文档内容
2020年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个
答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确
记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．（4分）若 ＝﹣4，则x的值是（ ）
A．4 B． C．﹣ D．﹣4
2．（4分）2020年南充市各级各类学校在校学生人数约为1150000人，将1150000用科学记数
法表示为（ ）
A．1.15×106 B．1.15×107 C．11.5×105 D．0.115×107
3．（4分）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的
长度为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
4．（4π分）下列运算正确的是π（ ） π π
A．3a+2b＝5ab B．3a•2a＝6a2
C．a3+a4＝a7 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（4分）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位：环）：
4，5，6，6，6，7，8．则下列说法错误的是（ ）
A．该组成绩的众数是6环
B．该组成绩的中位数是6环
C．该组成绩的平均数是6环
D．该组成绩数据的方差是10
6．（4分）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则
CD＝（ ）
第1页（共26页）A． B． C．a﹣b D．b﹣a
7．（4分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过
点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（ ）
A． S B． S C． S D． S
8．（4分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y＝
ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
第2页（共26页）A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
10．（4分）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论： 对任意实数m，都有x ＝2+m
1
①
与x ＝2﹣m对应的函数值相等； 若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则﹣ ＜a≤﹣
2
②
1或1≤a＜ ； 若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜﹣ 或a≥1．其中
③
正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
二、填空①题②（本大题共6个小题①，③每小题4分，共24分②）③请将答案填在答题①卡对②应③的横线上.
11．（4分）计算：|1﹣ |+20＝ ．
12．（4分）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 度．
13．（4分）从长分别为1，2，3，4的四条线段中，任意选取三条线段，能组成三角形的概率是
．
14．（4分）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多
购买钢笔 支．
15．（4分）若x2+3x＝﹣1，则x﹣ ＝ ．
16．（4分）△ABC内接于 O，AB为 O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在 O
上，已知AE＝2，tanD⊙＝3，则AB⊙＝ ． ⊙
三、解答题（本大题共9个小题，其86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中x＝ +1．
18．（8分）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝
第3页（共26页）CD．
19．（8分）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助．某批次派
出20人组成的专家组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，其人员分布情况如统
计图（不完整）所示：
（1）计算赴B国女专家和D国男专家人数，并将条形统计图补充完整．
（2）根据需要，从赴A国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽
取的两名专家恰好是一男一女的概率．
20．（10分）已知x ，x 是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
1 2
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式 + ＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存
在，请说明理由．
21．（10分）如图，反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象与y＝2x的图象相交于点C，过直线
上点A（a，8）作AB⊥y轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝4BD．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求四边形OCDB的面积．
第4页（共26页）22．（10分）如图，点A，B，C是半径为2的 O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于
点D，过点D作AC的垂线交AC的延长⊙线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与 O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝4 ，求⊙tan∠EAD的值．
23．（10分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万
元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函
数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．
在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入
﹣成本）
24．（10分）如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂
线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
第5页（共26页）（1）求证：AM＝BN．
（2）请判定△OMN的形状，并说明理由．
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK＝x，△OMN的面积为y，求y关于x的
函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为 ，请直接
写出AK长．
25．（12分）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，
求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角 ，且tan ＝
θ θ
，求点K的坐标．
第6页（共26页）2020年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个
