2007年天津高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_天津

2007 年天津高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120
分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位
置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式
P(AB) P(A)P(B) S 4πR2
如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A B) P(A) P(B)
 
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合S   xR x1≥2  ，T 2，1，0，1，2，则S T （ ）

A．2 B．1，2 C．0，1，2 D．1，0，1，2
x y≥1，

（2）设变量x，y满足约束条件x y≤4，则目标函数z 2x4y的最大值为（ ）

y≥2

Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14
（3） “a 2”是“直线ax2y 0平行于直线x y 1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1 0.2 1
（4）设alog 3，b   ，c23，则（ ）
1 3
2
A．abc B．cba C．cab D．bac
（5）函数y log (x4)(x0)的反函数是（ ）
2
A．y 2x 4(x2) B．y 2x 4(x0)
C．y 2x 4(x2) D．y 2x 4(x0)
第1页 | 共11页（6）设a，b为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若a，b与所成的角相等，则a∥b
B．若a∥，b∥，∥，则a∥b
C．若a，b，a∥b，则∥
D．若a，b，，则ab
x2 y2
（7）设双曲线  1(a 0，b0)的离心率为 3，且它的一条准线与抛物线
a2 b2
y2 4x的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
x2 y2 x2 y2
Ａ．  1 Ｂ．  1
12 24 48 96
x2 2y2 x2 y2
Ｃ．  1 Ｄ．  1
3 3 3 6
（8）设等差数列a 的公差d 不为 0，a 9d．若a 是a 与a 的等比中项，则k 
n 1 k 1 2k
（ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
 
（9）设函数 f(x) sin  x  (xR)，则 f(x)（ ）
 3
2 7  
A．在区间 ， 上是增函数 B．在区间 ， 上是减函数
   
 3 6   2
   5
C．在区间 ， 上是增函数 D．在区间 ， 上是减函数
   
8 4 3 6 
（10）设 f(x)是定义在 R上的奇函数，且当 x≥0时， f(x) x2，若对任意的
xt，t2，不等式 f(xt)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． 2，∞  B．2，∞ C．0，2 D． 2，1  2，0
   
第Ⅱ卷
第2页 | 共11页注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
（11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
分组
90，100 100，110 110，120 120，130 130，140 140，150
频数 1 2 3 10 1
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％．
9
 1 
（12） x  的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．
 x2 
（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，
2，3，则此球的表面积为 ．
（14）已知两圆x2  y2 10和(x1)2 (y3)2 20相交于A，B两点，则直线AB的方
程是 ．
 
（15）在△ABC中，AB2，AC 3，D是边BC的中点，则AD BC  ．

（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂
一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不
同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
4
在△ABC中，已知AC 2，BC 3，cosA ．
5
（Ⅰ）求sinB的值；
 
（Ⅱ）求sin  2B 的值．
 6
（18）（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球，乙盒内有大小相同的 5 个红球和 4 个黑
球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AB AD，AC CD，
ABC 60°，PA AB BC，E是PC的中点． P
（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（Ⅱ）证明AE 平面PCD； E
（Ⅲ）求二面角APDC的大小．
A D
C
B
第3页 | 共11页（20）（本小题满分12分）
在数列a 中，a 2，a 4a 3n1，nN*．
n 1 n1 n
（Ⅰ）证明数列a n是等比数列；
n
（Ⅱ）求数列a 的前n项和S ；
n n
（Ⅲ）证明不等式S ≤4S ，对任意nN*皆成立．
n1 n
（21）（本小题满分14分）
设函数 f(x)x(xa)2（xR），其中aR．
（Ⅰ）当a 1时，求曲线y  f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
（Ⅱ）当a 0时，求函数 f(x)的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a3时，证明存在k1，0，使得不等式 f(kcosx)≥ f(k2 cos2 x)对任意
的xR恒成立．
（22）（本小题满分14分）
x2 y2
设椭圆  1(ab0)的左、右焦点分别为 F，F，A是椭圆上的一点，
a2 b2 1 2
1
AF  FF ，原点O到直线AF 的距离为 OF ．
2 1 2 1 3 1
（Ⅰ）证明a  2b；
（Ⅱ）求t(0，b)使得下述命题成立：设圆x2  y2 t2上任意点M(x，y )处的切线交
0 0
椭圆于Q ，Q 两点，则OQ OQ ．
1 2 1 2
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C
（6）D （7）D （8）B （9）A （10）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
（11）70 （12）84 （13）14
5
（14）x3y 0 （15） （16）630
2
三、解答题
（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，
考查基本运算能力．满分12分．
第4页 | 共11页2
 4 3
（Ⅰ）解：在△ABC中，sinA 1cos2 A  1     ，由正弦定理，
 5 5
BC AC
 ．
sinA sinB
AC 2 3 2
所以sinB sinA   ．
BC 3 5 5
4
（Ⅱ）解：因为cosA ，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是
5
2
2 21
cosB 1sin2 B  1    ，
5 5
21 17
cos2B2cos2 B12 1 ，
5 25
2 21 4 21
sin2B2sinBcosB2   ．
5 5 15
   
