文档内容
二〇二〇年东营市初中学业水平考试数学试题
第I卷 (选择题 共30分)
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.-6的倒数是( )．
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为 ，则计算器面板显示的结果为( )
A. B. C. D.
4.如图，直线 相交于点 射线 平分 若 ，则 等于( )
A. B. C. D.
5.如图，随机闭合开关 ， ， 中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为( )
A. B. C. D.
6.如图，已知抛物线 的图象与 轴交于 两点，其对称轴与 轴交于点 其中两点的横坐标分别为 和 下列说法错误的是( )
A. B.
C. D. 当 时， 随 的增大而减小
7.用一个半径为 面积为 的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一
半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚
痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为( )
A. 里 B. 里 C. 里 D. 里
9.如图1，点 从 的顶点 出发，沿 匀速运动到点 图2是点 运动时线段 的长
度 随时间 变化的关系图象，其中点 为曲线部分的最低点，则 的边 的长度为( )
A. B. C. D.
10.如图，在正方形 中，点 是 上一动点(不与 重合) ，对角线 相交于点 过点的
分别作 垂线，分别交 于点 交 于点 ．下列结论：①
；② ；③ ；④ ；⑤点 在
两点的连线上．其中正确的是( )
A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①②③④⑤ D. ③④⑤
第II卷 (非选择题共90分)
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分只
要求填写最后结果．
11.2020年6月23日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于
秒，则 用科学记数法表示为___．
12.因式分解： ___．
13. 某校女子排球队队员的年龄分布如下表：
年龄 13 14 15
人数 4 7 4
则该校女子排球队队员的平均年龄是 岁．
14.已知一次函数y=kx+b的图象经过A(1，﹣1)，B(﹣1，3)两点，则k 0(填“＞”或“＜”)
15.如果关于 的一元二次方程 有实数根，那么 的取值范围是___．
的
16.如图， 为平行四边形 边 上一点， 分别为 上 点，且
的面积分别记为 ．若 则 ____．17.如图，在 中， 的半径为 点 是 边上的动点，过点 作
的一条切线 (其中点 为切点)，则线段 长度的最小值为____．
18.如图，在平面直角坐标系中，已知直线 和双曲线 ，在直线上取一点，记为 ，过 作
轴的垂线交双曲线于点 ，过 作 轴的垂线交直线于点 ，过 作 轴的垂线交双曲线于点 ，
过 作 轴的垂线交直线于点 ······，依次进行下去，记点 的横坐标为 ，若 则
______．
三、解答题 (本大题共7小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
19.(1)计算： ；
(2)先化简，再求值： ，其中 ．20.如图，在 中，以 为直径的 交 于点 弦 交 于点 且
．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求 的直径 的长度．
21.如图， 处是一钻井平台，位于东营港口 的北偏东 方向上，与港口 相距 海里，一艘摩托
艇从 出发，自西向东航行至 时，改变航向以每小时 海里的速度沿 方向行进，此时 位于 的
北偏西 方向，则从 到达 需要多少小时？
22.东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了
下面不完整的统计图表．
作业情况 频数 频率
非常好
较好
一般
不好请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样共调查了多少名学生？
(2)将统计表中所缺的数据填在表中横线上；
(3)若该中学有 名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？
的
(4)某学习小组 名学生 作业本中，有 本“非常好”(记为 )， 本“较好”(记为 )， 本“一
般”(记为 )，这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不
放回， 从余下的 本中再抽取一本 ，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是
“非常好”的概率．
23.2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号 的防疫口
罩共 万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：
型号
价格(元/只) 甲 乙
项目
成本
售价
(1)若该公司三月份的销售收入为 万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(2)如果公司四月份投入成本不超过 万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公
司所获利润最大？并求出最大利润．
24.如图，抛物线 的图象经过点 ，交 轴于点 (点 在点 左侧)，连接直线 与 轴交于点 与 上方的抛物线交于点 与 交于点 ．
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标；
(2) 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
25.如图1，在等腰三角形 中， 点 分别在边 上， 连
接 点 分别为 的中点．
(1)观察猜想
图1中，线段 的数量关系是____， 的大小为_____；
(2)探究证明
把 绕点 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 判断 的形状，并说
明理由；
(3)拓展延伸
的
把 绕点 在平面内自由旋转，若 ，请求出 面积 最大值．二〇二〇年东营市初中学业水平考试数学试题
第I卷 (选择题 共30分)
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.-6的倒数是( )．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
两数之积等于1的数被叫做倒数．
【详解】解：
故选C．
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据幂的乘方，完全平方，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【详解】A： ，故此选项错误
B： ，故此选项错误
C： ，故此选项正确
D： ，故此选项错误
答案故选C
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，整式的乘法和完全平方的运算，熟记运算法则是解题的关键．3.利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为 ，则计算器面板显示的结果为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根的求解方法进行计算即可得解．
【详解】４的算术平方根 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的求解方法，考生需要将其与平方根进行对比掌握．
4.如图，直线 相交于点 射线 平分 若 ，则 等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解．
【详解】解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又OM是∠BOD的角平分线，
∴∠DOM= ∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题
的关键．
5.如图，随机闭合开关 ， ， 中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为( )A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
画出树状图，找出所有等可能的结果，计算即可.