答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确
记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．【分析】根据倒数的定义求出即可．
【解答】解：∵ ＝﹣4，
∴x＝﹣ ，
故选：C．
【点评】本题考查了倒数的定义，能熟记倒数的定义的内容是解此题的关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1150000＝1.15×106，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】由题意可得点B的轨迹是以A为圆心，AB长为半径的弧，利用弧长公式可求解．
【解答】解：由题意可得：点B运动路径的长度为＝ ＝ ，
π
故选：A．
【点评】本题考查了轨迹，弧长公式，掌握弧长公式是本题的关键．
4．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝6a2，符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意．
故选：B．
第7页（共26页）【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则
及公式是解本题的关键．
5．【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是6环，故本选项正确；
B、该组成绩的中位数是6环，故本选项正确；
C、该组成绩的平均数是： （4+5+6+6+6+7+8）＝6（环），故本选项正确；
D、该组成绩数据的方差是 （[ 4﹣6）2+（5﹣6）2+3×（6﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝ ，故
本选项错误；
故选：D．
【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的
含义．
6．【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD＝BC＝AD，进而解答即可．
【解答】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b，
∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，
故选：C．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD＝BC
＝AD解答．
7．【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝ AC×BD，证出四边形EFOG
是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝ OC＝ AC，EG
＝ OB＝ BD，由矩形面积即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
第8页（共26页）∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝ AC×BD，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF＝ OC＝ AC，EG＝ OB＝ BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝ AC× BD＝ S；
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握
菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
8．【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在
直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【解答】解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB＝ ＝ ，AC＝ ＝3 ，
∵S△ABC ＝ AC•BD＝ ×3 •BD＝ ×1×3，
∴BD＝ ，
∴sin∠BAC＝ ＝ ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根
据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
9．【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
第9页（共26页）【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a＝3，
当抛物线经过（3，1）时，a＝ ，
观察图象可知 ≤a≤3，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，
解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．【分析】由题意可求次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x＝﹣ ，由对称性可判
断 ；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断 ；分a＞0或a
＜①0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断 ；即可求解②．
③
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x＝ ，
∴x ＝2+m与x ＝2﹣m关于直线x＝2对称，
1 2
∴对任意实数m，都有x ＝2+m与x ＝2﹣m对应的函数值相等；
1 2
故 正确；
当①x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，﹣3a﹣5≤y≤﹣5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴1≤a＜ ，
若a＜0时，当3≤x≤4时，﹣5≤y≤﹣3a﹣5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴﹣ ＜a≤﹣1，
故 正确；
若②a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a﹣20a﹣5≥0，
∴ ，
∴a≥1，
第10页（共26页）若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a﹣20a﹣5≤0，
∴ ，
∴a＜﹣ ，
综上所述：当a＜﹣ 或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函
数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上.
11．【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ ﹣1+1
＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【解答】解：∵两直线交于点O，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝76°，
∴∠1＝38°．
故答案为：38．
【点评】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
13．【分析】画出树状图，共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有6个，由概率公式
即可得出答案．
【解答】解：画树状图如图：
