2
，解得 ，则 ，
(2a-x) 2+x2=4c2 x=√2c |AF |=√2c |AF |=√2c
2 1
又
|AF |
2+|AB| 2=|BF
|
2
1 1
则
2c2+(|AF |+|BF |) 2=(2a-|BF |) 2
2 2 2，
2c2+(√2c+|BF |) 2=(2a-|BF |) 2
2 2
√2
解得|BF |= c，
2 3
|AF |
2 =3.
|BF |
2
9.【答案】ABD
【解析】解：已知a>0，b<0，ab<0，所以A正确；
1
4a ⋅9b=100× =1，B正确；
100
1 1
- =log 2-log 3=log 2+log 3=log 6<1，C错误；
a b 10 1 10 10 10
10
1 1
-
b-a a b log 6 log 6
因为 = = 10 = 10 =log 6，D正确．
ab-b 1 1-log 2 log 5 5
1- 10 10
a
故选：ABD.
10.【答案】AC
x2 y2 √3 √2
【解析】解：双曲线C： - =1的渐近线方程为y=± x，即y=± x，
6 3 6 2
直线l：y=kx过原点，
要使直线l与双曲线C交于A、B两点，
√2 √2 √2
应有- <k< ，即|k|< ，故A正确；
2 2 2由对称性可知点A、B关于原点对称，
则四边形AF BF 为平行四边形，|BF |=|AF |，
1 2 1 2
则||AF |-|BF ||=||AF |-|AF ||=2a=2√6，故B错误；
1 1 1 2
设A(x ,y )，则x 2=6+2y 2 ，
0 0 0 0
由题可知F (-3,0)，F (3,0)，
1 2
⃗ ⃗
AF =(-3-x ,- y )，AF =(3-x ,- y )，
1 0 0 2 0 0
则A ⃗ F ⋅A ⃗ F =x 2-9+ y 2=3 y 2-3≥-3，当且仅当y 0 =0时取等号，
1 2 0 0 0
⃗ ⃗
即AF ⋅AF 的最小值为-3，故C正确；
1 2
|3k|
点F 到l的距离为d= ，
2 √1+k2
当k=0时，d=0；
3
d=
√2
当0<|k|< 时， √ 1 ，
2 1+
k2
1 1
又0<k2< ，则1+ >3，
2 k2
3
d= <√3
可得 √ 1 ；
1+
k2
综上可得0≤d<√3，故D错误.11.【答案】ABD
【解析】解：设A，B，C所对的边分别为a，b，c，
1 1 1
由已知a=1，△ABC的面积为 bcsin A= a⋅tan A，即cosA= ，
2 2 bc
b2+c2-12
又由余弦定理可知cosA= ，
2bc
b2+c2-1 1
故 = ，即b2+c2=3，即AB2+AC2=3，故A正确；
2bc bc
1 1 1 √ 1 √(bc) 2-1
△ABC的面积为S= bcsin A= bc√1-cos2A= bc 1-( ) 2= ，
2 2 2 bc 2
3 √6
又b2+c2=3≥2bc，即bc≤ ，当且仅当b=c= 时取等，
2 2
√ 3
( )
2-1
故△ABC的面积 √(bc) 2-1 2 √5，故B正确；
S= ≤ =
2 2 4
π BC 1
当∠ABC= 时，BC边上的高为AB=c，且其等于tan A= = ，
2 AB c
1
故c= ，即c=1，又a=1，故a=c=1，
c
故△ABC为以B为直角顶点的等腰直角三角形，
取BC中点F，AC中点E，设 上任一点P， 上任一点Q，
AC BC
⏜ ⏜
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
则 PQ=PE+EF+FQ ，
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a+b+c 1+1+√2 2+√2
|PQ|=|PE+EF+FQ|≤|PE|+|EF|+|FQ|=EC+EF+FC= = = ，
2 2 2
2+√2
即PQ的长小于等于△ABC周长的一半，当PQ与HG重合时取等，d= ；
2根据对称性可知若点P在 上，点Q在 上时结论同上；
AC AB
⏜ ⏜
a+b+c 2+√2
若点P在 上，点Q在 上时，同理可得d= = .
AB BC
2 2
⏜ ⏜
π 2+√2 √5+1
综上所述，当∠ABC= 时，d= ≠ ，故C错误；
2 2 2
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
设P，Q分别为 BC 、 AC 上任意一点， PQ=PG+GF+FQ ，
⏜ ⏜
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a+b+c
|PQ|=|PG+GF+FQ|≤|PG|+|GF|+|FQ|=HG+GF+FE=HE= ，
2
即PQ的长小于等于△ABC周长的一半，当PQ与HE重合时取等，
同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于△ABC周长的一半，
a+b+c
因此三个半圆围成的平面区域W的“直径”为△ABC的周长的一半，即d= .
