2002年北京高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_北京

2002 年北京高考文科数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）满足条件M {1}{1，2，3}的集合M 的个数是( )  A．4 B．3 C．2 D．1  2．（5分）在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80,sin80)，B(cos20,sin20)，则|AB| 的值是( ) 1 2 3 A． B． C． D．1 2 2 2  3．（5分）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间( ，)上为减函数的是( ) 2 1 A．ycos2x B．y2|sinx| C．y( )cosx D．ycotx 3 4．（5分）在下列四个正方体中，能得出ABCD的是( ) A． B． C． D． a 5．（5分）64个直径都为 的球，记它们的体积之和为V ，表面积之和为S ；一个直径为 4 甲 甲 a的球，记其体积为V ，表面积为S ，则( ) 乙 乙 A．V V 且S S B．V V 且S S 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙 C．V V 且S S D．V V 且S S 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙 6．（5分）若直线l:ykx 3与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜 角的取值范围( )         A．[ , ) B．( , ) C．( , ) D．[ , ] 6 3 6 2 3 2 6 2 7．（5分）(1i)8等于( ) 第1页 | 共17页A．16i B．16i C．16 D．16 cot1 8．（5分）若 1，则cos2的值为( ) 2cot1 3 3 2 5 2 5 A． B． C． D． 5 5 5 5 9．（5分）5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为( ) A．480 B．240 C．120 D．96 x2 y2 x2 y2 10．（5分）已知椭圆  1和双曲线  1有公共的焦点，那么双曲线的渐 3m2 5n2 2m2 3n2 近线方程是( ) 15 15 3 3 A．x y B．y x C．x y D．y x 2 2 4 4 11．（5 分）已知 f(x)的定义在(0,3)上的函数， f(x)的图象如图所示，那么不等式 f(x)cosx0的解集是( )    A．(0，1) (2，3) B．(1, ) ( ,3)  2 2   C．(0,1) ( ,3) D．(0，1) (1，3)  2 12．（5分）如图所示， f (x)， f (x)， f (x)， f (x)是定义在[0，1]上的四个函数，其中 1 2 3 4 x x 1 满足性质：“对[0，1]中任意的x 和x ， f( 1 2)„ [f(x ) f(x )]恒成立”的只有( 1 2 2 2 1 2 ) A． f (x)， f (x) B． f (x) C． f (x)， f (x) D． f (x) 1 3 2 2 3 4 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 第2页 | 共17页2 6 7 13．（4分）sin ,cos ,tan 从小到大的顺序是 ． 5 5 5 14．（4分）等差数列{a }中，a 2，公差不为零，且a ，a ，a 恰好是某等比数列的前 n 1 1 3 11 三项，那么该等比数列公比的值等于 ． 15．（4分）关于直角AOB在定平面a 内的射影有如下判断：①可能是0的角；②可能是锐 角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180的角．其中正确判断的序号是 （注:把你认为是正确判断的序号都填上）． 16．（4分）圆x2  y2 2x2y10上的动点Q到直线3x4y80距离的最小值为 ． 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）解不等式 2x1x2． 18．（12分）如图，在多面体ABCDABCD 中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧 1 1 1 1 面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F 两点，上、下底面矩形 的长、宽分别为c，d与a，b，且ac，bd ，两底面间的距离为h． （Ⅰ）求侧面ABB A与底面ABCD所成二面角的大小； 1 1 （Ⅱ）证明：EF //面ABCD． 1 a 19．（12分）数列{x }由下列条件确定：x a0，x  (x  )，nN ． n 1 n1 2 n x n （Ⅰ）证明：对n…2，总有x… a； n （Ⅱ）证明：对n…2，总有x…x ； n n1 （Ⅲ）若数列{x }的极限存在，且大于零，求limx 的值． n n n 20．