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2020年山东省日照市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符
合要求的的选项选出来．
1. 2020的相反数是（ ）
1 1
A.− B. C.−2020 D.2020
2020 2020
2. 单项式−3ab的系数是（ ）
A.3 B.−3 C.3a D.−3a
3. “扶贫”是新时期党和国家的重点工作之一，为落实习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，某省预计三年内
脱贫1020000人，数字1020000用科学记数法可表示为（ ）
A.1.02×106 B.1.02×105 C.10.2×105 D.102×104
4. 下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）
A.调查全国初中学生视力情况
B.了解某班同学“三级跳远”的成绩情况
C.调查某品牌汽车的抗撞击情况
D.调查2019年央视“主持人大赛”节目的收视率
5. 将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ）
A.y＝2x+3 B.y＝2x−3 C.y＝2(x+3) D.y＝2(x−3)
6. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D.
x3+x3 x6 x2 ⋅x3 x5 (x+3) 2 x2+9 √5−√3=√2
7. 已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1:2，则菱形的面积为（ ）
A.8√3 B.8 C.4√3 D.2√3
8. 不等式组{ x+1≥2 的解集在数轴上表示为（ ）
3(x−5)<−9
A. B. C. D.
9. 如图，几何体由5个相同的小正方体构成，该几何体三视图中为轴对称图形的是（ ）
A.主视图 B.左视图
C.俯视图 D.主视图和俯视图
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10. 如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6√3，AE＝9，则阴影部分的面积为
（ ）
9 9
A.6π− √3 B.12π−9√3 C.3π− √3 D.9√3
2 4
11. 用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（ ）
A.59 B.65 C.70 D.71
12. 如图，二次函数 ＝ 图象的对称轴为直线 ＝ ，下列结论：
y ax2+bx+c(a≠0) x −1
①abc<0；②3a<−c；③若m为任意实数，则有a−bm≤am2+b； ④若图象经过点(−3,−2)，方程ax2+bx+c+2
＝0的两根为x ，x (|x |<|x |)，则2x −x ＝5．其中正确的结论的个数是（ ）
1 2 1 2 1 2
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.不需写解答过程，只要求填写最后结果．
13.分解因式：mn+4n＝________．
14. 如图，有一个含有30∘角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65∘，则∠1的度数是________．
15.《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每
三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x
人，则可列方程组为________．
16.如图，在平面直角坐标系中， ▱ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上，顶点C，D位于x轴的负半轴上，双曲线
k
y= (k<0,x<0)与 ▱ABCD的边AB，AD交于点E、F，点A的纵坐标为10，F(−12,5)，把△BOC沿着BC所在
x
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直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG// y轴，则△BOC的面积是________．
三、解答题：本大题共6小题，共68分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
2
17. （1）计算：√3−8+( ) −1−√3×cos30∘；
3
x−3 3
（2）解方程： +1= ．
x−2 2−x
18.如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形
花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变
量x的取值范围．
19. 为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博
乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情
况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）已知70≤x<80这组的数据为：72，73，74，75，76，76，79．则这组数据的中位数是________；众数是
________；
（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x<90的总人数；
（3）该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是________；
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（4）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同
时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
20. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90∘，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线
于点F，连接BE．
（1）求证：△ABC≅△BDF；
（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．
21.阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90∘，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的
a b a b
定义：sinA= ，sinB= ，可得 = =c＝2R，
c c sinA sinB
a b c
即： = = =2R，（规定sin90∘＝1）．
sinA sinB sinC
探究活动：
a
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么： ________
