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2009 年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）sin585°的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集
合 （A∩B）中的元素共有（ ）
U
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
∁
3．（5分）不等式 ＜1的解集为（ ）
A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x＜0}
4．（5分）已知tana=4，cotβ= ，则tan（a+β）=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
5．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相
切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g
（1）=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同
选法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
8．（5分）设非零向量 、 、 满足 ，则 =
（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
第1页 | 共5页9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC
1 1 1 1
上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC 所成的角的余弦值为
1
（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（ ，0）中心对称，那
么|φ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知二面角 α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β
的距离为 ，Q 到 α 的距离为 ，则 P、Q 两点之间距离的最小值为（
）
A．1 B．2 C． D．4
12．（5分）已知椭圆C： +y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A l，线段AF
∈
交C于点B，若 =3 ，则| |=（ ）
A． B．2 C． D．3
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．
第2页 | 共5页14．（5分）设等差数列{a }的前n的和为S ，若S =72，则a +a +a = ．
n n 9 2 4 9
15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球
面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于 ．
16．（5分）若直线m被两平行线l ：x﹣y+1=0与l ：x﹣y+3=0所截得的线段的
1 2
长为 ，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案
的序号是 （写出所有正确答案的序号）
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设等差数列{a }的前n项和为S ，公比是正数的等比数列{b }的
n n n
前n项和为T ，已知a =1，b =3，a +b =17，T ﹣S =12，求{a }，{b }的通项
n 1 1 3 3 3 3 n n
公式．
18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为 a、b、c，已知a2﹣
c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．
第3页 | 共5页19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，
AD= ，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．
20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3局者获得这次比赛的
胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为
0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．
第4页 | 共5页21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l
的方程．
22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交
于A、B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．
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