文档内容
2020年云南省昆明市中考数学试卷
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）|﹣10|＝ ．
2．（3分）分解因式：m2n﹣4n＝ ．
3．（3分）如图，点C位于点A正北方向，点B位于点A北偏东50°方向，点C位于点B
北偏西35°方向，则∠ABC的度数为 °．
4．（3分）要使 有意义，则x的取值范围是 ．
5．（3分）如图，边长为2 cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂
足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为
cm．
6．（3分）观察下列一组数：﹣ ， ，﹣ ， ，﹣ ，…，它们是按一定规律排
列的，那么这一组数的第n个数是 ．
二、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）
7．（4分）由5个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是（ ）A． B． C． D．
8．（4分）下列判断正确的是（ ）
A．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
B．一组数据6，5，8，7，9的中位数是8
C．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲 2＝2.3，S乙 2＝1.8．则甲组学生的身高较整齐
D．命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题
9．（4分）某款国产手机上有科学计算器，依次按键： ，
显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A．2～3 B．3～4 C．4～5 D．5～6
10．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A． ﹣2 ＝﹣2 B．6a4b÷2a3b＝3ab
C．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 D． • ＝a
11．（4分）不等式组 ，的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A．
B．C．
D．
12．（4分）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资 8000元建设几间
直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一
间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用
是（ ）
A．1600元 B．1800元 C．2000元 D．2400元
13．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B
（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（ ）
A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝
D．点P （t，y ），P （t+1，y ）在抛物线上，当实数t＞ 时，y ＜y
1 1 2 2 1 2
14．（4分）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫
做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角
形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一
个），这样的格点三角形一共有（ ）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
三、解答题（本大题共9小题，满分70分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答
题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．特
别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图）
15．（5分）计算：12021﹣ +（ ﹣3.14）0﹣（﹣ ）﹣1．
π
16．（6分）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝
AD．求证：BC＝DE．
17．（7分）某鞋店在一周内销售某款女鞋，尺码（单位：cm）数据收集如下：
24 23.5 21.5 23.5 24.5 23 22 23.5 23.5 23 22.5 23.5 23.5 22.5 24 24
22.5 25 23 23 23.5 23 22.5 23 23.5 23.5 23 24 22 22.5
绘制如图不完整的频数分布表及频数分布直方图：
尺码/cm 划记 频数
21.5≤x＜22.5 3
22.5≤x＜23.5
23.5≤x＜24.5 13
24.5≤x＜25.5 2
（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）若店主要进货，她最应该关注的是尺码的众数，上面数据的众数为 ；（3）若店主下周对该款女鞋进货120双，尺码在23.5≤x＜25.5范围的鞋应购进约多少
双？
18．（7分）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字 2，
4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字 1，3，5的三个完全相同的小球．小
杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉
再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰贏；若得到的两数字之和是7的倍数，
则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
19．（8分）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷
洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教
室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的
函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成
