2007年天津高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_天津

2007 年天津高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120 分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位 置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式 P(AB) P(A)P(B) S 4πR2 如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A B) P(A) P(B)   一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合S   xR x1≥2  ，T 2，1，0，1，2，则S T （ ）  A．2 B．1，2 C．0，1，2 D．1，0，1，2 x y≥1，  （2）设变量x，y满足约束条件x y≤4，则目标函数z 2x4y的最大值为（ ）  y≥2  Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14 （3） “a 2”是“直线ax2y 0平行于直线x y 1”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1 0.2 1 （4）设alog 3，b   ，c23，则（ ） 1 3 2 A．abc B．cba C．cab D．bac （5）函数y log (x4)(x0)的反函数是（ ） 2 A．y 2x 4(x2) B．y 2x 4(x0) C．y 2x 4(x2) D．y 2x 4(x0) 第1页 | 共11页（6）设a，b为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A．若a，b与所成的角相等，则a∥b B．若a∥，b∥，∥，则a∥b C．若a，b，a∥b，则∥ D．若a，b，，则ab x2 y2 （7）设双曲线  1(a 0，b0)的离心率为 3，且它的一条准线与抛物线 a2 b2 y2 4x的准线重合，则此双曲线的方程为（ ） x2 y2 x2 y2 Ａ．  1 Ｂ．  1 12 24 48 96 x2 2y2 x2 y2 Ｃ．  1 Ｄ．  1 3 3 3 6 （8）设等差数列a 的公差d 不为 0，a 9d．若a 是a 与a 的等比中项，则k  n 1 k 1 2k （ ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8   （9）设函数 f(x) sin  x  (xR)，则 f(x)（ ）  3 2 7   A．在区间 ， 上是增函数 B．在区间 ， 上是减函数      3 6   2    5 C．在区间 ， 上是增函数 D．在区间 ， 上是减函数     8 4 3 6  （10）设 f(x)是定义在 R上的奇函数，且当 x≥0时， f(x) x2，若对任意的 xt，t2，不等式 f(xt)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A． 2，∞  B．2，∞ C．0，2 D． 2，1  2，0     第Ⅱ卷 第2页 | 共11页注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． （11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下： 分组 90，100 100，110 110，120 120，130 130，140 140，150 频数 1 2 3 10 1 则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％． 9  1  （12） x  的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．  x2  （13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1， 2，3，则此球的表面积为 ． （14）已知两圆x2  y2 10和(x1)2 (y3)2 20相交于A，B两点，则直线AB的方 程是 ．   （15）在△ABC中，AB2，AC 3，D是边BC的中点，则AD BC  ．  （16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂 一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不 同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 4 在△ABC中，已知AC 2，BC 3，cosA ． 5 （Ⅰ）求sinB的值；   （Ⅱ）求sin  2B 的值．  6 （18）（本小题满分12分） 已知甲盒内有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球，乙盒内有大小相同的 5 个红球和 4 个黑 球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （19）（本小题满分12分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AB AD，AC CD， ABC 60°，PA AB BC，E是PC的中点． P （Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小； （Ⅱ）证明AE 平面PCD； E （Ⅲ）求二面角APDC的大小． A D C B 第3页 | 共11页（20）（本小题满分12分） 在数列a 中，a 2，a 4a 3n1，nN*． n 1 n1 n （Ⅰ）证明数列a n是等比数列； n （Ⅱ）求数列a 的前n项和S ； n n （Ⅲ）证明不等式S ≤4S ，对任意nN*皆成立． n1 n （21）（本小题满分14分） 设函数 f(x)x(xa)2（xR），其中aR． （Ⅰ）当a 1时，求曲线y  f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （Ⅱ）当a 0时，求函数 f(x)的极大值和极小值； （Ⅲ）当a3时，证明存在k1，0，使得不等式 f(kcosx)≥ f(k2 cos2 x)对任意 的xR恒成立． （22）（本小题满分14分） x2 y2 设椭圆  1(ab0)的左、右焦点分别为 F，F，A是椭圆上的一点， a2 b2 1 2 1 AF  FF ，原点O到直线AF 的距离为 OF ． 