文档内容
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
样本数据 的方差
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.若复数 ，其中 是虚数单位，则复数 的实部为______
2.已知向量 和向量 的夹角为 ， ，则向量 和向量 的数量积
__________ .
3. 函 数 的 单 调 减 区 间 为
y
_____
1
4. 函 数 为 常 数 ，
2
O 1 x
在闭区间 上的图象如图所示，则
3 3
_______ .
5.现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，
2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________ .
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如
下表：
4号 5号
学生 1号 2号 3号
开始
8 7
甲班 6 7 7
乙班 6 7 6 7 S 9 0
则以上两组数据的方差中较小的一个为 ________ .
T 1
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 ________ .
S T2 S
T T 2
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比
为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，
S 10
则它们的体积比为________ .
N
9.在平面直角坐标系 中，点 P 在曲线 Y
W S T
上，且在第二象限内，已知曲线 C在点P处的切线的斜率为2，则
点P的坐标为________.
第1页 | 共6页 输出
结束10.已知 ，函数 ，若实数 满足 ，则 的大小关系为
_______
.
11.已知集合 ， ，若 则实数 的取值范围是 ，其中
________ .
12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条
直线，则 平行于 ；（2）若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则 和 平行；（3）设 和
相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和 垂直；（4）直线 与 垂直的充分必要条件是
与 内的两条直线垂直.
上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）.
13．如图，在平面直角坐标系 中， 为椭圆 y
T
B2
M
的四个顶点， 为其右焦点，直线
与直线 相交于点T，线段 与椭圆的交点 恰为线
A1 O A2 x
段 的中点，则该椭圆的离心率为________.
14 ． 设 是 公 比 为 的 等 比 数 列 ， ， 令
若 数 列 有 连 续 四 项 在 集 合 中 ， 则
________
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
15．（本小题满分14分） 设向量
（1）若 与 垂直，求 的值；（2）求 的最大值;（3）若 ，
求证： ∥ .
16．（本小题满分14分）
第2页 | 共6页如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， 分 别 是 的 中 点 ， 点 在 上 ，
求证：(1) ∥ （2）
17．（本小题满分 14 分） 设 是公差不为零的等差数列， 为其前 项和，满足
（1）求数列 的通项公式及前 项和 ；（2）试求所有的正整数 ，
使得 为数列 中的项.
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系 中，已知圆 和圆
（1）若直线 过点 ，且被 y
.
圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程；（2）设P为平面上
的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线 ，它们 .
1
分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 O 1 x
被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
19.(本小题满分16分)
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 元，如果他卖出该产品的单价为 元，则他的
满意度为 ；如果他买进该产品的单价为 元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖
出或买进)的满意度分别为 和 ，则他对这两种交易的综合满意度为 .
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3
元和20元，设产品A、B的单价分别为 元和 元，甲买进A与卖出B的综合满意度为 ，乙卖出
A与买进B的综合满意度为
第3页 | 共6页求 和 关于 、 的表达式；当 时，求证： = ；
设 ，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多
少？
记(2)中最大的综合满意度为 ，试问能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立
但等号不同时成立？试说明理由。
求 和 关于 、 的表达式；当 时，求证： = ；
设 ，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多
少？
记(2)中最大的综合满意度为 ，试问能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立
但等号不同时成立？试说明理由。
20．(本小题满分16分)设 为实数，函数 .若 ，求 的取值范
围；求 的最小值；设函数 ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式
的解集.
数学Ⅱ（附加题）
参考公式：
21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作
答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.选修4 - 1：几何证明选讲
第4页 | 共6页如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
B. 选修4 - 2：矩阵与变换
求矩阵 的逆矩阵.
C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为 （ 为参数， ）.
求曲线C的普通方程。
D. 选修4 - 5：不等式选讲
设 ≥ ＞0,求证： ≥ .
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤。
22.（本题满分10分）
在平面直角坐标系 中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦 点 F
在 轴上。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
（3）设过点 的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记 D 和
E两点间的距离为 ，求 关于 的表达式。
第5页 | 共6页23. （本题满分10分）
对于正整数 ≥2，用 表示关于 的一元二次方程 有实数根的有序数组 的组数，
其中 （ 和 可以相等）；对于随机选取的 （ 和 可以相等），记
为关于 的一元二次方程 有实数根的概率。
（1）求 和 ；
（2）求证：对任意正整数 ≥2，有 .
第6页 | 共6页