【详解】根据题意画出树状图如下：
共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴ ，故选C.
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，正确的画出树状图是解决此题的关键.
6.如图，已知抛物线 的图象与 轴交于 两点，其对称轴与 轴交于点 其中
两点的横坐标分别为 和 下列说法错误的是( )
A. B.C. D. 当 时， 随 的增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】
根据开口方向、对称轴、与 轴交点即可分别判断 符号，进而判断A选项；由 两点的横坐
标分别为 和 可得两个方程，判断B选项；由当 时 判断C选项；由二次函数
对称轴及增减性判断D选项.
【详解】∵开口向下，与 轴交点在正半轴
∴
∵ 两点的横坐标分别为 和
∴
∴
∴ ，故A选项正确，B选项错误
∵ 两点的横坐标分别为 和
∴B点横坐标为3
∴当 时 ，故C选项正确
∵当 时， 随 的增大而减小
∴当 时， 随 的增大而减小，故D选项正确
故选：B.
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，重点考查二次函数系数符号与图象的关系，熟记二次函数图象
性质是解题的关键.
7.用一个半径为 面积为 的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和
扇形面积公式得到 •2π•r•3=3π，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得 •2π•r•3=3π，
解得r=1．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一
半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚
痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为( )
A. 里 B. 里 C. 里 D. 里
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可设第一天所走的路程为 ，用含 的式子分别把这六天的路程表示出来，相加等于总路程
378，解此方程即可．
【详解】解：设第一天的路程为 里
∴
解得
∴第三天的路程为
故答案选B
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，通过每日路程之和等于总路程建立一元一次方程是解题的
关键．
的
9.如图1，点 从 顶点 出发，沿 匀速运动到点 图2是点 运动时线段 的长度 随时间 变化的关系图象，其中点 为曲线部分的最低点，则 的边 的长度为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象可知点P沿 匀速运动到点C，此时AC最长，CP在AB边上先变小后变大，从而可
求出AB上的高，从图象可以看出点P运动到点B时CP=CB=13，可知△ABC是等腰三角形，进而得出结
论．
【详解】由图象可知：点P在A上时，CP=AC=13，
点P在AB上运动时，在图象上有最低点，即AB边上的高，为12，
点P与点B重合时，CP即 BC最长，为13，
所以，△ABC是等腰三角形，
∴AB的长=2
×
故选：C
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度．
10.如图，在正方形 中，点 是 上一动点(不与 重合) ，对角线 相交于点 过点
分别作 的垂线，分别交 于点 交 于点 ．下列结论：①
；② ；③ ；④ ；⑤点 在
两点的连线上．其中正确的是( )A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①②③④⑤ D. ③④⑤
【答案】B
【解析】
【分析】
①根据题意及正方形 的性质，即可判断 ；
②根据 及正方形的性质，得ME=EP=AE＝ MP，同理可证PF=NF= NP，根据题意可
证四边形OEPF为矩形，则OE=PF，则OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO，AO= AC，故证明
；
③根据四边形PEOF为矩形的性质，在直角三角形OPF中，使用勾股定理，即可判断；
④△BNF是等腰直角三角形，而P点是动点，无法保证△POF是等腰直角三角形，故④可判断；
⑤连接MO、NO，证明OP=OM=ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可证明．
【详解】∵四边形ABCD正方形，AC、BD为对角线，
∴∠MAE=∠EAP=45°，
根据题意MP⊥AC，故∠AEP=∠AEM=90°， ∴∠AME=∠APE=45°，
在三角形 与 中，
∴ ASA，
故①正确；
∴AE=ME=EP= MP，
同理，可证△PBF≌△NBF，PF=FN= NP，∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PM⊥AC，PN⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，
∴四边形PEOF为矩形，
∴PF=OE，
∴OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO，
又∵ME=PE= MP，
FP=FN= NP，OA= AC，
∴ PM+PN=AC，
故②正确；
∵四边形PEOF为矩形，
∴PE=OF，
在直角三角形OPF中， ，
∴ ，
故③正确；
∵△BNF是等腰直角三角形，而P点是动点，无法保证△POF是等腰直角三角形，
故④错误；
连接MO、NO，
在△OEM和△OEP中，
∴△OEM≌△OEP，OM=OP，
同理可证△OFP≌△OFN，OP=ON，
又∵∠MPN=90°，
OM=OP=ON，OP=12MO+NO，
根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，OP= MN，
∴MO+NO=MN，点 在 两点的连线上．故⑤正确．
故选择B．
【点睛】本题主要考查几何综合问题，掌握正方形、矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股
