文档内容
辽宁省朝阳市 2020 年中考数学试题
（考试时间120分钟，满分120分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的相关信息填写在试题卷和答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上无效．
3．非选择题作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试
题卷上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第I卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. 7 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义求解即可．
【详解】 的绝对值是 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．
2. 如图所示的主视图对应的几何体是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据主视图是在正面内得到的由前向后观察物体的视图，逐一判断即可．
【详解】A：的主视图为 ，故此选项错误；
B：的主视图为 ，故此选项正确；
C：的主视图为 ，故此选项错误；
D：的主视图为 ，故此选项错误；
答案故选B
【点睛】本题主要考查了三视图，理解主视图的特点和熟记看的见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分
遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、合并同类项逐项计算即可．
【详解】A. ，故不正确；
B. ，故不正确；C. ，正确；
D. ，故不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指
数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项
的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．
4. 计算 的结果是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质化简第一项，根据二次根式的乘法化简第二项，然后合并即可．
【详解】解：原式=
=
= ．
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
5. 某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于 ，则这种
品牌衬衫最多可以打几折？（ ）
A. 8 B. 6 C. 7 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据售价-进价=利润，利润=进价 利润率可得不等式，解之即可．
【详解】设可以打x折出售此商品，由题意得：240 ，
解得x 6，
故选：B
【点睛】此题考查了销售问题，注意销售问题中量之间的数量关系是列不等式的关键．
6. 某书店与一山区小学建立帮扶关系，连续6个月向该小学赠送书籍的数量分别如下（单位：本）：300，
200，200，300，300，500这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A. 300，150，300 B. 300，200，200
C. 600，300，200 D. 300，300，300
【答案】D
【解析】
【分析】
分别根据众数，中位数的概念和平均数的求法 计算即可．
【详解】众数：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数，这组数据中 300出现了3次，次数最
多，所以众数是300；
中位数：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就
是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，6个数据按
顺序排列之后，处于中间的数据是300，300，所以中位数是 ；
平均数是 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查众数，中位数和平均数，掌握众数，中位数的概念和平均数的求法是解题的关键．
7. 如图，四边形 是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则
的值为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
过点D作 交AO于点E，由平行的性质可知 ，等量代换可得
的值.
【详解】解：如图，过点D作 交AO于点E，
四边形 是矩形
故选：A.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.
8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段
AB为边作正方形 ，且点C在反比例函数 的图象上，则k的值为（ ）
A. B. C. 42 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可；
【详解】解：∵当x=0时， ，∴A(0，4)， ∴OA=4；
∵当y=0时， ，∴x=-3，∴B(-3，0)， ∴OB=3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBE =∠BAO．
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO=4，CE=OB=3，
∴OE=3+4=7，
∴C点坐标为（-7，3），
∵点A在反比例函数 的图象上，
∴k=-7×3=-21．
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角
形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
9. 某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一
个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．
已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共
有x名学生，依据题意列方程得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批
发价即可列出方程．
【详解】设班级共有x名学生，依据题意列方程得，故选：B．
【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
10. 如图，在正方形 中，对角线 相交于点O，点E在BC边上，且 ，连接AE交
BD于点G，过点B作 于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作 交DC于占
N， ，现给出下列结论：① ；② ；③ ；④
；其中正确的结论有（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】