在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题： n 用计算机求n个不同的数v ,v , ,v 的和v v v  v ，计算开始前，n 1 2  n i 1 2  n i1 个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间 内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机 器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示： 第3页 | 共17页机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 被读机 结 果 被读机 结 果 被读机 结 果 号 号 号 1 V 2 V V 1 1 2 2 V 1 V V 2 2 1 （1）当n  4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表 机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 被读机 结 果 被读机 结 果 被读机 结 果 号 号 号 1 V 1 2 V 2 3 V 3 4 V 4 n （2）当n 128时，要使所有机器都得到v ，至少需要多少个单位时间可完成计 i i1 算？（结论不要求证明） 21．（13分）已知O(0,0)，B(1,0)，C(b,c)是OBC的三个顶点． （Ⅰ）写出OBC的重心G，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G，F ，H 三点共线； （Ⅱ）当直线FH 与OB平行时，求顶点C的轨迹． 22．（13分）已知 f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，bR都满足： f(ab)af （b）bf （a）． （1）求 f(0)及 f （1）的值； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； f(2n) （3）若 f （2）2，u  (nN*)，求证数列{u }是等差数列，并求{u }的通项公 n 2n n n 式． 第4页 | 共17页参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）满足条件M {1}{1，2，3}的集合M 的个数是( )  A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解： M {1}{1，2，3}   M {2，3}或{1，2，3} 故选：C．  2．（5分）在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80,sin80)，B(cos20,sin20)，则|AB| 的值是( ) 1 2 3 A． B． C． D．1 2 2 2 【解答】解： A(cos80,sin80)，B(cos20,sin20)，   |AB| (cos80cos20)2 (sin80sin20)2  22cos600 1． 故选：D．  3．（5分）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间( ，)上为减函数的是( ) 2 1 A．ycos2x B．y2|sinx| C．y( )cosx D．ycotx 3 【解答】解：由题意考察选项，C的周期不是，所以C不正确；  由于Aycos2x在区间( ，)上为增函数，选项A不正确； 2  y2|sinx|以为最小正周期，且在区间( ，)上为减函数，正确； 2  ycotx且在区间( ，)上为增函数，D错误； 2 故选：B． 4．（5分）在下列四个正方体中，能得出ABCD的是( ) A． B． 第5页 | 共17页C． D． 【解答】解：在A中，CDBE，CD AE，BE AEE，  CD平面ABE，又AB平面ABE，ABCD，故A正确； 在B中，AB与CD成60角，故B错误； 在C中，AB与CD成45角，故C错误； 在D中，AB与CD所成角的正切值为 2，故D错误． 故选：A． a 5．（5分）64个直径都为 的球，记它们的体积之和为V ，表面积之和为S ；一个直径为 4 甲 甲 a的球，记其体积为V ，表面积为S ，则( ) 乙 乙 A．V V 且S S B．V V 且S S 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙 C．V V 且S S D．V V 且S S 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙 a 4a 3  【解答】解：64个直径都为 4 的球，记它们的体积之和为V 甲 64 3  8    6 a3，表面积 a 之和为S 644( )2 4a2； 甲 8 4 a 3  a 一个直径为a的球，记其体积为V 乙  3  2    6 a3，表面积为S 乙 4( 2 )2 a2； 所以V V 且S S 甲 乙 甲 乙 故选：C． 6．