2由A知b2+c2=3，a=1，
a+b+c 1+b+c 1+√2(b2+c2 ) 1+√2×3 √6+1
则d= = ≤ = = ，
2 2 2 2 2
√6
当且仅当b=c= 时取等，
2
√6+1
故d的最大值为 ，故D正确.
2
2
12.【答案】
3
【解析】解：因为随机变量X∽ ，
N(1,σ2
)
所以正态分布图象关于x=1对称，
那么P(X<0)=P(X>2).
又因为P(X≤2)=P(X<2)+P(X=2)，
在连续型随机变量中P(X=2)=0，
所以P(X≤2)=P(X<2).
由正态分布图象关于x=1对称可知P(X≤2)=1-P(X>2).
∵2P(X<0)=P(X≤2)=m，
设P(X>2)=t，则P(X<0)=t，P(X≤2)=1-t,
1
所以2t=1-t，移项可得2t+t=1，即3t=1，解得t= .
31
因为m=P(X≤2)=1-P(X>2)，P(X>2)= ，
3
1 2
所以m=1- = .
3 3
13.【答案】5
【解析】解：由函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2)，可知f(x)周期为4，
{ π
2cos x,-1<x≤1,
由f(x)= 2 ，可得f(x)图象如图，
1-|x-2|,1<x≤3,
1
方程3f(x)=x的解，即为f(x)与y= x的交点横坐标，
3
由图可知两图象交点个数为5，故答案为5.
14.【答案】15π
【解析】解：作出圆锥的轴截面SAB，圆锥的底面圆心为点O，如图：小球O 与圆锥的侧面相切，小球O 、O 均同时与圆锥的底面和侧面相切，
1 2 3
可知SO=6，∠ASO=30∘，CO =1，
1
CO SO
则SC= 1 =√3，SA= =4√3，
tan30∘ cos30∘
根据对称性可知AE=SC=√3，
则CE=DG=FH=2√3，SE=3√3，
作CP⊥SO于点P，EQ⊥SO于点Q，
√3 3√3
则CP=SC⋅sin30∘= ，EQ=SE⋅sin30∘= ，
2 2
√3 3√3
则小球能接触到的圆锥容器内壁最大面积为上下底面半径分别为 、 ，母线长为2√3的圆台侧面积
2 2
加上半径为√3的圆的面积，
可得小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为S=π×2√3×
(√3
+
3√3)
+π×(√3) 2=15π.
2 2
故答案为：15π.
15.【答案】解：(1)设“选取一队是甲队”为事件A，“选取一队是乙队”为事件 B，
“随机选取一名志愿者是男生”为事件C，则C=AC+BC，其中事件AC与BC互斥，
所以P(C)=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B).
3 1 4
因为P(C|A)= = ，P(C|B)= ，
6 2 52 1 1 4 3
所以P(C)= × + × = .
3 2 3 5 5
3
所以该志愿者是男生的概率为 .
5
(2)X的可能取值为1，3，5，
C2
3 1
因为P(X=1)= 3= = ，
C2 15 5
6
C1C1
9 3
P(X=3)= 3 3= = ，
C2 15 5
6
C2
3 1
P(X=5)= 3= = ，
C2 15 5
6
所以X的分布列为：
1 3 1
所以X的期望E(X)=1× +3× +5× =3.
5 5 5
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】(1)解：设等差数列{a }的公差为d，
n
由S =a ，得3a +3d=a +4d，即2a =d，
3 5 1 1 1
1 1 1
由a =2a + ，取n=1，得a =2a + =a +d，即a =d- ，
2n n 4 2 1 4 1 1 4
1 1 1 1
解得a = ，d= ，所以a = n- ；
1 4 2 n 2 41 n(n-1) 1 1 1
(2)①解：由(1)知，S = n+ × = n2，所以√S = n，
n 4 2 2 4 n 2
1 1 1 1 20×19 1 105
因为a = n- ，所以b = n，所以S =20× + × = ；
n 2 4 n 4 20 4 2 4 2
②证明：因为 1 ，所以 1 16 16 1 1 ，
b2= n2 = < =16( - )(n≥2)
n 16 b2 n2 n(n-1) n-1 n
n
所以当 时， 1 ；
n=1 =16<32
b2
1
当 时， 1 1 1 1 1 1 1 1 16
n≥2
+ +⋯+ <16+16[(1- )+( - )+⋯+( - )]=32- <32.
b2 b2 b2 2 2 3 n-1 n n
1 2 n
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：(1)在直三棱柱ABC-A B C 中，CC ⊥平面ABC，
1 1 1 1
因为AD⊂平面ABC，所以CC ⊥AD.
