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2023—2024 学年安康市高三年级第三次质量联考
理科数学
考试满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在
答题卡上.
4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.集合 ，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知函数 ，公差不为0的等差数列 的前 项和为 .若 ，则
（ ）
A.1012 B.2024 C.3036 D.4048
4.若实数 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A.0 B.2 C.9 D.11
5.甲､乙､丙三人被随机的安排在周六､周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班.则甲､乙被
安排在同一天值班的概率为（ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司6.在 中， 是 的中点， 与 相交于点 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
7.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.侧棱长与底面边长均为 的正三棱柱的外接球的表面积为 ，则 （ ）
A.12 B.8 C.6 D.4
9.已知直线 与椭圆 在第四象限交于 两点， 与 轴， 轴分别交于 两点，若
，则 的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
10.已知 ，则
（ ）
A.-15 B.-6 C.6 D.15
11.若直线 是曲线 的一条切线，则 （ ）
A. B.
C. D.
12.已知直线 与直线 相交于点 ，则 到直线
的距离的取值集合是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.写出一个对称中心为 的奇函数 __________.
14.已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 __________.
15.已知抛物线 的焦点为 ，位于第一象限的点 在 上， 为坐标原点，且满足 ，
则 外接圆的半径为__________.
16.已知函数 ，都有 ，则 的取值范围为
__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题
考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT走红后，大模型的热度持续不减，并
日渐形成了“千模大战”的局面.百度的文心一言､阿里的通义千问､华为的盘古､腾讯的混元以及科大讯飞的
星火等多种大模型正如火如茶的发布上线.现有某大模型给出了会员有效期30天的两种不同费用，100次的使
用费为6元，500次的使用费为24元.后台调取了购买会员的200名用户基本信息，包括个人和公司两种用户，
统计发现购买24元的用户数是140，其中个人用户数比公司用户数少20，购买6元的公司用户数是个人用户
数的一半.
（1）完成如下用户类别与购买意向的 列联表；
购买6元 购买24元 总计
个人用户
公司用户
总计
（2）能否有 的把握认为购买意向与用户类别有关？（运算结果保留三位小数）
附： ，
临界值表如下：
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
学科网（北京）股份有限公司2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.（12分）在三边均不相等的 中，角 对应的边分别为 ，若
.点 在线段 上，且 平分角 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的长度.
19.（12分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，且 ，
，点 分别为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
20.（12分）已知双曲线 的离心率为2，其中一个焦点到一条渐近线的距离等于
.
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）若直线 与双曲线 交于 两点，且坐标原点 在以 为直径的圆上，求 的最小值.
21.（12分）已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）当 且 时，讨论 在 上的零点个数.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计
分.
学科网（北京）股份有限公司22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为
，曲线的参数方程为 （ 为参数），
（1）分别求曲线 和直线 的直角坐标方程；
（2）若直线 交曲线 于 两点，过线段 的中点 作 轴的平行线交 于一点 ，求点 的横坐标.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 .
（1）求函数 的最小值；
（2）若 为正实数，且 ，求 的最小值.
2023—2024 学年安康市高三年级第三次质量联考
理科数学参考答案
1.【答案】D
【解析】由条件可得 ，所以 ，即
.故选 .
2.【答案】A
【解析】由条件可得 ，所以 ，故选A.
3.【答案】B
【解析】由题可知函数 的图象关于直线 对称，所以 ，所以 ，又
，故选B.
学科网（北京）股份有限公司4.【答案】D
【解析】由约束条件 ，画出可行域，
，化为斜截式方程得 ，
联立 得 ，即 .
由题意可知，当直线 过点 时，直线在 轴上的截距最小，此时 最大.
把点 代入目标函数可得最大值，即最大值 .故选 .
5.【答案】C
【解析】由题意可知将3人分成两组，其中一组只有1人，另一组有2人.分别安排在周六､周日值班共有6种
情况（甲乙，丙）､（甲丙，乙）､（乙丙，甲）､（甲，乙丙）､（乙，甲丙）､（丙，甲乙）.显然甲､乙被安
排在同一天有2种情况，所以甲､乙被安排在同一天的概率为 .故选C.
6.【答案】B
【解析】设 ，由 是 的中点，得 ，由 ，得 .
所以 ，且
由 与 相交于点 可知，点 在线段 上，也在线段 上，由三点共线的条件可得 ，
解得 ，所以 ，故选B.
7.【答案】A
【解析】由 ，解得 ，所以
学科网（北京）股份有限公司所以 .故选A.
8.【答案】C
【解析】由球的表面积公式 ，解得外接球半径 .因为底面三角形是边长为 的等边
三角形，所以此三角形的外接圆半径为 ，由正三棱柱的外接球的特点可得，
，解得 .故选C.
9.【答案】C
【解析】由 可得线段 的中点，也是线段 的中点，设 ，
线段 的中点坐标为 ，则 .
又点 在椭圆上，所以 ，两式相减可得 ，
，所以 ，所以 ，即 .
又因为 四点共线，所以 ，综上可得 ，由 在第四象限得
即 ，所以直线的倾斜角为 .故选C.