sin 2B sin2Bcos cos2Bsin
 
 6 6 6
4 21 3 17 1
   
25 2 25 2
12 717
 ．
50
（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决
实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为
红球”为事件B．由于事件A，B相互独立，且
C2 1 C2 5
P(A) 3  ，P(B) 3  ，
C2 7 C2 18
7 9
故取出的4个球均为红球的概率是
1 5 5
P(A B) P(A) P(B)   ．
 
7 18 126
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个
红球为黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1
个是红球，1个是黑球”为事件D．由于事件C，D互斥，且
C1C1 C2 2 C2 C1C1 10
P(C) 3 4 4  ，P(D) 4 5 2  ．
 
C2 C2 21 C2 C2 63
7 9 7 5
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为
第5页 | 共11页2 10 16
P(CD) P(C)P(D)   ．
21 63 63
（19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想
象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在四棱锥 PABCD中，因 PA底面 ABCD， AB平面 ABCD，故
PA AB．
又 AB AD， PA AD A，从而 AB平面 PAD．故 PB在平面 PAD内的射影为

PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．
P
在Rt△PAB中，AB PA，故∠APB45． M
E
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45．
A D
（Ⅱ）证明：在四棱锥PABCD中，
C
因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CD PA． B
由条件CD PC，PA AC  A，CD面PAC ．

又AE 面PAC ，AE CD．
由PA AB BC，∠ABC 60，可得AC  PA．

E是PC的中点，AE  PC，

PC CDC ．综上得AE 平面PCD．

（Ⅲ）解：过点 E作 EM  PD，垂足为 M ，连结 AM ．由（Ⅱ）知， AE 平面
PCD，AM 在平面PCD内的射影是EM ，则AM  PD．
因此∠AME 是二面角APDC的平面角．
由已知，可得∠CAD30．设AC a，可得
2 3 21 2
PAa，AD a，PD a，AE  a．
3 3 2
在Rt△ADP中， AM  PD，AM PD PA AD，则
  
2 3
a a
PA  AD  3 2 7
AM   a．
PD 21 7
a
3
AE 14
在Rt△AEM 中，sin AME   ．
AM 4
14
所以二面角APDC的大小arcsin ．
4
（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式
及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：由题设a 4a 3n1，得
n1 n
第6页 | 共11页a (n1)4(a n)，nN*．
n1 n
又a 11，所以数列a n是首项为1，且公比为4的等比数列．
1 n
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a n4n1，于是数列a 的通项公式为
n n
a 4n1n．
n
4n 1 n(n1)
所以数列a 的前n项和S   ．
n n 3 2
（Ⅲ）证明：对任意的nN*，
4n11 (n1)(n2) 4n 1 n(n1)
S 4S   4  
n1 n 3 2  3 2 
1
 (3n2 n4)≤0．
2
所以不等式S ≤4S ，对任意nN*皆成立．
n1 n
（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式
等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：当a 1时， f(x)x(x1)2 x3 2x2 x，得 f(2)2，且
f(x)3x2 4x1， f(2)5．
所以，曲线y x(x1)2在点(2，2)处的切线方程是y25(x2)，整理得
5x y80．
（Ⅱ）解： f(x)x(xa)2 x3 2ax2 a2x
f(x)3x2 4axa2 (3xa)(xa)．
a
令 f(x)0，解得x 或xa．
3
由于a 0，以下分两种情况讨论．
（1）若a 0，当x变化时， f(x)的正负如下表：
 a a a 
x  ∞，   ，a  a (a，∞)
 3 3 3 
第7页 | 共11页f(x)  0  0 
a a
因此，函数 f(x)在x 处取得极小值 f  ，且
3 3
a 4
f
 