第11页（共26页）共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有6个，
∴能组成三角形的概率为 ＝ ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；正确画出树状图是解题的关键．
14．【分析】首先设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买
笔记本的花费＝100元，即可求解．
【解答】解：设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，由题意得：
7x+5y＝100，
如果x＝1，那么y＝ ，不是正整数，舍去；
如果x＝2，那么y＝ ，不是正整数，舍去；
如果x＝3，那么y＝ ，不是正整数，舍去；
如果x＝4，那么y＝ 不是正整数，舍去；
如果x＝5，那么y＝13，
如果x＝6，那么y＝ ，不是正整数，舍去；
如果x＝7，那么y＝ ，不是正整数，舍去；
如果x＝8，那么y＝ ，不是正整数，舍去
如果x＝9，那么y＝ 不是正整数，舍去；
如果x＝10，那么y＝6，
第12页（共26页）如果x＝11，那么y＝ 不是正整数，舍去；
如果x＝12，那么y＝ ，不是正整数，舍去；
如果x＝13，那么y＝ ，不是正整数，舍去；
∴x的最大值是10，
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相等
关系．
15．【分析】根据分式的减法可以将所求式子化简，然后根据x2+3x＝﹣1，可以得到x2＝﹣1﹣
3x，代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：x﹣
＝
＝ ，
∵x2+3x＝﹣1，
∴x2＝﹣1﹣3x，
∴原式＝ ＝ ＝ ＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
16．【分析】根据圆周角定理得到∠AEB＝∠ACB＝90°，根据旋转的性质得到AC＝CE，BC＝
CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，设CE＝3x，CD＝x，由勾股定理得到DE＝
x，根据相似三角形的性质得到BD＝ 根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB为 O的直径，
∴∠AEB＝∠ACB＝90⊙°，
∵将△ABC绕点C旋转到△EDC，
∴AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，
第13页（共26页）∵tanD＝ ＝3，
∴设CE＝3x，CD＝x，
∴DE＝ x，
∵∠ACE＝∠BCD，∠D＝∠ABC＝∠AEC，
∴△ACE∽△DCB，
∴ ＝3，
∵AE＝2，
∴BD＝
∴BE＝DE﹣BD＝ x﹣ ，
∵AE2+BE2＝AB2，
∴22+（ x﹣ ）2＝（ x）2，
∴x＝ ，
∴AB＝DE＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，
勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，其86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子
即可解答本题．
【解答】解：（ ﹣1）÷
＝
＝
＝
第14页（共26页）＝ ，
当x＝ +1时，原式＝ ＝﹣ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18．【分析】证明△ABC≌△CDE（ASA），可得出结论．
【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠ACB＝∠CED．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的
关键．
19．【分析】（1）先用赴A国的专家的人数除以它所占的百分比得到调查的总比分人数，再计
算出赴B国女专家人数和赴D国男专家人数，然后补全条形统计图；
（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出所抽取的两名专家恰好是一男一女的
结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）（2+3）÷25%＝20（人），
所以调查的总人数为20人，
赴B国女专家人数为20×40%﹣5＝3（人）
赴D国男专家人数为20×（1﹣20%﹣40%﹣25%）﹣2＝1（人）
条形统计图补充为：
第15页（共26页）（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数为12，
所以所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的
概率．也考查了统计图．
20．【分析】（1）根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得
出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x +x ＝2，x x ＝k+2，结合 + ＝k﹣2，即可得出关于
1 2 1 2
k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，
解得：k≤﹣1．
（2）∵x ，x 是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝2，x x ＝k+2．
1 2 1 2
∵ + ＝k﹣2，
第16页（共26页）∴ ＝ ＝k﹣2，
∴k2﹣6＝0，
解得：k ＝﹣ ，k ＝ ．
1 2
又∵k≤﹣1，
∴k＝﹣ ．
∴存在这样的k值，使得等式 + ＝k﹣2成立，k值为﹣ ．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0
时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合 + ＝k﹣2，找出关于k的方
程．
21．【分析】（1）想办法求出点D的坐标即可解决问题．
（2）构建方程组求出点C的坐标，利用分割法求面积即可．
【解答】解：（1）∵点A（a，8）在直线y＝2x上，
∴a＝4，A（4，8），
∵AB⊥y轴于D，AB＝4BD，
∴BD＝1，即D（1，8），
∵点D在y＝ 上，
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
（2）由 ，解得 或 （舍弃），
∴C（2，4），
∴S四边形OBDC ＝S△AOB ﹣S△ADC ＝ ×4×8﹣ ×4×3＝10．
第17页（共26页）【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
22．【分析】（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝
∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；
（2）根据勾股定理得到OF＝ ＝6，根据平行线分线段成比例定理和三角函数
的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是 O的切线；
（2）解⊙：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝4 ，
∴OF＝ ＝6，
∵OD∥AE，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
第18页（共26页）∴AE＝ ，ED＝ ，
∴tan∠EAD＝ ＝ ．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，
正确的识别图形是解题的关键．
23．【分析】（1）分别得出当0＜x≤12时和当12＜x≤20时，z关于x的函数解析式即可得出
答案；
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元， 当0＜x≤12时，可得出w关于x的一