2 1 2 1 3 1 （Ⅰ）证明a  2b； （Ⅱ）求t(0，b)使得下述命题成立：设圆x2  y2 t2上任意点M(x，y )处的切线交 0 0 椭圆于Q ，Q 两点，则OQ OQ ． 1 2 1 2 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B （9）A （10）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． （11）70 （12）84 （13）14 5 （14）x3y 0 （15） （16）630 2 三、解答题 （17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识， 考查基本运算能力．满分12分． 第4页 | 共11页2  4 3 （Ⅰ）解：在△ABC中，sinA 1cos2 A  1     ，由正弦定理，  5 5 BC AC  ． sinA sinB AC 2 3 2 所以sinB sinA   ． BC 3 5 5 4 （Ⅱ）解：因为cosA ，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是 5 2 2 21 cosB 1sin2 B  1    ， 5 5 21 17 cos2B2cos2 B12 1 ， 5 25 2 21 4 21 sin2B2sinBcosB2   ． 5 5 15     sin 2B sin2Bcos cos2Bsin    6 6 6 4 21 3 17 1     25 2 25 2 12 717  ． 50 （18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决 实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为 红球”为事件B．由于事件A，B相互独立，且 C2 1 C2 5 P(A) 3  ，P(B) 3  ， C2 7 C2 18 7 9 故取出的4个球均为红球的概率是 1 5 5 P(A B) P(A) P(B)   ．   7 18 126 （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个 红球为黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1 个是红球，1个是黑球”为事件D．由于事件C，D互斥，且 C1C1 C2 2 C2 C1C1 10 P(C) 3 4 4  ，P(D) 4 5 2  ．   C2 C2 21 C2 C2 63 7 9 7 5 故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为 第5页 | 共11页2 10 16 P(CD) P(C)P(D)   ． 21 63 63 （19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想 象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）解：在四棱锥 PABCD中，因 PA底面 ABCD， AB平面 ABCD，故 PA AB． 又 AB AD， PA AD A，从而 AB平面 PAD．故 PB在平面 PAD内的射影为  PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角． P 在Rt△PAB中，AB PA，故∠APB45． M E 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45． A D （Ⅱ）证明：在四棱锥PABCD中， C 因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CD PA． B 由条件CD PC，PA AC  A，CD面PAC ．  又AE 面PAC ，AE CD． 由PA AB BC，∠ABC 60，可得AC  PA．  E是PC的中点，AE  PC，  PC CDC ．综上得AE 平面PCD．  （Ⅲ）解：过点 E作 EM  PD，垂足为 M ，连结 AM ．由（Ⅱ）知， AE 平面 PCD，AM 在平面PCD内的射影是EM ，则AM  PD． 因此∠AME 是二面角APDC的平面角． 由已知，可得∠CAD30．设AC a，可得 2 3 21 2 PAa，AD a，PD a，AE  a． 3 3 2 在Rt△ADP中， AM  PD，AM PD PA AD，则    2 3 a a PA  AD  3 2 7 AM   a． PD 21 7 a 3 AE 14 在Rt△AEM 中，sin AME   ． AM 4 14 所以二面角APDC的大小arcsin ． 4 （20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式 及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设a 4a 3n1，得 n1 n 第6页 | 共11页a (n1)4(a n)，nN*． n1 n 又a 11，所以数列a n是首项为1，且公比为4的等比数列． 