定理是解答本题的关键．
第II卷 (非选择题共90分)
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分只
要求填写最后结果．
11.2020年6月23日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于
秒，则 用科学记数法表示为___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的
数字前面的0的个数所决定，进而求解．
【详解】因为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中1≤|a|＜10，正确确定a与n
的值是解题的关键．
12.因式分解： ___．
【答案】
【解析】
【分析】
先提公因式，再按照平方差公式分解即可．
【详解】解：
故答案为： ．【点睛】本题考查的是提公因式与公式法分解因式，掌握以上知识是解题的关键．
13. 某校女子排球队队员的年龄分布如下表：
年龄 13 14 15
人数 4 7 4
则该校女子排球队队员的平均年龄是 岁．
【答案】14．
【解析】
【详解】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，因此，
该校女子排球队队员的平均年龄是 (岁)．
故答案为：14．
的
14.已知一次函数y=kx+b 图象经过A(1，﹣1)，B(﹣1，3)两点，则k 0(填“＞”或“＜”)
【答案】＜.
【解析】
【分析】
根据A(1，-1)，B(-1，3)，利用横坐标和纵坐标的增减性判断出k的符号．
【详解】∵A点横坐标为1，B点横坐标为-1，
根据-1＜1，3＞-1，
可知，随着横坐标的增大，纵坐标减小了，
∴k＜0．
故答案为＜．
15.如果关于 的一元二次方程 有实数根，那么 的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【分析】
由一元二次方程根与系数的关键可得： 从而列不等式可得答案．【详解】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
16.如图， 为平行四边形 边 上一点， 分别为 上的点，且
的面积分别记为 ．若 则 ____．
【答案】
【解析】
【分析】
证明△PEF∽△PAD，再结合△PEF的面积为2可求出△PAD的面积，进而求出平行四边形ABCD的面积，
再用平行四边形ABCD的面积减去△PAD的面积即可求解．
【详解】解：∵
∴ ，且∠APD=∠EPF，
∴△PEF∽△PAD，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且△PEF的面积为2可知，，
∴ ，
过P点作平行四边形ABCD的底AD上的高PH，
∴ ，
∴ ，
即平行四边形ABCD的面积为 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形 的性质，相似三角形的判定及性质等，熟练掌握其性质是解决本题的关键．
17.如图，在 中， 的半径为 点 是 边上的动点，过点 作
的一条切线 (其中点 为切点)，则线段 长度的最小值为____．【答案】
【解析】
【分析】
如图：连接OP、OQ，根据 ,可得当OP⊥AB时，PQ最短；在 中运用含30°的
直角三角形的性质和勾股定理求得AB、AQ的长，然后再运用等面积法求得OP的长，最后运用勾股定理
解答即可．
【详解】解：如图：连接OP、OQ，
∵ 是 的一条切线
∴PQ⊥OQ
∴
∴当OP⊥AB时，PQ最短
在Rt△ABC中，
∴AB=2OB= ,AO=cos∠A·AB=
∵S =
△AOB
∴ ，即OP=3
在Rt△OPQ中，OP=3,OQ=1
∴PQ= ．
故答案为 ．【点睛】本题考查了切线的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，此正确作出辅助线、根
据勾股定理确定当PO⊥AB时、线段PQ最短是解答本题的关键．
18.如图，在平面直角坐标系中，已知直线 和双曲线 ，在直线上取一点，记为 ，过 作
轴的垂线交双曲线于点 ，过 作 轴的垂线交直线于点 ，过 作 轴的垂线交双曲线于点 ，
过 作 轴的垂线交直线于点 ······，依次进行下去，记点 的横坐标为 ，若 则
______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A 、B 、A 、B 、A 、B …，从而得到每3次变
1 1 2 2 3 3
化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商的情况确定出a 即可
2020
【详解】解：当a=2时，B 的横坐标与A 的横坐标相等为2，A(2，3)，B (2， ) ；
1 1 1 1 1A 的纵坐标和B 的纵坐标相同为 ，代入y=x+1，得x= ，可得A( ， )；
2 1 2
B 的横坐标和A 的横坐标相同为 ，代入 得，y= ，得B ( ， ) ；
2 2 2
A 的纵坐标和B 的纵坐标相同为 ，代入y=x+1，得x= ，故A( ， )
3 2 3
B 的横坐标和A 的横坐标相同为 ，代入 得，y=3，得B ( ，3)
3 3 3
A 的纵坐标和B 的纵坐标相同为3，代入y=x+1，得x=2，所以A(2，3)
4 3 4
…
由上可知，a，a，a，a，a，…，3个为一组依次循环，
1 2 3 4 5
∵2020÷3=673 ，
∴a =a=2， ⋯⋯1
2020 1
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐
标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题 (本大题共7小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
19.(1)计算： ；
(2)先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】(1) ；(2) ， ．
【解析】
【分析】
(1)根据算术平方根、特殊角三角函数值、负整数指数评价的人意义以及绝对值的意义进行计算即可；
(2)先将括号内的进行通分，再按同分母分式减法计算，将除法转化为乘法，把分子分母因式分解后进行
约分得到最简结果，再把x，y的值代入即可．【详解】
；
.