（5分）若直线l:ykx 3与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜 角的取值范围( ) 第6页 | 共17页        A．[ , ) B．( , ) C．( , ) D．[ , ] 6 3 6 2 3 2 6 2 ykx 3① 【解答】解：联立两直线方程得： ， 2x3y60② 3 36 6k2 3 将①代入②得：x ③，把③代入①，求得y ， 23k 23k 3 36 6k2 3 所以两直线的交点坐标为( ， )， 23k 23k 3 36  0①  23k 因为两直线的交点在第一象限，所以得到 ， 6k2 3 0②   23k 2 3 2 3 由①解得：k  ；由②解得k  或k  ，所以不等式的解集为：k  ， 3 3 3 3 3   设直线l的倾斜角为，则tan ，所以( ， )． 3 6 2 方法二、 直线l恒过定点(0, 3)，作出两直线的图象．，  设直线2x3y60与x轴交于点A，与y轴交于点B．从图中看出， 3 斜率k k ，即 k ， AP 3   故直线l的倾斜角的取值范围应为( ， )． 6 2 故选：B． 7．（5分）(1i)8等于( ) A．16i B．16i C．16 D．16 8 【解答】解：(1i)8  2 (cos45isin45)8 16(cos360isin360) 16 故选：D． cot1 8．（5分）若 1，则cos2的值为( ) 2cot1 3 3 2 5 2 5 A． B． C． D． 5 5 5 5 cot1 1tan 1 【解答】解：由  1，得到tan ， 2cot1 2tan 2 第7页 | 共17页2 2 2 3 则cos22cos21 1 1 1 ． sec2 1tan2 1 5 1 4 故选：A． 9．（5分）5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为( ) A．480 B．240 C．120 D．96 【解答】解：由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素共有C2， 5 这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有A4， 4 分法种数为C2 A4 240． 5 4 故选：B． x2 y2 x2 y2 10．（5分）已知椭圆  1和双曲线  1有公共的焦点，那么双曲线的渐 3m2 5n2 2m2 3n2 近线方程是( ) 15 15 3 3 A．x y B．y x C．x y D．y x 2 2 4 4 【解答】解： 椭圆和双曲线有公共焦点  3m2 5n2 2m2 3n2，整理得m2 8n2， m  2 2 n 3n2 3 双曲线的渐近线方程为y  x 2m2 4 故选：D． 11．（5 分）已知 f(x)的定义在(0,3)上的函数， f(x)的图象如图所示，那么不等式 f(x)cosx0的解集是( )    A．(0，1) (2，3) B．(1, ) ( ,3)  2 2 第8页 | 共17页  C．(0,1) ( ,3) D．(0，1) (1，3)  2 【解答】解：由函数图象可知：当 f(x)0时，0x1；当 f(x)0时，1x3；   而cosx中的x(0,3)，当cosx0时，x(0, )；当cosx0时，x( ，3)， 2 2 1x3 0x1 f(x)0 f(x)0   则 f(x)cosx0，可化为： 或 即 或 ， cosx0 cosx0  x3  0x 2  2  解得： x3或0x1， 2   所以所求不等式的解集为：(0，1) ( ，3)， 2 故选：C． 12．（5分）如图所示， f (x)， f (x)， f (x)， f (x)是定义在[0，1]上的四个函数，其中 1 2 3 4 x x 1 满足性质：“对[0，1]中任意的x 和x ， f( 1 2)„ [f(x ) f(x )]恒成立”的只有( 1 2 2 2 1 2 ) A． f (x)， f (x) B． f (x) C． f (x)， f (x) D． f (x) 1 3 2 2 3 4 【解答】解：由题意可知：函数 f(x)满足性质：“对 [0，1]中任意的 x 和 x ， 1 2 x x 1 f( 1 2)„ [f(x ) f(x )]恒成立”． 2 2 1 2 函数图象在[0，1]上为下凹函数， 有所给图象可知：B：为上凸函数、C为线性函数、D为先凹后凸的函数； 故全部不符合题意．从而只有A适合下凹的性质． 故选：A． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 2 6 7 6 2 7 13．（4分）sin ,cos ,tan 从小到大的顺序是 cos sin tan  ． 5 5 5 5 5 5 6 2 7 2 【解答】解： cos 0，sin 0，tan 0，0cos 1，  5 5 5 5 第9页 | 共17页2 sin 7 2 2 5 2 tan tan( )tan  sin ， 5 5 5 2 5 cos 5 6 2 7 综上，cos sin tan ， 5 5 5 6 2 7 故答案为：cos sin tan ． 5 5 5 14．（4分）等差数列{a }中，a 2，公差不为零，且a ，a ，a 恰好是某等比数列的前 n 1 1 3 11 三项，那么该等比数列公比的值等于 4 ． 