文档内容
铜川市 2024 年高三年级第三次模拟考试
数学（理科）试题
注意事项：
1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ，若 ，则实数 的值可能是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.设复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.已知甲种杂交水稲近五年的产量数据为 ，乙种杂交水稻的产量数据为
，则下列说法错误的是（ ）
A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差
B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
C.甲种的样本中位数等于乙种的样本中位数
D.甲种的样本方差大于乙种的样本方差
5.若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.6.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7.已知 为正实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知函数 ，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的最大值为
C. 在区间 上单调递增
D.
9.已知函数 是定义域为 的偶函数，且 为奇函数，若 ，则（ ）
A. B.
C.函数 的周期为2 D.
10.在正方体 中， 分别为 的中点，若 ，则平面 截正
方体所得截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
11.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，
并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单
的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形
是边长为2的正方形，且 均为正三角形， ，则该木楔子的外接
球的体积为（ ）A. B. C. D.
12.已知 为椭圆 的左､右焦点，点 在 上且位于第一象限，圆 与线段
的延长线､线段 以及 轴均相切， 的内切圆的圆心为 .若圆 与圆 外切，且圆 与
圆 的面积之比为9，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.有5名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这4个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每
个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有__________种.
14.已知点 为 外接圆的圆心，且 ，则 __________.
15.已知 的内角 所对的边分别是 ，点 是 的中点.若 ，且
，则 __________.
16.若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知数列 满足： .
（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求正整数 的最大值.
18.（本小题满分12分）
学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲､乙作为代表进行决赛.
决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得-5分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获
得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为 ，各项目的比赛结果相互独立.甲､乙获得冠
军的概率分别记为 .
（1）判断甲､乙获得冠军的实力是否有明显差别（若 ，则认为甲､乙获得冠军
的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；
（2）用 表示教师甲的总得分，求 的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥 的底面是正方形， 平面 ，点 是 的中点， 是线段 上
（包括端点）的动点， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 的夹角为 ，求 的值.
20.（本小题满分12分）
过抛物线 焦点 的直线 交 于 两点，若直线 垂直于 轴，则 的面积
为2，其中 为原点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）抛物线 的准线上是否存在点 ，使得当 时， 的面积为 .若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 存在零点，求实数 的取值范围.
（二）选考题：共10分.考生从22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴
正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）设 是曲线 上的两点，且 ，求 面积的最大值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）记函数 的最小值为 ，若正数 满足 ，证明： .铜川市 2024 年高三年级第三次模拟考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.A 【解析】依题意 ，由 ，可得 ，当 时，符合题意，应选
项；当 或2时，不符合集合中元素的互异性，从而排除 项；当 时， ，从而排除
项.
2.D 【解析】复数 复数 在复平面内对应的点位于第四象限.故选D
项.3.A 【解析】易知 ，令 ，解得 ，故 ，即 ，从而
，从而 的焦点坐标为 .故选A项.
4.D 【解析】10.2-9.8=0.4，10.5-9.6=0.9>0.4，故A正确；
， ，
故B正确；甲种的样本中位数为10.0，乙种的样本中位数为10.0，故C正确.
，
，
显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故D错误.
5.C 【解析】 函数 在 上单调递减，
解得 .故选C项.
6.A 【解析】 ，
.故选A.
7.C 【解析】若 ，根据糖水不等式可得 ，充分性得证；
若 ，则 ，即 ，故 ，必要性得证.
8.C 【解析】依题意 ，则函数 的最大值为 ，最小值正周期为 ，从而
可排除 选项.，即 ，故 在区间 上不可能
单调递增，应选C项.
为偶函数，从而
，从而可排除D选项.
9.D 【解析】 为奇函数， ，
又 为偶函数， ，故A项错误.
即 函数 的周期为4，即C项错误.
由 ，令 ，得
，即B项错误.
又 ，故选D项.
10.D 【解析】如图，过点 作 的平行线交 于点 ，过点 作 的平行线交 于点 ，
过点 作 的平行线交 于点 ，易知点 都在截面 内，且都是其所在棱的中点，从而
所得截面是边长为 的正六边形，所求面积 .故选D.