 a3；
3 27
函数 f(x)在xa处取得极大值 f(a)，且
f(a)0．
（2）若a0，当x变化时， f(x)的正负如下表：
 a a a 
x ∞，a a  a，   ，∞ 
 3 3 3 
f(x)  0  0 
因此，函数 f(x)在xa处取得极小值 f(a)，且
f(a)0；
a a
函数 f(x)在x 处取得极大值 f  ，且
3 3
a 4
f
 
 a3．
3 27
a
（Ⅲ）证明：由a3，得 1，当k1，0时，
3
kcosx≤1，k2 cos2 x≤1．
由（Ⅱ）知， f(x)在∞，1上是减函数，要使 f(kcosx)≥ f(k2 cos2 x)，xR
只要kcosx≤k2 cos2 x(xR)
即
cos2 xcosx≤k2 k(xR) ①
第8页 | 共11页2
 1 1
设g(x)cos2 xcosx

cosx

 ，则函数g(x)在R上的最大值为2．
 2 4
要使①式恒成立，必须k2 k≥2，即k≥2或k≤1．
所以，在区间1，0上存在k 1，使得 f(kcosx)≥ f(k2 cos2 x)对任意的xR恒
成立．
（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等
基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14
分．
（Ⅰ）证法一：由题设AF  FF 及F(c，0)，F (c，0)，不妨设点A(c，y)，其中
2 1 2 1 2
c2 y2
y 0，由于点A在椭圆上，有  1，
a2 b2
a2 b2 y2
 1，
a2 b2
b2  b2 
解得y  ，从而得到Ac， ，
a  a 
b2
直线AF 的方程为y  (xc)，整理得
2 2ac
b2x2acyb2c0．
1
由题设，原点O到直线AF 的距离为 OF ，即
1 3 1
c b2c
 ，
3 b4 4a2c2
将c2 a2 b2代入原式并化简得a2 2b2，即a  2b．
 b2 
证法二：同证法一，得到点A的坐标为c， ，
 a 
y
过点O作OB AF ，垂足为H ，易知△FBC∽△FF A，故
1 1 1 2
A
BO F A H
 2
OF FA F O F x
1 1 1 2
1
由椭圆定义得 AF  AF 2a，又 BO  OF ，所以
1 2 3 1
第9页 | 共11页1 F A F A
 2  2 ，
3 FA 2a F A
1 2
a b2 b2 a
解得 F A  ，而 F A  ，得  ，即a  2b．
2 2 2 a a 2
（Ⅱ）解法一：圆x2  y2 t2上的任意点M(x，y )处的切线方程为x x y y t2．
0 0 0 0
当t(0，b)时，圆x2  y2 t2上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆
于两个不同的点Q 和Q ，因此点Q (x，y )，Q (x，y )的坐标是方程组
1 2 1 1 1 2 2 2
x x y y t2 ①
 0 0 的解．当y 0时，由①式得
x2 2y2 2b2 ② 0
t2 x x
y  0
y
0
2
t2 x x
代入②式，得x2 2 0  2b2，即
y
 
0
(2x2  y2)x2 4t2x x2t4 2b2y2 0，
0 0 0 0
4t2x 2t4 2b2y2
于是x x  0 ，x x  0
1 2 2x2  y2 1 2 2x2  y2
0 0 0 0
t2 x x t2 x x
y y  0 1 1 2
1 2 y  y
0 1
1
 t4 x t2(x x )x2x x 
y2  0 1 2 0 1 2
0
1  4t2x 2t4 2b2y2 
 t4 x t2 0 x2 0 
y2 0 2x2  y2 0 2x2  y2
 
0 0 0 0 0
t4 2b2x2
 0 ．
2x2  y2
0 0
若OQ OQ ，则
1 2
2t4 2b2y2 t4 2b2x2 3t4 2b2(x2  y2)
x x  y y  0  0  0 0 0．
1 2 1 2 2x2  y2 2x2  y2 2x2  y2
0 0 0 0 0 0
所以，3t4 2b2(x2  y2)0．由x2  y2 t2，得3t4 2b2t2 0．在区间(0，b)内此方
0 0 0 0
第10页 | 共11页6
程的解为t  b．
3
6
当y 0时，必有x 0，同理求得在区间(0，b)内的解为t  b．
0 0 3
6
另一方面，当t  b时，可推出x x  y y 0，从而OQ OQ ．
3 1 2 1 2 1 2
6
综上所述，t  b(0，b)使得所述命题成立．
3
第11页 | 共11页