【解答】解：设a ，a ，a 成等比，公比为q，则a a q2q，a a q2 2q2． 1 3 11 3 1 11 1 又{a }是等差数列，a a 5(a a )，q4． n 11 1 3 1 故答案为4 15．（4分）关于直角AOB在定平面a 内的射影有如下判断：①可能是0的角；②可能是锐 角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180的角．其中正确判断的序号是 ①②③④ ⑤ （注:把你认为是正确判断的序号都填上）． 【解答】解：直角AOB在定平面a 内的射影有下列几种情况： 当角所在的平面与平面垂直时， 直角的射影可能是0的角，可能是180的角，故①⑤正确， 当角所在的平面与平面平行时，直角的射影可能是直角，故③正确， 当角所在的平面与平面不平行也不垂直时，平面转到一定角度， 直角的射影可能是锐角或钝角，故②④正确 故答案为：①②③④⑤ 16．（4 分）圆 x2  y2 2x2y10上的动点Q到直线3x4y80距离的最小值为 2 ． 【解答】解：把圆的方程化为标准式方程得：(x1)2 (y1)2 1， 所以圆心A(1,1)，圆的半径r1， |348| 则圆心A到直线3x4y80的距离d  3， 32 42 所以动点Q到直线距离的最小值为312 故答案为：2 第10页 | 共17页三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）解不等式 2x1x2． 2x1…0 【解答】解：原不等式的解集是下面不等式组（1）及（2）的解集的并集： （1） x20 2x1…0  或x2…0 （2）  2x1(x2)2 1 解不等式组（1）得解集{x| „ x2}解不等式组（2）得解集{x|2„ x5} 2 1 所以原不等式的解集为{x| „ x5} 2 18．（12分）如图，在多面体ABCDABCD 中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧 1 1 1 1 面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F 两点，上、下底面矩形 的长、宽分别为c，d与a，b，且ac，bd ，两底面间的距离为h． （Ⅰ）求侧面ABB A与底面ABCD所成二面角的大小； 1 1 （Ⅱ）证明：EF //面ABCD． 【解答】解：（Ⅰ）过BC 作底面ABCD的垂直平面， 1 1 交底面于PQ，过B 作BGPQ，垂足为G． 1 1 平面ABCD//平面ABCD ，ABC 90  1 1 1 1 1 1 1 ABPQ，ABBP． 1 BPG为所求二面角的平面角． 1 过C 作CH PQ，垂足为H ． 1 1 由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等， 第11页 | 共17页故四边形BPQC 为等腰梯形． 1 1 1 PG (bd)， 2 又BGh， 1 2h tanBPG (bd)， 1 bd 2h BPGarctan ， 1 bd 2h 即所求二面角的大小为arctan ． bd （Ⅱ）证明： AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB//CD，  又CD是面ABCD与面CDEF 的交线， AB//面CDEF ． EF是面ABFE与面CDEF 的交线，  AB//EF ． AB是平面ABCD内的一条直线，EF 在平面ABCD外，  EF //面ABCD． 1 a 19．（12分）数列{x }由下列条件确定：x a0，x  (x  )，nN ． n 1 n1 2 n x n （Ⅰ）证明：对n…2，总有x… a； n （Ⅱ）证明：对n…2，总有x…x ； n n1 （Ⅲ）若数列{x }的极限存在，且大于零，求limx 的值． n n n 1 a 【解答】证明：（Ⅰ）由x a0，及x  (x  )， 1 n1 2 n x n 可归纳证明x 0． n 1 a a 从而有x  (x  )… x  a(nN)， n1 2 n x n x n n 第12页 | 共17页所以，当n…2时，x… a成立． n （Ⅱ）证法一：当n…2时， 1 a 因为x… a 0，x  (x  ) n n1 2 n x n 1 a 1 ax2 所以x x  (x  )x  n „ 0， n1 n 2 n x n 2  x n n 故当n…2时，x…x 成立． n n1 1 a 证法二：当n…2时，因为x… a 0，x  (x  )， n n1 2 n x n 1 a (x  ) x 2 n x x2 a x2 x2 所以 n1  n  n „ n n 1， x x 2x2 2x2 n n n n 故当n…2时，x…x 成立． n n1 （Ⅲ）解：记limx  A，则limx  A，且A0． n n1 n n 1 a 1 a 由x  (x  )，得A (A )． n1 2 n x 2 A n 由A0，解得A a ，故limx  a ． n n 20．（12分）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题： n 用计算机求n个不同的数v ，v ，，v 的和v v v v v ．