当 时，
原式 ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值以及二次根式的加减法，解答此题的关键是熟练掌
握运算法则．
20.如图，在 中，以 为直径的 交 于点 弦 交 于点 且
．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求 的直径 的长度．【答案】(1)见解析；(2) 的直径 的长度为
【解析】
【分析】
(1)先用勾股定理的逆定理证明△AEM 为直角三角形，且∠AEM=90°，再根据 MN∥BC 即可证明
∠ABC=90°进而求解；
(2)连接BM，由AB是直径得到∠AMB=90°，再分别在Rt△AMB和Rt△AEM中使用∠A的余弦即可求解．
【详解】解：(1) ，
，
为 的直径，
是 的切线．
(2)如图，连接
为 的直径，
又，
即 ，
，
∴ 的直径 的长度为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆中切线的证明，圆周角定理，直角三角形中锐角的三角函数的求法，熟练掌握切线
的性质和判定及锐角三角函数的定义是解决此类题的关键．
21.如图， 处是一钻井平台，位于东营港口 的北偏东 方向上，与港口 相距 海里，一艘摩托
艇从 出发，自西向东航行至 时，改变航向以每小时 海里的速度沿 方向行进，此时 位于 的
北偏西 方向，则从 到达 需要多少小时？
【答案】从 到达 需要 小时．
【解析】
【分析】
过点 作 于点 ，在 与 中，利用锐角三角函数的定义求出CD与BC的长，
进而求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，由题意得： ， ，
， ，
在 中， (海里)，
(海里)，
在 中， (海里)，
，
(小时)，
从 到达 需要 小时．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，平行线的性质，巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22.东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了
下面不完整的统计图表．
作业情况 频数 频率
非常好
较好
一般
不好请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样共调查了多少名学生？
(2)将统计表中所缺的数据填在表中横线上；
(3)若该中学有 名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？
(4)某学习小组 名学生的作业本中，有 本“非常好”(记为 )， 本“较好”(记为 )， 本“一
般”(记为 )，这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不
放回， 从余下的 本中再抽取一本 ，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是
“非常好”的概率．
【答案】(1) ；(2)见解析；(3)约 名；(4) ．
【解析】
【分析】
(1)用72°除360°得到“不好”的学生人数的占比，然后再用40除以该百分比即可得到总共调查的学生人数；
(2)先算出“非常好”的人数，然后再用总分数减去“非常好”、“较好”、“不好”的人数即得到“一
般”的人数，最后分别用求出其人数除总人数得到其频率；
(3)先算出“非常好”和“较好”的学生的频率，再乘以1800即可求解；
(4)采用列表法将所有可能的情况列出，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：(1)由图形可知：72°占360°的百分比为 ，
故调查的总的学生人数为 (名)，
故答案为：200(名) ．
(2)“非常好”的学生人数为：0.22×200=44(人)，总人数减去“非常好”、“较好”、“不好”的人数即得到“一般”的人数，
故一般的人数为200-44-68-40=48，其频率为48÷200=0.24，
同样可算出“较好”、“不好”的频率为0.34和0.2，补充如下表所示：
作业情况 频数 频率
非常好
较好
一般
不好
(3) “非常好”和“较好”的学生的频率为 ，
∴该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约 (名)，
为
故答案 ： ；
(4)由题意知，列表如下:
第一次
第二次
由列表可以看出，一共有 种结果，并且它们出现的可能性相等.