1 n （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a n4n1，于是数列a 的通项公式为 n n a 4n1n． n 4n 1 n(n1) 所以数列a 的前n项和S   ． n n 3 2 （Ⅲ）证明：对任意的nN*， 4n11 (n1)(n2) 4n 1 n(n1) S 4S   4   n1 n 3 2  3 2  1  (3n2 n4)≤0． 2 所以不等式S ≤4S ，对任意nN*皆成立． n1 n （21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式 等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分． （Ⅰ）解：当a 1时， f(x)x(x1)2 x3 2x2 x，得 f(2)2，且 f(x)3x2 4x1， f(2)5． 所以，曲线y x(x1)2在点(2，2)处的切线方程是y25(x2)，整理得 5x y80． （Ⅱ）解： f(x)x(xa)2 x3 2ax2 a2x f(x)3x2 4axa2 (3xa)(xa)． a 令 f(x)0，解得x 或xa． 3 由于a 0，以下分两种情况讨论． （1）若a 0，当x变化时， f(x)的正负如下表：  a a a  x  ∞，   ，a  a (a，∞)  3 3 3  第7页 | 共11页f(x)  0  0  a a 因此，函数 f(x)在x 处取得极小值 f  ，且 3 3 a 4 f    a3； 3 27 函数 f(x)在xa处取得极大值 f(a)，且 f(a)0． （2）若a0，当x变化时， f(x)的正负如下表：  a a a  x ∞，a a  a，   ，∞   3 3 3  f(x)  0  0  因此，函数 f(x)在xa处取得极小值 f(a)，且 f(a)0； a a 函数 f(x)在x 处取得极大值 f  ，且 3 3 a 4 f    a3． 3 27 a （Ⅲ）证明：由a3，得 1，当k1，0时， 3 kcosx≤1，k2 cos2 x≤1． 由（Ⅱ）知， f(x)在∞，1上是减函数，要使 f(kcosx)≥ f(k2 cos2 x)，xR 只要kcosx≤k2 cos2 x(xR) 即 cos2 xcosx≤k2 k(xR) ① 第8页 | 共11页2  1 1 设g(x)cos2 xcosx  cosx   ，则函数g(x)在R上的最大值为2．  2 4 要使①式恒成立，必须k2 k≥2，即k≥2或k≤1． 所以，在区间1，0上存在k 1，使得 f(kcosx)≥ f(k2 cos2 x)对任意的xR恒 成立． （22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等 基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14 分． （Ⅰ）证法一：由题设AF  FF 及F(c，0)，F (c，0)，不妨设点A(c，y)，其中 2 1 2 1 2 c2 y2 y 0，由于点A在椭圆上，有  1， a2 b2 a2 b2 y2  1， a2 b2 b2  b2  解得y  ，从而得到Ac， ， a  a  b2 直线AF 的方程为y  (xc)，整理得 2 2ac b2x2acyb2c0． 1 由题设，原点O到直线AF 的距离为 OF ，即 1 3 1 c b2c  ， 3 b4 4a2c2 将c2 a2 b2代入原式并化简得a2 2b2，即a  2b．  b2  证法二：同证法一，得到点A的坐标为c， ，  a  y 过点O作OB AF ，垂足为H ，易知△FBC∽△FF A，故 1 1 1 2 A BO F A H  2 OF FA F O F x 1 1 1 2 1 由椭圆定义得 AF  AF 2a，又 BO  OF ，所以 1 2 3 1 第9页 | 共11页1 F A F A  2  2 ， 3 FA 2a F A 1 2 a b2 b2 a 解得 F A  ，而 F A  ，得  ，即a  2b． 2 2 2 a a 2 （Ⅱ）解法一：圆x2  y2 t2上的任意点M(x，y )处的切线方程为x x y y t2． 0 0 0 0 当t(0，b)时，圆x2  y2 t2上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆 于两个不同的点Q 和Q ，因此点Q (x，y )，Q (x，y )的坐标是方程组 1 2 1 1 1 2 2 2 x x y y t2 ①  0 0 的解．当y 0时，由①式得 x2 2y2 2b2 ② 0 t2 x x y  0 y 0 2 t2 x x 代入②式，得x2 2 0  2b2，即 y   0 (2x2  y2)x2 4t2x x2t4 2b2y2 0， 0 0 0 0 4t2x 2t4 2b2y2 于是x x  0 ，x x  0 1 2 2x2  y2 1 2 2x2  y2 0 0 0 0 t2 x x t2 x x y y  0 1 1 2 1 2 y  y 0 1 1  t4 x t2(x x )x2x x  y2  0 1 2 0 1 2 0 1  4t2x 2t4 2b2y2   t4 x t2 0 x2 0  y2 0 2x2  y2 0 2x2  y2   0 0 0 0 0 t4 2b2x2  0 ． 2x2  y2 0 0 若OQ OQ ，则 1 2 2t4 2b2y2 t4 2b2x2 3t4 2b2(x2  y2) x x  y y  0  0  0 0 0． 1 2 1 2 2x2  y2 2x2  y2 2x2  y2 0 0 0 0 0 0 所以，3t4 2b2(x2  y2)0．由x2  y2 t2，得3t4 2b2t2 0．在区间(0，b)内此方 0 0 0 0 第10页 | 共11页6 程的解为t  b． 3 6 当y 0时，必有x 0，同理求得在区间(0，b)内的解为t  b． 0 0 3 6 另一方面，当t  b时，可推出x x  y y 0，从而OQ OQ ． 3 1 2 1 2 1 2 6 综上所述，t  b(0，b)使得所述命题成立． 3 第11页 | 共11页