11.C 【解析】如图，分别过点 作 的垂线，垂足分别为 ，连接 ，则
，故 .
取 的中点 ，连接 ，又 ，则 .
由对称性易知，过正方形 的中心 且垂直于平面 的直线必过线段 的中点 ，且所求
外接球的球心 在这条直线上，如图.
设球 的半径为 ，则 ，且 ，
从而 ，即 ，
当点 在线段 内（包括端点）时，有 ，可得 ，
从而 ，即球心 在线段 的中点，其半径 .
当点 在线段 外时， ，解得 （舍）.
故所求外接球的体积 .故选 项.
12.A 【解析】由已知及平面几何知识可得圆心 在 的角平分线上.
如图，设圆 与 轴的切点分别为 ，由平面几何知识可得，直线 为两圆的公切线，公切点
也在 的角平分线上，则 ，
由椭圆的定义知 ，则 ，，
，
.
又圆 与圆 的面积之比为 圆 与圆 的半径之比为3，
，即 ，故椭圆 的离心率 .
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.240 【解析】先从5名学生中选2人组成一组，有 种方法，
然后将4组学生分配到4个景点，有 种方法，
由分步计数原理知共有 种不同的游玩方式.
14. 【解析】由 ，得 ，由 为 外接圆的圆心，得
，如图，结合向量加法的几何意义知，四边形 为菱形，且 ，故
.故 .
15. 【解析】 ，
又 ，
.
为 的一条中线， ，，即 ，解得 ，或
（舍）.
由余弦定理得 .
16. 【解析】 ，
令 ，得 .
令 ，则 .
令 ，则 ，即 ，即 .
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.
，
又当 时， ；当 时， ，
当 时，方程 有两个正根，从而函数 有两个极值点.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第11~21题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.解：（1）当 时， ，
当 时， ，
，
两式相减，得 ，
，显然 也符合上式，
数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，
，
解得 .
正整数 的最大值为15.
18.解：（1）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为 ，
则教师甲获得冠军的概率
，
则教师乙获得冠军的概率 ，
，
，
甲､乙获得冠军的实力没有明显差别.
（2）易知 的所有取值为 ，
，
，
，
，
则 的分布列为：
-15 0 15 300.096 0.352 0.408 0.144
.
19.解：（1）证明：如图，连接 交 于点 ，连接 ，
四边形 是正方形， 为 的中点，
是 的中点， ，
平面 平面 平面 .
（2）易知 两两垂直，
以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 .
，
设 ，则 .
.
设平面 的法向量为 ，
则 即 令 ，则 .
又直线 与平面 的夹角为 ，
，解得 ..
20.解：（1）根据抛物线概念易知 ，
直线 垂直于 轴，
不妨设 ，代入 ，可得 ，
.
，解得 .
抛物线 的方程为 .
（2）由（1）易知抛物线 的准线方程为 ，
设点 ，
当直线 的斜率等于0时，不符合题意；
故可设直线 的方程为： ，
联立 消去 得 ，
，得 ，
由韦达定理得 ，
，，
.
，
原点 到直线 的距离 ，
，解得 .
.
存在点 ，符合题目要求.
21.解：（1）当 时， ，
.
，
所求切线方程为 ，即 .
（2）函数 存在零点，等价于方程 有正根，
即 有解，
令 ，则 .令 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
，
当 时， ；当 时， ，
又 ，
存在 ，使得 .
，即 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
又 ，
当 时， ；当 时， ，
，即 .
实数 的取值范围为 .
（二）选考题：共10分.考生从22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.解：（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数），
消去参数 可得 ，即 ，
又由
可得 ，
曲线 的极坐标方程为 .
（2）由（1）易知曲线 的标准方程为 ，
曲线 是以 为圆心，半径为5的圆，且过原点 ，
又 过圆心，且 为直角三角形.
.
，当 时，等号成立.
面积的最大值为25.
23.解：（1）
不等式 等价于 或 或
解得 或 或 .
不等式 的解集为 .
（2）由（1）易知 ，即 ，
方法一：当且仅当 时，等号成立.
方法二： ，
即 ，
当且仅当 时，等号成立.