1
又因为AD⊥DC ，CC ∩DC =C ，CC ，DC ⊂平面BB C C，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以AD⊥平面BB C C.
1 1
(2)①在直三棱柱ABC-A B C 中，A A ⊥平面ABC，AB⊥AC，
1 1 1 1
⃗ ⃗ ⃗
以 {AB,AC,A A } 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
1则D(√2,√2,0)，设B (2√2,0,a)，C (0,2√2,a)，
1 1
{⃗ ⃗
设平面ADC
1
的法向量n ⃗
1
=(x,y,z) ，由
⃗
n 1 ⋅A
⃗
D=0, 得 {√
2
2
√
x
2
+
y
√
+
2
az
y
=
=
0
0
,
, 取x=1，得y=-1，z= 2
a
√2 ，
n ⋅AC =0,
1 1
⃗ 2√2
所以平面ADC 的一个法向量n =(1,-1, ).
1 1 a
⃗ ⃗
π |n ⋅n | 1 1
⃗ cos = 1 2 = =
又平面CAC 1 的法向量n =(1,0,0) ，所以 3 ⃗ ⃗ √ 8 2，解得a=2.
2 |n |⋅|n | +2
1 2 a2
所以n ⃗
1
=(1,-1,√2) ，A ⃗ C=(0,2√2,0) ，所以cos<n ⃗
1
，A ⃗ C>= -
2
2
×
√
2
2
√2
=- 1
2
.
1
设AC与平面ADC 所成角为θ，则sinθ= .
1 2
②因为AD⊥DC ，AD=2，DC =2√2，所以S =2√2.
1 1 △ADC
1
4
因为三棱锥E-ADC 的体积为 ，所以E到平面ADC 的距离为√2，
1 3 1
因为E在侧面ABB A 上，可设E(x,0,z)，
1 1⃗ ⃗
|n ⋅AE| x+√2z
E到平面ADC 的距离为d= 1 = =√2，
1 ⃗ 2
|n |
1
所以E在侧面ABB A 上的运动轨迹是线段A B，所以 E的轨迹长度为2√3.
1 1 1
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
1
18.【答案】解：(1)由题意，F ( ,0)，由F 为线段OF 的中点得F (1,0)，所以曲线C 的方程为
1 2 1 2 2 2
y2=4x；
(2)设A (x ,y )，A (x ,y )，B (x ,y )，B (x ,y )，
1 1 1 2 2 2 1 3 3 2 4 4
联立{y=2x-2,消x，得 ， ， ，
y2- y-2=0 y =2 y =-1
y2=2x, 1 3
则 A 1 (2,2) ， B 1 ( 1 2 ,-1) 因为 A 2 ⃗ B 2 =2A 1 ⃗ B 1 ，则{ y x 4 - -x y 2 = = - - 3 6 , ,
4 2
因为
y2
，
y2 ，则y2 y2
，所以 ，
x = 2 x = 4 4- 2=-3 y + y =2
2 4 4 4 4 4 4 2
所以 ， y2 ，即 ，直线 的斜率为4-2 ；
y =4 x = 2=4 A (4,4) A A =1
2 2 4 2 1 2 4-2
(3)因为A (x ,y )，A (x ,y )，B (x ,y )，B (x ,y )，
1 1 1 2 2 2 1 3 3 2 4 4
所以 ⃗ ， ⃗ ，
A B =(x -x ,y - y ) A B =(x -x ,y - y )
1 1 3 1 3 1 2 2 4 2 4 2
因为 ⃗ ⃗
，所以{x
4
-x
2
=2(x
3
-x
1
),
A B =2A B
2 2 1 1 y - y =2(y - y ),
4 2 3 1
因为
y2
，
y2
，
y2
，
y2
，
x = 1 x = 2 x = 3 x = 4
1 2 2 4 3 2 4 4所以y2 y2 y2 y2
，①
4- 2=2( 3- 1
)
4 4 2 2
由y - y =2(y - y )代入①得y + y =2(y + y )，
4 2 3 1 4 2 3 1
由{y
4
+ y
2
=2(y
3
+ y
1
),
得 y =
y
2 ，
y - y =2(y - y ), 1 2
4 2 3 1
因为 x = y 1 2 ， x = y 2 2 ，所以 x = x 2 ，所以 O ⃗ A =2O ⃗ A ，同理 O ⃗ B =2O ⃗ B ，
1 2 2 4 1 2 2 1 2 1
所以 ，因为 ，所以 ，
S =3S k ⋅k =-2 k ⋅k =-2
四边形A A B B △OA B A A B B OA OB
1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1
y y
所以 y y ，得 1 ⋅ 3 =-2 ，即 ，
1 ⋅ 3=-2 y2 y2 y y =-2
x x 1 3 1 3
1 3
2 2
设 ，联立{ y2=2x, 消去x，得 ，
A B :x=my+n y2-2my-2n=0
1 1 x=my+n,
所以y y =-2n=-2，所以A B 过定点(1,0)，
1 3 1 1
则 1 1 2 1 √ 2 ，
S = ×1×|y - y |= |y + |≥ ×2 |y |⋅ =√2
△OA 1 B 1 2 1 3 2 1 y 2 1 |y |
1 1
2
当且仅当|y |= ，即|y |=√2时取等号，所以S =3S ⩾3√2，
1 |y | 1 四边形A
1
A
2
B
2
B
1
△OA
1
B
1
1
所以四边形A A B B 面积的最小值为3√2.