①直接根据平行线分线段成比例即可判断正误；
②过点O作 交AE于点H，过点O作 交BC于点Q，过点B作 交OM的延
长线于点K，首先根据四边形MONC的面积求出正方形的边长，利用勾股定理求出AE,AF,EF的长度，再
利用平行线分线段成比例分别求出OM,BK的长度，然后利用 即可判断；
③利用平行线分线段成比例得出 ，然后利用勾股定理求出OM的长度，进而OF的长度可求；④直接利用平行线的性质证明 ，即可得出结论．
【详解】如图，过点O作 交AE于点H，过点O作 交BC于点Q，过点B作
交OM的延长线于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
∴ ，，
．
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，故①正确；
，，
．
，
，
，故④正确；
，
，
，故③正确；
，
即 ，
∴ ，
，故②错误；
∴正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】本题主要考查四边形综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例
和锐角三角函数是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．只需要将结果直接填写在答题卡对
应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分）
11. 在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示
为____________元．
【答案】
【解析】
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】580亿＝58000000000=5.8×1010．
故答案为：5.8×1010．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值
是解题的关键．
12. 临近中考，报考体育专项的同学利用课余时间紧张地训练，甲、乙两名同学最近20次立定跳远成绩的
平均值都是 ，方差分别是： ，这两名同学成绩比较稳定的是
_______________（填“甲”或“乙”）．
【答案】乙
【解析】
【分析】
根据方差表示数据波动的大小，比较方差的大小即可求解．
【详解】∵ ，
∴
∴乙的波动比较小，乙比较稳定
故答案为：乙
【点睛】本题主要考查了方差，熟记方差越大，数据的波动越大是解题的关键．
13. 已知关于x、y的方程 的解满足 ，则a的值为__________________．
【答案】5
【解析】
【分析】
①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可．【详解】解： ，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵ ，
∴2-a=-3，
∴a=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有
时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
14. 抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是___________________．
【答案】 且
【解析】
【分析】
直接利用根的判别式进行计算，再结合 ，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线 与x轴有交点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴k的取值范围是 且 ；故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．
15. 如图，点 是 上的点，连接 ，且 ，过点O作 交 于
点D，连接 ，已知 半径为2，则图中阴影面积为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由圆周角定理可得∠AOB的度数，由 可得S =S ，进而可得S =S ，然后根据扇形
△ABD △ABO 阴影 扇形AOB
面积公式计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴∠AOB=30°，
∵ ，
∴S =S ，
△ABD △ABO
∴S =S = ．
阴影 扇形AOB
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
的
16. 如图，动点P从坐标原点 出发，以每秒一个单位长度 速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运
动到点 ，第2秒运动到点 ，第3秒运动到点 ，第4秒运动到点 …则第2068秒点P所
在位置的坐标是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】
分析点P的运动路线及所处位置的坐标规律，进而求解．
【详解】解：由题意分析可得，
动点P第8=2×4秒运动到（2，0）
动点P第24=4×6秒运动到（4，0）
动点P第48=6×8秒运动到（6，0）
以此类推，动点P第2n(2n+2)秒运动到（2n，0）
∴动点P第2024=44×46秒运动到（44，0）
2068-2024=44
∴按照运动路线，点P到达（44，0）后，向右一个单位，然后向上43个单位
∴第2068秒点P所在位置的坐标是（45，43）
故答案为：（45，43）
【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行
解题是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的步骤、文字说明或证明过程）17. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 的值代入式子进行计算即可．
【详解】原式
当 时，原式
【点睛】本题主要考查的是分式的化简求值，最简二次根式，在解答此类型题目时，要注意因式分解、通
分和约分的灵活运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18. 如图所示的平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ，请按如下
要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将 顺时针旋转90°，得到 ，请画出 ；（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出 的位似图形 ，使它与 的位似
比为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O对称的点A、B 、C 的位置，然后顺次连接即可；
1 1 1
（2）利用位似的性质，找出点A、B 、C 的位置，然后画出图形即可．
2 2 2
【详解】解：（1） 位置正确；用直尺画图；
（2） 位置正确；用直尺画图．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握所学的性质正确的做出图形．
