2014年高考数学试卷（理）（湖北）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1i 1. i为虚数单位，则( )2 （ ） 1i A. 1 B. 1 C. i D.i a 1 2. 若二项式(2x )7的展开式中 的系数是84，则实数a（ ） x x3 2 A.2 B. 5 4 C. 1 D. 4 3. 设U 为全集，A,B是集合，则“存在集合C使得AC,BC C 是“A B”的（ ） U  A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 试题分析： ①当AC，BC U C，且B  C ，则A  B，反之当A  B，必有AC,BC U C . 第1页 | 共19页4.根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0 3.0 得到的回归方程为yˆ bxa，则（ ） A.a0 ,b0 B.a0 ,b0 C.a0 ,b0 D.a0 ,b0 5.在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1）， （2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 【答案】D 【解析】 试题分析：设A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2)，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规 第2页 | 共19页则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D. [来源:学科网] 考点：空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题. 1 6.若函数 f(x)、g(x)满足 f(x)g(x)dx0，则称 f(x)、g(x)在区间[1,1]上的一组正交函数，给出 1 1 1 三组函数：① f(x)sin x,g(x)cos x；② f(x) x1,g(x) x1；③ f(x) x,g(x) x2. 2 2 其中为区间[1,1]的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 x0  x y1 7.由不等式y0 确定的平面区域记为 ，不等式 ，确定的平面区域记为 ，在  1 x y2 2 1 yx20  中随机取一点，则该点恰好在 内的概率为（ ） 2 1 1 3 7 A. B. C. D. 8 4 4 8 【答案】D 第3页 | 共19页8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底 1 面周长L与高h，计算其体积V 的近似公式v » L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率p近似取为 36 2 3.那么近似公式v » L2h相当于将圆锥体积公式中的p近似取为（ ） 75 22 25 157 355 A. B. C. D. 7 8 50 113 p 9.已知F,F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且ÐFPF  ,则椭圆和双曲线的离 1 2 1 2 3 心率的倒数之和的最大值为（ ） 4 3 2 3 A. B. C.3 D.2 3 3 第4页 | 共19页1 10.已知函数 f(x)是定义在R 上的奇函数，当x0时， f(x) (|xa2 ||x2a2 |3a2)，若 2 xR ， f(x1) f(x)，则实数a的取值范围为（ ） 1 1 6 6 1 1 3 3 A.[ , ] B.[ , ] C. [ , ] D. [ , ] 6 6 6 6 3 3 3 3 第5页 | 共19页考点：函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等. 二．填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在 答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题） 11.设向量a(3,3)，b(1,1)，若(ab)(ab)，则实数 . 12.直线l : y  xa和l : y  xb将单位圆C:x2  y2 1分成长度相等的四段弧，则 1 2 a2 b2  . 第6页 | 共19页13.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数 记为Ia，按从大到小排成的三位数记为Da（例如a 815，则Ia158，Da851）.阅读如 图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b .       14.设 f x 是定义在 0, 上的函数，且 f x 0，对任意a 0,b0，若经过点(a, f(a))，(b,f(b))     的直线与x轴的交点为 c,0 ，则称c为a,b关于函数 f x 的平均数，记为M (a,b)，例如，当 f ab   f x 1(x0)时，可得M (a,b)c ，即M (a,b)为a,b的算术平均数. f 2 f   （1）当 f x  _____(x0)时，M (a,b)为a,b的几何平均数； f [来源:Z_xx_k.Com] 2ab   （2）当 f x  _____(x0)时，M (a,b)为a,b的调和平均数 ； f ab （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） 第7页 | 共19页（二）选考题 15.（选修4-1：几何证明选讲） 如图，P为⊙O的两条切线，切点分别为A,B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点，若 QC 1,CD 3,则PB . 16.（选修4-4：坐标系与参数方程） 第8页 | 共19页x t    已知曲线C 1 的参数方程是 3t t为参数 ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， y   3 曲线C 的极坐标方程是2，则C 与C 交点的直角坐标为 . 2 1 2 三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. [来源:学|科|网Z|X|X|K] 17.（本小题满分11分） 某实验室一天的温度（单位：C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系； p p f(t)10 3cos tsin t,t[0,24). 12 12 （1）求实验室这一天的最大温差； （2）若要求实验室温度不高于11C，则在哪段时间实验室需要降温？ 第9页 | 共19页p p p p 当t 2时，sin( t )1；当t 14时，sin( t )1 ； 12 3 12 3 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8. [来源:学科网] 18.（本小题满分12分） 已知等差数列{a }满足：a 2，且a 、a 、a 成等比数列. n 1 1 2 5 （1）求数列{a }的通项公式. n （2）记S 为数列{a }的前n项和，是否存在正整数n ，使得S 60n800?若存在，求n的最小值；若 n n n 不存在，说明理由. （2）当a 2时，S 2n，显然2n60n800，不存在正整数n，使得S 60n800. n n n 第10页 | 共19页19.(本小题满分12分) 如图，在棱长为2的正方体ABCDABC D 中，E,F,M,N 分别是棱AB,AD,AB ,AD 的中点，点 1 1 1 1 1 1 1 1   P,Q分别在棱DD ,BB 上移动，且DP BQ02 . 1 1 （1）当1时，证明：直线BC //平面EFPQ； 1 （2）是否存在，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在， 说明理由. 2 【答案】（1）详见解析；（2）1 2 【解析】 第11页 | 共19页分别取EF 、PQ、MN 的中点为H 、O、G，连结OH 、OG， 则GO PQ，HO PQ，而GO HOO，  故ÐGOH 是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角， 第12页 | 共19页以D为原点，射线DA,DC,DD 分别为x,y,z轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系Dxyz， 1 （2）设平面EFPQ的一个法向量n(x,y,z)， 第13页 | 共19页20.（本小题满分12分） 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流 量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低 于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概 率，并假设各年的年入流量相互独立. （1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率； （2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关 系: 年入流量X 40 X 80 80 X 120 X 120 发电量最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电 站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 第14页 | 共19页由此得Y 的分布列如下： Y 34 9200 15000 第15页 | 共19页P 0.2 0.8 0.1 所以EY 34000.292000.7150000.18620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. [来源:学科网] 考点：二项分布，随机变量的均值. 21.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，点M 到点F1,0的距离比它到y轴的距离多1，记点M 的轨迹为C. （1）求轨迹为C的方程； （2）设斜率为k的直线l过定点 p2,1，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共 点时k的相应取值范围. 试题解析：（1）设点M(x,y)，依题意，|MF ||x|1，即 (x1)2  y2 |x|1， 整理的y2 2(|x|x)， 4x(x0) 所以点M 的轨迹C的方程为y2  . o,(x0) 第16页 | 共19页第17页 | 共19页考点：两点间的距离公式，抛物线方程，直线与抛物线的位置关系. 22.（本题满分14分） p为圆周率，e2.71828为自然对数的底数. lnx （1）求函数 f(x) 的单调区间； x （2）求e3，3e，ep，pe，3p，p3这6个数中的最大数与最小数； （3）将e3，3e，ep，pe，3p，p3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论. 第18页 | 共19页第19页 | 共19页