1 2 2 1
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：(1)函数f(x)=sinx，x∈(0,2π)和g(x)=cosx，x∈(0,2π)“2次缠绕”，
π 5π
理由如下：因为对任意x∈(0,2π)，(x- )(x- )(sinx-cosx)≤0，
4 4π 5π
当且仅当x= 和x= 时，等号成立，
4 4
所以由“m次缠绕”定义可知f(x)和g(x)在(0,2π)上“2次缠绕”；
1 a
(2)设G(x)=f(x)-f( )=2lnx+ -ax2 ，
x x2
1
因为f(x)和f( )在(0,+∞)上“3次缠绕”，
x
所以存在互异的三个正数x ，x ，x ，
1 2 3
3
使得 ，
G(x)∏(x-x )≤0
i
i=1
当且仅当x=x，i=1，2，3时等号成立，
i
所以x ，x ，x 是G(x)的三个零点.
1 2 3
注意到G(1)=0，所以1是G(x)的一个零点.
-2(ax4-x2+a)，
G'(x)=
x3
①当a≤0时，G'(x)≥0，
G(x)在(0,+∞)上递增，1是G(x)的唯一零点，不合题意，
1
②当a≥ 时，G'(x)≤0，G(x)在(0,+∞)上递减，1是G(x)的唯一零点，不合题意，
2
1
③当0<a< 时，令G'(x)=0，ax4-x2+a=0，
2
存在两根0<t <1<t ，
1 2
当x∈(0,t )时，G'(x)<0，G(x)递减;
1
当x∈(t ,t )时，G'(x)>0，G(x)递增，
1 2
当x∈(t ,+∞)时，G'(x)<0，G(x)递减，
2
所以G(t )<G(1)=0，
1
1 1
因为G(a)=2lna+ -a3>2lna+ -a，
a a1
设H(a)=2lna+ -a，0<a<1，
a
因为 (a-1) 2 ，
H'(a)=- <0
a2
所以H(a)在(0,1)上递减，所以H(a)>H(1)=0，即G(a)>0，
1
所以存在x ∈(0,1)，G(x )=0.又G(t )>G(1)=0，G( )=-G(a)<0，
1 1 2 a
所以存在x ∈(t ,+∞)，G(x )=0，
2 2 2
1
所以(x-x )(x-1)(x-x )[f(x)-f( )]≤0恒成立，
1 2 x
1 1
即0<a< 时，f(x)和f( )在(0,+∞)上“3次缠绕”，
2 x
1
综上，a的取值范围是(0, ).
2
(3)取a<x <x <⋯<x <b，
1 2 m
设φ(x)=(x-x )(x-x )⋯(x-x )，
1 2 m
1 1
令f(x)= [F(x)-φ(x)]，g(x)= [F(x)+φ(x)]，x∈(a,b)，
2 2
m m
显然 ，且 ，
F(x)=f(x)+g(x) [f(x)-g(x)]∏(x-x )=-∏ (x-x ) 2≤0
i i
i=1 i=1
当且仅当x=x ，k=1，2，⋯，m时，等号成立.
k
所以对任意F(x)∈A，
1 1
存在f(x)= [F(x)-φ(x)]，g(x)= [F(x)+φ(x)]，x∈(a,b)，
2 2
其中φ(x)=(x-x )(x-x )⋯(x-x )，
1 2 m
使得F(x)=f(x)+g(x)，且f(x)和g(x)在(a,b)上“m次缠绕”.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