19. 由于疫情的影响，学生不能返校上课，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方式：A
网上自测，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽
取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如
下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了____________名学生；
（2）在扇形统计图中，m的值是___________，D对应的扇形圆心角的度数是________________；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢方式D的学生人数．
【答案】（1）50；（2）10， ；（3）图形见解析；（4）400人
【解析】
【分析】
（1）用A的人数除以A的百分比即可；
（2）用B的人数除以样本容量即可；
（3）求出B的人数补全统计图即可；
（4）用2000乘以D的百分比即可．
【详解】（1）20÷40％=50人；
故答案为：50；
（2）(50-20-15-10) ÷50×100％=10％，即m=10；
= ；
故答案为：10， ；
（3） （人）；（4） （人）．
答：该校最喜欢方式D的学生约有400人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．也考查了用样本估计总体．
20. 某校准备组建“校园安全宣传队”，每班有两个队员名额，七年2班有甲、乙、丙、丁四位同学报名，
这四位同学综合素质都很好，王老师决定采取抽签的方式确定人选具体做法是：将甲、乙、丙、丁四名同
学分别编号为1、2、3、4号，将号码分别写在4个大小、质地、形状、颜色均无差别的小球上，然后把小
球放入不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，王老师从袋中随机摸出两个小球，根据小球上的编号确定本班
“校园安全宣传员”人选．
（1）用画树状图或列表法，写出“王老师从袋中随机摸出两个小球”可能出现的所有结果．
（2）求甲同学被选中的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）方法1：用列表法表示出所有可能的结果；方法2：用树状图表示出所有可能的结果；
（2）从表格中或树状图中找到甲同学被选中的情况数，利用所求情况数与总数之比求概率即可．
【详解】（1）方法1：列表法
1 2 3 4
12
3
4
所有可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性相同．
方法2：树状图法
所有可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性相同
（2）甲被选中的结果共有6种，
所以， ．
【点睛】本题主要考查用列表法和树状图求随机事件的概率，掌握列表法和树状图是解题的关键．
21. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如
图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向
处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一
组乘客车，速度是 ，第二组乘公交车，速度是 ，两组同学到达目的地分别用了多长时间？
哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）【答案】第一组用时1.5小时，第二组用时 小时，第二组先到达目的地，理由见解析
【解析】
【分析】
法1：过点B作BD AC于D，在 中证得 ，设 ，则 ，在 中，
，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在 中，利用三角函数表示出CD
的长，由AD＋CD＝AC列出方程问题得解；法2与法1辅助组相同，不同点是法2是在 BCD中，利
用三角定义 列方程求解．
【详解】方法1：
解：作 于D．依题意得，， ，
，
．
在 中， ， ，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
， ，
，
（或者由勾股定理得）在 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
第一组用时： ；第二组用时：
，
∴第二组先到达目的地，
的
答：第一组用时1.5小时，第二组用时 小时，第二组先到达目 地．
方法2：
解： 于点D，
依题意得： ， ， ．
，
，
在 中， ，
，，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
，
，
在 中，
，
，
，
，
，
第一组用时： ；第二组用时：
，
第二组先到达目的地．
答：第一组用时1.5小时，第二组用时 小时，第二组先到达目的地．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
22. 如图，以AB为直径的 经过 的顶点C，过点O作 交 于点D，交AC于点F，
连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使 ．（1）求证：EC是 的切线
（2）若 的半径是3， ，求CE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OC,由AB是直径及 可得 ，进而得到 ，
再根据圆周角定理推导出 ，进而得到 ，再根据OC是半径即可得证；
（2）由（1）得 ，进而得到 ，再通过证明 得到
，再由 即可求出CE的值.
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是直径，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵OC 是半径，
∴ 是 切线．
（2）由（1）得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 中 ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定等知识，熟知切线的判定方法以及相似三
角形的性质是解题的关键.
23. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价
x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元） 40 60 80
日销售量y（件） 80 60 40
（1）直接写出y与x的关系式_________________；
（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价
不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日
销售最大利润是1500元，求a的值．
【答案】（1） ；（2）当销售单价是75元时，最大日利润是2025元；（3）70【解析】
【分析】
（1）根据题中所给的表格中的数据，可以直接写出其关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
（3）根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果.