计算开始前，n个 1 2 n i 1 2 3 n i1 数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时 间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据， 各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个 数的和，需要设计一种读和加的方法．比如n2时，一个单位时间即可完成计算，方法 可用下表表示： 机器 初始 第一单位时间 第二单位时间 第三 号 时 单 位 时 间 被读机号 结 果 被读机号 结 被 结 第13页 | 共17页果读果 机 号 1 2 v v v 1 1 2 2 1 v v v 2 2 1 （Ⅰ）当n4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表 机器 初始 第一单位时间 第二单位时间 第三 号 时 单 位 时 间 被读机号 结 果 被读机号 结 被 结 果读果 机 号 1 v 1 2 v 2 3 v 3 4 v 4 n （Ⅱ）当n128时，要使所有机器都得到v ，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结 i i1 论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）当n4时，只用2个单位时间即可完成计算．方法之一如下： 机 初始 第一单位时间 第二单位时间 第三 器 时 单 号 位 时 第14页 | 共17页间 被读机号 结 果 被读机号 结 果 被结 读果 机 号 1 2 3 v v v v v v v 1 1 2 1 2 3 4 2 1 4 v v v v v v v 2 2 1 2 1 4 3 3 4 1 v v v v v v v 3 3 4 3 4 1 2 4 3 2 v v v v v v v 4 4 3 4 3 2 1 （Ⅱ）当n12827时，至少需要7个单位时间才能完成计算． 21．（13分）已知O(0,0)，B(1,0)，C(b,c)是OBC的三个顶点． （Ⅰ）写出OBC的重心G，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G，F ，H 三点共线； （Ⅱ）当直线FH 与OB平行时，求顶点C的轨迹． 【解答】解：（Ⅰ）由OBC三顶点坐标O(0,0)，B(1,0)，C(b，c)(c0)， b1 c 可求得重心G( , )， 3 3 1 b2 c2 b 外心F( , )， 2 2c bb2 垂心H(b, )． c 1 1 当b 时，G，F ，H 三点的横坐标均为 ，故三点共线； 2 2 1 当b 时，设G，H 所在直线的斜率为k ，F ，G所在直线的斜率为k ． 2 GH FG 第15页 | 共17页c bb2  3 c c2 3b2 3b 因为k   ， GH b1 c(12b) b 3 c b2 c2 b  3 2c c2 3b2 3b k   ， FG b1 1 c(12b)  3 2 所以k k ，G，F ，H ，三点共线． GH FG 综上可得，G，F ，H 三点共线． c2 3b2 3b （Ⅱ）解：若FH //OB，由k  0， FH c(12b) 1 得3(b2 b)c2 0(c0,b ) 2 1 (b )2 配方得3(b 1 )2 c2  3 ，即 2  c2 1． 2 4 ( 1 )2 ( 3 )2 2 2 1 (x )2 2 y2 1 即  1(x ,y0)． ( 1 )2 ( 3 )2 2 2 2 1 3 1 所以，顶点C的轨迹是中心在( ,0)，长半轴长为 ，短半轴长为 ，且短轴在x轴上的 2 2 2 椭圆， 1 3 1 3 但除去(0,0)，(1,0)，( , )，( , )四点． 2 2 2 2 22．（13分）已知 f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，bR都满足： f(ab)af （b）bf （a）． （1）求 f(0)及 f （1）的值； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； f(2n) （3）若 f （2）2，u  (nN*)，求证数列{u }是等差数列，并求{u }的通项公 n 2n n n 式． 【解答】解：（1）令ab0，代入得 f(0)0 f(0)0 f(0)0．   令ab1，代入得 f （1）1 f （1）1 f （1），则 f （1）0．   第16页 | 共17页（2） f （1） f[(1)2]f(1) f(1)0，f(1)0．  令a1，bx，则 f(x) f(1 x)f(x)xf(1)f(x)，  因此 f(x)是奇函数． f(2n1) f(2 2n) 2f(2n)2n f(2) f(2n) f(2) （3）因为u       u 1，即u u 1， n1 2n1 2n1 2n1 2n 2 n n1 n f(2) 所以{u }是等差数列．又首项u  1，公差为1， n 1 2 n(n1) 所以a n，S  ． n n 2 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/27 22:58:02；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156 第17页 | 共17页