sinA
c
（用>、＝或<连接），并说明理由．
sinC
事实上，以上结论适用于任意三角形．
初步应用：
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60∘，∠B＝45∘，a＝8，求b．
综合应用：
如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15∘，又沿古塔的方
向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45∘，求古塔CD的高度（结果
√6−√2
保留小数点后一位）．(√3≈1.732,sin15∘= )
4
22. 如图，函数y＝−x2+bx+c的图象经过点A(m,0)，B(0,n)两点，m，n分别是方程x2−2x−3＝0的两个实数
根，且m0，由对称轴得b＝2a<0，则abc>0，故①错误；当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝
3a+c<0，得②正确；由x＝−1时，y有最大值，得a−b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y＝
ax2+bx+c与直线y＝−2的一个交点为(−3,−2)，另一个交点为(1,−2)，即x ＝1，x ＝−3，进而得出④正确，即
1 2
可得出结论．
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b
【解答】由图象可知：a<0，c>0，− =−1，
2a
∴ b＝2a<0，
∴ abc>0，故①abc<0错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c<0，
∴ 3a<−c，故②3a<−c正确；
∵ x＝−1时，y有最大值，
∴ a−b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a−b≥am2+bm，即a−bm≥am2+b，故③错误；
∵ 二次函数 ＝ 图象经过点 ，方程 ＝ 的两根为 ， ，
y ax2+bx+c(a≠0) (−3,−2) ax2+bx+c+2 0 x x (|x |<|x |)
1 2 1 2
∴ 二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝−2的一个交点为(−3,−2)，
∵ 抛物线的对称轴为直线x＝−1，
∴ 二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝−2的另一个交点为(1,−2)，
即x ＝1，x ＝−3，
1 2
∴ 2x −x ＝2−(−3)＝5，故④正确．
1 2
所以正确的是②④；
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.不需写解答过程，只要求填写最后结果．
13.【答案】n(m+4)
【考点】因式分解-提公因式法
【解析】直接提取公因式n分解因式即可求解．
【解答】mn+4n＝n(m+4)．
14.【答案】25∘
【考点】平行线的性质
【解析】延长EF交BC于点G，根据平行线的性质可得∠2＝∠3＝65∘，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【解答】如图，延长EF交BC于点G，
∵ 直尺，
∴ AD//BC，
∴ ∠2＝∠3＝65∘，
又∵ 30∘角的直角三角板，
∴ ∠1＝90∘−65∘＝25∘．
15.【答案】{3(x−2)= y
2x+9= y
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
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【解析】根据“每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行”，即可得出关
于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】依题意，得：{3(x−2)= y．
2x+9= y
50
16.【答案】
3
【考点】反比例函数系数k的几何意义 坐标与图形变化-对称 反比例函数的性质
平行四边形的性质 反比例函数图象上点的坐标特征
60
【解析】将点F坐标代入解析式，可求双曲线解析式为y=− ，由平行四边形的性质可得OB＝10，BE＝6，由勾股
x
定理可求EG的长，由勾股定理可求CO的长，即可求解．
k
【解答】∵ 双曲线y= (k<0,x<0)经过点F(−12,5)，
x
∴ k＝−60，
60
∴ 双曲线解析式为y=− ．
x
∵ ▱ABCD的顶点A的纵坐标为10，
60
∴ BO＝10，点E的纵坐标为10，且在双曲线y=− 上，
x
∴ 点E的横坐标为−6，即BE＝6．
∵ △BOC和△BGC关于BC对称，
∴ BG＝BO＝10，GC＝OC．
∵ EG// y轴，在Rt△BEG中，BE＝6，BG＝10，
∴ ．
EG=√102−62=8
延长EG交x轴于点H，
∵ EG// y轴，
∴ ∠GHC是直角，
在Rt△GHC中，设GC＝m，则有CH＝OH−OC＝BE−GC＝6−m，GH＝EH−EG＝10−8＝2，
则有 ＝ ，
m2 22+(6−m) 2
10
∴ m= ，
3
10
∴ GC= =OC，
3
1 10 50
∴ S = × ×10= ，
△BOC 2 3 3
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三、解答题：本大题共6小题，共68分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
3 √3 3 3
17.【答案】 原式=−2+ −√3× =−2+ − =−2．
2 2 2 2
x−3 3
+1= ，
x−2 2−x
两边同乘以(x−2)得，x−3+(x−2)＝−3，
解得，x＝1．
经检验x＝1是原分式方程的解．
【考点】特殊角的三角函数值 实数的运算 负整数指数幂 解分式方程
【解析】（1）原式利用立方根的定义，负整数指数幂的意义以及特殊角的三角形函数进行计算即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
3 √3 3 3
【解答】原式=−2+ −√3× =−2+ − =−2．
2 2 2 2
x−3 3
+1= ，
x−2 2−x
两边同乘以(x−2)得，x−3+(x−2)＝−3，
解得，x＝1．
经检验x＝1是原分式方程的解．
18.【答案】证明：∵ 矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ ME＝BE，AM＝GH．
∵ 四块矩形花圃的面积相等，即S ＝2S ，
矩 形AMDND矩 形MEFN
∴ AM＝2ME，
∴ AE＝3BE；
∵ 篱笆总长为100m，
∴ 2AB+GH+3BC＝100，
1
即2AB+ AB+3BC=100，
2
6
∴ AB=40− BC．
5
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
6 6
则y=BC⋅AB=x(40− x)=− x2+40x，
5 5
6
∵ AB=40− BC，
5
40 2
∴ BE= − x>0，
3 5
100
解得x< ，
3
6 100
∴ y=− x2+40x(0