【详解】（1）设解析式为 ，
将 和 代入，可得 ，解得 ，
所以y与x的关系式为 ，
所以答案为 ；
（2）
，
∴抛物线开口向下，函数有最大值
∴当 时，
答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
（3）当 时，
解得
，∴有两种情况
① 时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当 时，
② 时，在 范围内 ，
∴这种情况不成立， ．
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数应用题，在
解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于简单题目.
24. 如图，在 中， ，M是AC边上的一点，连接BM，作 于点
P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，以 为邻边作 ，连接GE交BC于点N，连接AN，求 的值；
（3）如图3，若M是AC的中点，以 为邻边作 ，连接GE交BC于点M，连接AN，经
探究发现 ，请直接写出 的值．【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）通过证 全等可以证得AM=CE；
（2）过点E作EF CE交BC于F，通过证明 全等，证得AG=AE，通过
证得GN=EN，最后由直角三角形的性质证得结论；
（3）延长GM交BC于点F，连接AF，在 中，由勾股定理求出AN的长，在 中，求
出EG的长即可得到答案．
【详解】（1）证明（2）过点E作CE的垂线交BC于点F
∴四边形 是平行四边形
由（1）得
．
．
（3）如图，延长GM交BC于F，连接AF在 中，AB GM， ，
，
，
，
，
，
，
,
，设CN=x，则BC=8x，AF=FC=4x，FN=3x,
,
在 ， ， ，
，
，
由（1）知 ，
，在 中，EG= ，
.
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、勾股
定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．
25. 如图，抛物线 与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线
，点C坐标为 ．
（1）求抛物线表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使 ，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理
由；
（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP
的最大距离；
（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点
重合，连接 ，得到 ，直接写出 周长的最小值．
【答案】（1） ；（2）存在， 或 ，理由见解析；（3） ；（4）【解析】
【分析】
（1）利用抛物线的对称轴为 ，求出 的值，再把 的值和C的坐标代入 计算即
可；
（2）作 轴于点E，利用相似三角形的判定方法可证得 ，设
，则 ，再分别讨论 的位置列式求解即可；
（3）作 轴于点F，交BP于点R，作 于点N，用待定系数法求出直线BP的解析式，利
用解析式表示出MR的长度，再通过求证 联合 建立比值关系列式计算即可；
（4）作 点关于 的对称点 ，作 关于 的对称点 ，连接 与 于 ，与 交于点
，连接 交 于 ，连接 交 于 ，此时 的周长最小，这个最小值= ，再证
明 ， 最小时， 周长最小，利用图2证明当点 与点 重合时 最小，在图3中
利用相似三角形的性质求出 的最小值即可解决问题．
【详解】解：（1）∵抛物线对称轴为
将 代入 中，（2）作 轴于点E
（此处也可以由等角的正切值相等得到）
设 ，则
①当点P在X轴上方时：
解得 （不符题意，舍）
②当点P在x轴下方时：
解得 （不符题意，舍）或
（3）作 轴于点F，交BP于点R，作 于点N
∵
∴ ，
设
将 代入得
解得
设 ，则
，在 中
当 时，MN最大 为．
（4） 周长最小值是
解：作 点关于 的对称点 ，作 关于 的对称点 ，连接 与 于 ，与 交于点 ，
连接 交 于 ，连接 交 于 ，此时 的周长最小，这个最小值= ．
∵ ，
∴∴当 最小时， 最小，如图2中：
∵
∴ 、 、 、 四点共圆，线段 就是圆的直径， 是弦；
∵ 是定值
∴直径 最小时，弦 最小
∴当点 与点 重合时， 最小，此时 最小，如图3中：
∵在 中， ， ，
∴
∵ ， ，
∵ ，∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴ ，同理可得：
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴ 周长的最小值=
【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，其中涉及了待定系数法求二次函数，二次函数与坐标轴交点问
题，待定系数法求一次函数，相似三角形的判断与性质，圆的性质，勾股定理，中位线，三角函数等知识点，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形的判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题的关键．