其中两次抽到的作业本都是“非常好”的有 种，
∴两次抽到的作业本都是非常好的概率为 ，
故答案为： ．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放
回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口
罩共 万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：
型号
价格(元/只) 甲 乙
项目
成本
售价
(1)若该公司三月份的销售收入为 万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(2)如果公司四月份投入成本不超过 万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公
司所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)甲、乙两种型号口罩的产量分别为 万只和 万只；(2)从而安排生产甲种型号的口罩 万
只，乙种型号的口罩 万只时，获得最大利润，最大利润为 万元.
【解析】
【分析】
(1)设甲种型号口罩的产量是 万只，则乙种型号口罩的产量是 万只，根据该公司三月份的销售
收入为 万元列出一元一次方程，从而可以得到甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；
(2)根据题意，可以得到利润和生产甲种产品数量的函数关系式，再根据公司四月份投入总成本(原料总成
本+生产提成总额)不超过216万元，可以得到生产甲种产品数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，
即可得到应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大，并求出最大利润．
【详解】 设甲种型号口罩的产量是 万只，则乙种型号口罩的产量是 万只，
根据题意得：解得：
则
则甲、乙两种型号口罩的产量分别为 万只和 万只；
设甲种型号口罩的产量是 万只，则乙种型号口罩的产量是 万只，
根据题意得：
解得: .
设所获利润为 万元，
则
由于 ，所以 随 的增大而增大，
即当 时， 最大，
此时 .
从而安排生产甲种型号的口罩 万只，乙种型号的口罩 万只时，获得最大利润，最大利润为 万元
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明
确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
24.如图，抛物线 的图象经过点 ，交 轴于点 (点 在点 左侧)，连接
直线 与 轴交于点 与 上方的抛物线交于点 与 交于点 ．
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标；(2) 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ；(2)存在，当 时，有最大值且最大值为 ，
此时点 的坐标为 ．
【解析】
【分析】
(1)直接将 代入 求出a，即可确定抛物线解析式；然后令y=0求得x的值，再结
合已知即可确定A、B的坐标；
(2)作 轴，交 于点 ，由平行线等分线段定理可得 ；再根据题意求出D点坐标和
CD的长，可得 ；然后再根据B、C的坐标求出直线BC的解析式；再设 ，
则 ，运用两点间距离公式求得EG，然后再代入 ，根据二次函数的性质即可说明
【详解】解： 把 代入 ，即 ，解得
∴抛物线的解析式为
令
可得:
∴ ；
存在，如图，由题意，点 在 轴的右侧，作 轴，交 于点
直线 与 轴交于点
∴ ，
设 所在直线的解析式为 ，
将 代入上述解析式得：
解得:
的解析式为设
则 ，其中 .
∴抛物线开口方向朝下
∴当 时，有最大值，最大值为 .
将t=2代入 =-2+3+2=3
∴点 的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数和二次函数解析式、平行线等分线段定理以及运用二次函数的性质求
最值，掌握平行线等分线段定理是解答本题的关键．
25.如图1，在等腰三角形 中， 点 分别在边 上， 连
接 点 分别为 的中点．
(1)观察猜想
图1中，线段 的数量关系是____， 的大小为_____；
(2)探究证明
把 绕点 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 判断 的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
把 绕点 在平面内自由旋转，若 ，请求出 面积的最大值．
【答案】(1)相等， ；(2) 是等边三角形，理由见解析；(3) 面积的最大值为 .
【解析】
【分析】
(1)根据＂ 点 分别为 的中点＂，可得MN
BD，NP CE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出 ．
(2)先求出 ，得出 ，根据MN BD，NP CE ，和三角形外角和定理，
可知MN=PN，再等量代换求出 ，即可求解．
(3)根据 ，可知BD最大值，继而求出 面积的最大值．
【详解】 由题意知：AB=AC，AD=AE，且点 分别为 的中点，
∴BD=CE，MN BD，NP CE，MN= BD，NP= EC
∴MN=NP
又∵MN BD，NP CE，∠A= ，AB=AC，
∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=
根据三角形外角和定理，
得∠ENP=∠NBP+∠NPB
∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，
∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，
∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C
=∠ABC+∠C = ．
是等边三角形．
理由如下：如图，由旋转可得
在 ABD和 ACE中
．
点 分别为 的中点，
是 的中位线，
且
同理可证 且
．
在 中
∵∠MNP= ，MN=PN
是等边三角形．
根据题意得:
即 ，从而
的面积 ．
∴ 面积的最大值为 ．【点睛】本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的
相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键．
