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2005 年辽宁高考数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．复数 在复平面内，z所对应的点在 （
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．极限 存在是函数 在点 处连续的 （
）
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为
（
）
A． B． C． D．
4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个
命
题：①若 ； ②若 ；
③若 ；
第1页 | 共11页④若m、n是异面直线，
其中真命题是 （
）
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
5．函数 的反函数是 （
）
A． B． C． D．
6．若 ，则 的取值范围是 （
）
A． B． C． D．
7．在R上定义运算 若不等式 对任意实数 成立，
则 （
）
A． B． C． D．
8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范
围是 （
）
A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞ D．（3，+∞）
9．若直线 按向量 平移后与圆 相切，则c的值为（
）
A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8
10．已知 是定义在R上的单调函数，实数 ，
，若 ，则 （
）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的中心在原点，离心率为 .若它的一条准线与抛物线 的准线重合，
则该双曲线与抛物线 的交点到原点的距离是 （
）
A．2 + B． C． D．21
12．一给定函数 的图象在下列图中，并且对任意 ，由关系式
得到的数列 满足 ，则该函数的图象是 （
）
第2页 | 共11页A B C D
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13． 的展开式中常数项是 .
14．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，
A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .
15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相
邻，
5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）
16． 是正实数，设 是奇函数}，若对每个实数 ， 的元素不超过2
个，且有 使 含2个元素，则 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，
△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.
（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的
球面上，求△ABC的边长.
18．（本小题满分12分）
如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、
邻边互相垂直的十字形，其中
（Ⅰ）将十字形的面积表示为 的函数；
（Ⅱ） 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
19．（本小题满分12分）
已知函数 设数列 }满足 ，数列 }满足
（Ⅰ）用数学归纳法证明 ；
（Ⅱ）证明
第3页 | 共11页20．（本小题满分12分）
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序
的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的
加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 概 工序
率
果为A级的概率如表一所示，分别求生产
产品 第一工序 第二工序 甲0.80.85乙
出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲 、P 乙 ； 0.750.8
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、
η分别表示一件甲、乙产品的利润，在
（I）的条件下，求ξ、η的分布列及 利 等级
润
Eξ、Eη；
产品 一等 二等 甲5（万元）2.5（万
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 元） 乙2.5（万元）1.5（万元）
如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.
金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产
品的数量，在（II）的条件下，x、y为何 用 项目 工人 资金（万元）
（名）
值时， 最大？最大值是多少？ 量
产品
（解答时须给出图示） 甲 8 8
乙 2 10
21．（本小题满分14分）
已知椭圆 的左、右焦点分别是F （－c，0）、F （c，0），Q是
1 2
椭圆外的动点，满足 点P是线段FQ与该椭圆的交点，点T在线段FQ上，并
1 2
且满足
（Ⅰ）设 为点P的横坐标，证明 ；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，
使△FMF 的面积S= 若存在，求∠FMF
1 2 1 2
的正切值；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分12分）
函数 在区间（0，+∞）内可导，导函数 是减函数，且 设
是曲线 在点（ ）得的切线方程，并设函数
第4页 | 共11页（Ⅰ）用 、 、 表示m；
（Ⅱ）证明：当 ；
（Ⅲ）若关于 的不等式 上恒成立，其中a、b为实数，
求b的取值范围及a与b所满足的关系.
参考答案与评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，
如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分
细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
13．－160 14． 15．576 16．
三、解答题
17．本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，
考
查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分.
（Ⅰ）证明： 连结CF.
……4分
（Ⅱ）解法一：
为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则
……………………8分
解法二：设P在平面ABC内的射影为O. ≌ ≌
第5页 | 共11页得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 为所求二面角的平面角.
设AB=a，则 …………8分
（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R.
， 的边长为 .………12
分
解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.
连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R.
.……12分
18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解
和
三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分12分.
（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则
………………4分
（ Ⅱ ） 解 法 一 ：
其中 ………8分 当 最大.
……10分
所以，当 最大. S的最大值为 …………12分
解法二： 因为 所以
……………………8分
令S′=0，即
可解得 ………………10分
所以，当 时，S最大，S的最大值为 …………12分
19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关
问题的能力，满分12分。
（Ⅰ）证明：当 因为a=1，
1
所以 ………………2分
下面用数学归纳法证明不等式
（1）当n=1时，b= ，不等式成立，
1
第6页 | 共11页（2）假设当n=k时，不等式成立，即
那么 ………………6分
所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
所以
…………10分
故对任意 ………………（12分）
20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的
建
立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12
分.
（Ⅰ）解： …………2分
（Ⅱ）解：随机变量 、 的分别列是
2.51.5P0.60.4
52.5P0.680.32
…………
6分
（Ⅲ）解：由题设知 目标函数为
……8分
作出可行域（如图）：
作直线
将l向右上方平移至l位置时，直线经过可行域上
1
的点M点与原点距离最大，此时 …………10分
取最大值. 解方程组
第7页 | 共11页得 即 时，z取最大值，z的最大值为25.2 .……………12分
21．本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和
应
用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为
由P 在椭圆上，得
由 ，所以 ………………………3分
证法二：设点P的坐标为 记
则
由
证法三：设点P的坐标为 椭圆的左准线方程为
由椭圆第二定义得 ，即
由 ，所以 …………………………3分
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为
当 时，点（ ，0）和点（－ ，0）在轨迹上.
当| 时，由 ，得 .
又 ，所以T为线段FQ的中点.
2
在△QFF 中， ，所以有
1 2
综上所述，点T的轨迹C的方程是 …………………………7分
解法二：设点T的坐标为 当 时，点（ ，0）和点（－ ，0）在轨迹上.
当| 时，由 ，得 .
又 ，所以T为线段FQ的中点.
2
第8页 | 共11页设点Q的坐标为（ ），则
因此 ①
由 得 ②
将①代入②，可得
综上所述，点T的轨迹C的方程是 ……………………7分
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（ ）使S= 的充要条件是
③
④
由③得 ，由④得 所以，当 时，存在点M，使S= ；
当 时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当 时， ，
由 ，
，
，得
解法二：C上存在点M（ ）使S= 的充要条件是
③
④
由④得 上式代入③得
于是，当 时，存在点M，使S= ；
当 时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当 时，记 ，
由 知 ，所以 …………14
分
22．本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思
第9页 | 共11页想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本
关系解决问题的能力.满分12分
（Ⅰ）解： …………………………………………2分
（Ⅱ）证明：令
因为 递减，所以 递增，因此，当 ；
当 .所以 是 唯一的极值点，且是极小值点，可知
的
最小值为0，因此 即 …………………………6分
（Ⅲ）解法一： ， 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意 成立的充要条件是
另一方面，由于 满足前述题设中关于函数 的条件，利用（II）的
结果可知， 的充要条件是：过点（0， ）与曲线 相切的直线的斜率
大于 ，该切线的方程为
于是 的充要条件是 …………………………10分
综上，不等式 对任意 成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②
有解、解不等式②得 ③
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
（Ⅲ）解法二： 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意 成立的充要条件是
………………………………………………………………8分
令 ，于是 对任意 成立的充要条件是
由
第10页 | 共11页当 时 当 时， ，所以，当 时， 取最小
值.因此 成立的充要条件是 ，即 ………………10分
综上，不等式 对任意 成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②
有解、解不等式②得
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
第11页 | 共11页