后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物
浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）
进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请
通过计算说明．20．（8分）如图，点P是 O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的
中点． ⊙
（1）尺规作图：在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP，连接EC，PC（保留
清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明PC是 O的切线；
（2）在（1）的条件下，若BP＝4，EB＝l，求P⊙C的长．
21．（9分）【材料阅读】2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛
峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上
立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不
是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于 300m时，还
要考虑球气差，球气差计算公式为f＝ （其中d为两点间的水平距离，R为地球
的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高
度+球气差．
【问题解决】某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，
点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于
地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点
A处的海拔高度为1800m．
（1）数据6400000用科学记数法表示为 ；
（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）22．（8分）如图，两条抛物线y ＝﹣x2+4，y ＝﹣ x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x
1 2
轴负半轴上，且为抛物线y 的最高点．
2
（1）求抛物线y 的解析式和点B的坐标；
2
（2）点C是抛物线y 上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y 于点D，当线段
1 2
CD取最大值时，求S△BCD ．
23．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E，F分别为AB，CD的中点．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）如图2，点P是边AD上一点，BP交EF于点O，点A关于BP的对称点为点M，
当点M落在线段EF上时，则有OB＝OM．请说明理由；
（3）如图3，若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M，连接AM，
DM，当△AMD是等腰三角形时，求AP的长．2020年云南省昆明市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣10|＝10．
故答案为：10．
2．【解答】解：原式＝n（m2﹣4）＝n（m+2）（m﹣2），
故答案为：n（m+2）（m﹣2）
3．【解答】解：如图所示：由题意可得，∠1＝∠A＝50°，
则∠ABC＝180°﹣35°﹣50°＝95°．
故答案为：95．
4．【解答】解：要使分式 有意义，
需满足x+1≠0．
即x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
5．【解答】解：连接OD，OC．
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC＝2 （cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝ （cm），
∴OB＝ BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），∴点A在该过程中所经过的路径长＝ ＝10 （cm），
π
故答案为10 ．
π
6．【解答】解：观察下列一组数：
﹣ ＝﹣ ，
＝ ，
﹣ ＝﹣ ，
＝ ，
﹣ ＝﹣ ，
…，
它们是按一定规律排列的，
那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n ．
故答案为：（﹣1）n ．
二、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）
7．【解答】解：由5个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是 ．
故选：A．
8．【解答】解：A．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，
所以A选项错误；
B．一组数据6，5，8，7，9的中位数是7，
所以B选项错误；C．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲 2＝2.3，S乙 2＝1.8．则乙组学生的身高较整齐，
所以C选项错误；
D．命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题，
所以D选项正确．
故选：D．
9．【解答】解：使用计算器计算得，
4sin60°≈3.464101615，
故选：B．
10．【解答】解：A、 ﹣2 ＝﹣ ，此选项错误，不合题意；
B、6a4b÷2a3b＝3a，此选项错误，不合题意；
C、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，正确；
D、 • ＝ • ＝﹣a，故此选项错误，不合题意；
故选：C．
11．【解答】解： ，
∵解不等式 得：x＞﹣1，
解不等式 ①得：x≤3，
∴不等式②组的解集是﹣1＜x≤3，
在数轴上表示为： ，
故选：B．
12．【解答】解：设原计划每间直播教室的建设费用是 x元，则实际每间建设费用为
1.2x，根据题意得：
，
解得：x＝2000，
经检验：x＝2000是原方程的解，
答：每间直播教室的建设费用是2000元，
故选：C．
13．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）