10.【答案】A
【解析】令 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司对函数 求导可得， ，
且 ，所以
.故选A.
11.【答案】B
【解析】设切点坐标为 ，则切点在直线上，也在曲线上，所以 ，又切线斜率
，且 ，所以 ，代入可得
，故选 .
12.【答案】D
【解析】由两直线垂直的判断条件 ，可知 ，所以直线 与 始终垂直，又
由条件可得直线 恒过定点 ，直线 恒过定点 ，所以两直线的交点 是在以线段 为直
径的圆上，所以该圆的圆心坐标为 ，半径为 ，但需挖去点 ，此点 是过定点 且斜
率不存在的直线与过定点 且斜率为0的直线的交点，故点 到直线 的距离的最大值与
最小值可转化为圆心 到直线 的距离 再加减半径 ，又需要去掉点 到直线
的距离为 ，所以取值集合是 .选D.
13.【答案】
【解析】因为奇函数关于原点对称，且此函数又关于点 对称，所以此函数可类比于正弦函数，因为正
弦函数 是奇函数，且关于点 对称，所以可联想到 .
14.【答案】-4
【解析】当 时， ，解得 .
当 时， ，两式相减得 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，所以数列 是首项为-2，公比为-1的等比数列，所以
，即数列 是 ，故 ，所以 .
15.【答案】
【解析】由题可得 ，由 ，可得点 的横坐标为 ，所以 ，所以
，设 外接圆的半径为 ，则由正弦定理可得
，所以外接圆的半径 为 .
16.【答案】
【解析】由 ，不妨设 ，则 ，
所以 ，
可变形化简为 ，
构造函数 ，则 ，
所以 在 上是单调递增函数，
所以 恒成立，
即 在 上恒成立，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
又 时， ，而 ，所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
17.【解析】（1）设购买24元的个人用户数为 ，则购买24元的公司用户数为 ，
设购买6元的公司用户数为 ，则购买6元的个人用户数为 ，
则有 ，解得 ，
所以用户类别与购买意向 列联表如下：
购买6元 购买24元 总计
个人用户 40 60 100
公司用户 20 80 100
总计 60 140 200
（2）由（1）中 列联表得
，
所以有 的把握认为用户类别与购买意向有关系.
18.【解析】（1）由 ，得
化简得
因为 三边均不相等，所以 ，即
由余弦定理得
学科网（北京）股份有限公司在 中，由 ，得
（2）在 中， ，故
由 得 ，易得
在 中， ，所以
在 中，由 ，得
19.【解析】（1）证明：因为底面 为正方形，所以 ，
又因为 平面 ，
所以 平面
因为 平面 ，所以 ，
同理 ，又因为 平面 ，所以 平面
（2）由（1）知 底面 ，即 两两相互垂直，
如图，以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立空间直角坐标系.
则 ，
.
学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，得
，
由（1）知平面 的一个法向量为 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值是
20.【解析】（1）解：由题意得
又因为 ，解得 .所以双曲线方程为：
（2）因为以 为直径的圆过坐标原点，所以 ，所以 ，即： ..
①当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ，设 ，
由 可得 ，
又点 在双曲线上，代入可得 ，解得 .
所以 .
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 联立消去 整理得 ，
因为直线 与双曲线交于 两点，所以 ，
且判别式 .
学科网（北京）股份有限公司设 ，
则 ，
由 得到： ，所以 ，
即 ，
所以 ，
化简得 .
所以 .
当 时上式取等号，且方程 有解.
综上可得 的最小值是 .
21.【解析】（1）显然 定义域为 ，由 得
当 时， 单调递增区间为 ，无减区间，
当 时，由 ，得 ，所以 单调递增区间为 ；
由 ，得 ，所以 单调递减区间为
（2）由题可得函数 ，所以
，解得
所以
①当 时，有 ，
所以 恒成立，
学科网（北京）股份有限公司所以， 在 上单调递减， 是一个零点；
②当 时， ，
设 ，则 恒成立，
即 在 上单调递增.
又 ，
所以根据零点存在定理可知， ，使得
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增
又 ，所以 .
因为 ，
根据零点存在定理可知， ，使得
综上所述， 在 上的零点个数为2.
22.【解析】（1）由 可得 ，代入
消去参数 ，可得 的直角坐标方程为：
化简 可得 ，所以 .
将 代入 的极坐标方程，可得 的直角坐标方程为： .
（2）曲线 是抛物线，其焦点 ，准线 ，
直线 ，恰好过抛物线的焦点.
学科网（北京）股份有限公司由 ，
设 ，
则 ，线段 的中点 的横坐标 ，中点 的纵坐标 ，
过点 作 轴的平行线交 于一点 ，则点 的纵坐标也等于 ，所以点 的横坐标为
23.【解析】（1） ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即当 时，函数 取得最小值
（2）由（1）可得当 为正实数时， ，
则由 可得： ，
所以
当且仅当 时，
学科网（北京）股份有限公司又 ，即当 时，等号成立.
所以 的最小值为9
学科网（北京）股份有限公司