次函数，根据一次函数的性质可得相应的最大值；① 当12＜x≤20时，可得出w关于x的
二次函数，根据二次函数的性质可得相应的最大值②．取 中较大的最大值即可．
【解答】解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，①②
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则
解得：
∴z＝﹣ x+19，
∴z关于x的函数解析式为z＝ ．
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
①∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值 ＝30×12+240＝600（万元）；
当12＜x≤20时，
②
w＝（﹣ x+19﹣10）（5x+40）
第19页（共26页）＝﹣ x2+35x+360
＝﹣ （x﹣14）2+605，
∴当x＝14时，w最大值 ＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数
的性质并分类讨论是解题的关键．
24．【分析】（1）由“AAS”可证△ABM≌△BCN，可得AM＝BN；
（2）连接OB，由“SAS”可证△AOM≌△BON，可得MO＝NO，∠AOM＝∠BON，由余角
的性质可得∠MON＝90°，可得结论；
（3）由勾股定理可求BK的值，由面积法可求AM＝BN＝ ，由锐角三角函数可求
BN的值，可求MN的长，由三角形面积公式可求y＝ （0＜x＜1），即可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBM＝90°，
∵AM⊥BM，CN⊥BN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
∴∠MAB＝∠CBM，
∴△ABM≌△BCN（AAS），
∴AM＝BN；
（2）△OMN是等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接OB，
第20页（共26页）∵点O是正方形ABCD的中心，
∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，
∵∠MAB＝∠CBM，
∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，
∴∠MAO＝∠NBO，
又∵AM＝BN，OA＝OB，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，
∵∠AON+∠BON＝90°，
∴∠AON+∠AOM＝90°，
∴∠MON＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形；
（3）在Rt△ABK中，BK＝ ＝ ，
∵S△ABK ＝ ×AK×AB＝ ×BK×AM，
∴AM＝ ＝ ，
∴BN＝AM＝ ，
∵cos∠ABK＝ ＝ ，
∴BM＝ ＝ ，
∴MN＝BM﹣BN＝
∵S△OMN ＝ MN2＝ ，
∴y＝ （0＜x＜1）；
第21页（共26页）当点K在线段AD上时，则 ＝ ，
解得：x ＝3（不合题意舍去），x ＝ ，
1 2
当点K在线段AD的延长线时，同理可求y＝ （x＞1），
∴ ＝ ，
解得：x ＝3，x ＝ （不合题意舍去），
1 2
综上所述：AK的值为3或 时，△OMN的面积为 ．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角
三角形的判定和性质，锐角三角函数，利用参数求线段的长度是本题的关键．
25．【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标代入可求解；
（2）利用中点坐标公式可求P（﹣1，2），点Q（2，2），由勾股定理可求BC的长，由待定系
数法可求PB解析式，设点M（c，﹣ c+ ），由两点距离公式可得（c﹣2）2+（﹣ c+ ﹣
2）2＝8，可求c＝4或﹣ ，即可求解；
（3）过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，先求出DE＝BE＝ ＝
，由锐角三角函数可求NE＝ ＝ ，分DK与射线EC交于点N（m，4﹣m）和DK
与射线EB交于N（m，4﹣m）两种情况讨论，求出直线DK解析式，联立方程组可求点K坐
标．
【解答】解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
∵二次函数图象过点C（0，4），
∴4＝a（0+2）（0﹣4），
第22页（共26页）∴a＝﹣ ，
∴二次函数的解析式为y＝﹣ （x+2）（x﹣4）＝﹣ x2+x+4；
（2）存在，
理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，
∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，
∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC＝ ＝4 ，
设直线BP解析式为：y＝kx+b，
由题意可得： ，
解得：
∴直线BP的解析式为：y＝﹣ x+ ，
∵∠BMC＝90°
∴点M在以BC为直径的圆上，
∴设点M（c，﹣ c+ ），
∵点Q是Rt△BCM的中点，
∴MQ＝ BC＝2 ，
∴MQ2＝8，
∴（c﹣2）2+（﹣ c+ ﹣2）2＝8，
第23页（共26页）∴c＝4或﹣ ，
当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，
∴c＝﹣ ，则点M坐标（﹣ ， ），
故线段PB上存在点M（﹣ ， ），使得∠BMC＝90°；
（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，
∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，
∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠EBD＝45°，
∴DE＝BE＝ ＝ ，
∵点B（4，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，
设点E（n，﹣n+4），
∴﹣n+4＝ ，
∴n＝ ，
∴点E（ ， ），
在Rt△DNE中，NE＝ ＝ ＝ ，
第24页（共26页）若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），
①∵NE＝BN﹣BE，
∴ ＝ （4﹣m）﹣ ，
∴m＝ ，
∴点N（ ， ），
∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，
联立方程组可得： ，
解得： 或 ，
∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；
若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），
②∵NE＝BE﹣BN，
∴ ＝ ﹣ （4﹣m），
∴m＝ ，
∴点N（ ， ），
∴直线DK解析式为：y＝ x﹣ ，
联立方程组可得： ，
解得： 或 ，
∴点K坐标为（ ， ）或（ ， ），
第25页（共26页）综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（ ， ）或（ ，
）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求
解析式，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，中点坐标公式，两点距离公式等知识，利
用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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