之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴a＝ ，所以C选项的结论正确；
∵点P （t，y ），P （t+1，y ）在抛物线上，
1 1 2 2
∴当点P 、P 都在直线x＝1的右侧时，y ＜y ，此时t≥1；
1 2 1 2
当点P 在直线x＝1的左侧，点P 在直线x＝1的右侧时，y ＜y ，此时0＜t＜1且t+1﹣
1 2 1 2
1＞1﹣t，即 ＜t＜1，
∴当 ＜t＜1或t≥1时，y ＜y ，所以D选项的结论错误．
1 2
故选：D．
14．【解答】解：如图，
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个．
故选：C．
三、解答题（本大题共9小题，满分70分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．特
别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图）
15．【解答】解：原式＝1﹣2+1+5
＝5．
16．【解答】证明：∵AC是∠BAE的平分线，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠C＝∠E，AB＝AD．
∴△BAC≌△DAE（AAS），
∴BC＝DE．
17．【解答】解：（1）表中答案为：12补全频数分布表如上表所示：
补全的频数分布直方图如图所示：
（2）样本中，尺码为23.5cm的出现次数最多，共出现9次，因此众数是23.5，
故答案为：23.5；
（3）120× ＝60（双）
答：该款女鞋进货120双，尺码在23.5≤x＜25.5范围的鞋应购进约60双．
18．【解答】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
（2）由（1）的表格可知，共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种
“和为7的倍数”的有3种，
∴P（小杰胜） ＝ ＝ ，P（小玉胜） ＝ ＝ ，因此游戏是公平的．
19．【解答】解：（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，
则 ，解得 ，
故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；
（2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，
当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），
设反比例函数表达式为：y＝ ，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，
故反比例函数表达式为y＝ ，
当x＝55时，y＝ ＜1，
故一班学生能安全进入教室．
20．【解答】解：（1）如图，点C即为所求；
证明：∵点E是线段OP的中点，
∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，且OC是 O的半径，
∴PC是 O的切线；⊙
（2）∵⊙BP＝4，EB＝l，
∴OE＝EP＝BP+EB＝5，∴OP＝2OE＝10，
∴OC＝OB＝OE+EB＝6，
在Rt△OCP中，根据勾股定理，得PC＝ ＝8．
则PC的长为8．
21．【解答】解：（1）6400000＝6.4×106，
故答案为6.4×106．
（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．
由题意AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，
在Rt△ECH中，EH＝CH•tan37°≈600（m），
∴DB＝600﹣DE+BH＝599.5（m），
由题意f＝ ≈0.043（m），
∴山的海拔高度＝599.5+0.043+1800≈2399.54（m）．
22．【解答】解：（1）当y＝0时，即﹣x2+4＝0，解得x＝2或x＝﹣2，
又点A在x轴的负半轴，
∴点A（﹣2，0），
∵点A（﹣2，0），是抛物线y 的最高点．
2
∴﹣ ＝﹣2，即b＝﹣ ，
把A（﹣2，0）代入y ＝﹣ x2﹣ x+c得，c＝﹣ ，
2
∴抛物线y 的解析式为：y ＝﹣ x2﹣ x﹣ ；
2 2由 得， ， ，
∵A（﹣2，0），
∴点B（3，﹣5），
答：抛物线y 的解析式为：y ＝﹣ x2﹣ x﹣ ，点B（3，﹣5）；
2 2
（2）由题意得，CD＝y ﹣y ＝﹣x2+4﹣（﹣ x2﹣ x﹣ ），
1 2
即：CD＝﹣ x2+ x+ ，
当x＝﹣ ＝ 时，CD最大 ＝﹣ × + × + ＝5，
∴S△BCD ＝ ×5×（3﹣ ）＝ ．
23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠A＝90°，
∵AE＝EB，DF＝FC，
∴AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．
（2）证明：如图2中，连接PM．BM．
∵四边形AEFD是矩形，
∴EF∥AD，
∵BE＝AE，∴BO＝OP，
由翻折可知，∠PMB＝∠A＝90°，
∴OM＝OB＝OP．
（3）解：如图3﹣1中，当MA＝MD时，连接BM，过点M作MH⊥AD于H交BC于
F．
∵MA＝MD，MH⊥AD，
∴AH＝HD＝4，
∵∠BAH＝∠ABF＝∠AHF＝90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴BF＝AH＝4，AB＝FH＝5，
∴∠BFM＝90°，
∵BM＝BA＝5，
∴FM＝ ＝ ＝3，
∴HM＝HF＝FM＝5﹣3＝2，
∵∠ABP+∠APB＝90°，∠MAH+∠APB＝90°，
∴∠ABP＝∠MAH，
∵∠BAP＝∠AHM＝90°，
∴△ABP∽△HAM，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AP＝ ．
如图3﹣2中，当AM＝AD时，连接BM，设BP交AM于F．∵AD＝AM＝8，BA＝BM＝5，BF⊥AM，
∴AF＝FM＝4，
∴BF＝ ＝ ＝3，
∵tan∠ABF＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AP＝ ，
如图3﹣3中，当DA＝DM时，此时点P与D重合，AP＝8．
如图3﹣4中，当MA＝MD时，连接BM，过点M作MH⊥AD于H交BC于F．∵BM＝5，BF＝4，
∴FM＝3，MH＝3+5＝8，
由△ABP∽△HAM，可得 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AP＝10，
综上所述，满足条件的PA的值为 或 或8或10．
