文档内容
武威市 2022 年初中毕业、高中招生考试
数学试卷
考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则
无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 的相反数为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的概念得出答案．
【详解】∵
∴ 的相反数为 ．
故选：B
【点睛】本题考查了相反数的概念，熟练掌握相关概念是解本题的关键．
2. 若 ，则 的余角的大小是（ ）
A. 50° B. 60° C. 140° D. 160°
【答案】A
【解析】
【分析】用90°减去40°即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 的余角= ，
故选A
【点睛】本题考查了求一个角的余角，掌握和为90° 的两角互为余角是解题的关键．
3. 不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
的
【分析】按照解一元一次不等式 步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即
可得出答案．
【详解】解：3x-2＞4，
移项得：3x＞4+2，
合并同类项得：3x＞6，
系数化为1得：x＞2．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；
④合并同类项；⑤化系数为1是解题的关键．
4. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
5. 若 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据△ABC∽△DEF，可以得到 然后根据BC=6，EF=4，即可求解．
【详解】解：∵∴
， ，
故选D
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
6. 2022年4月16日，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆满成功．“出
差”太空半年的神州十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个“首次”．其中，航天员们
在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学实验项数的扇形统计图，下列说法错误的
是（ ）
A. 完成航天医学领域实验项数最多
B. 完成空间应用领域实验有5项
C. 完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多
D. 完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形统计图中的数据逐项分析即可．
【详解】解：A．由扇形统计图可得，完成航天医学领域实验项数最多，所以A选项说法正确，故A选项
不符合题意；
B．由扇形统计图可得，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，实验次项数为5.4%×37≈2项，所
以B选项说法错误，故B选项符合题意；
C．完成人因工程技术实验占完成总实验数的24.3%，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，所
以完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多，说法正确，故C选项不符合题意；
D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%，所以D选项说法正确，故D选项不符合
题意．故选：B．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图，熟练掌握扇形统计图的应用是解决本题的关键．
7. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多
名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形
，若对角线 的长约为8mm，则正六边形 的边长为（ ）
A. 2mm B. C. D. 4mm
【答案】D
【解析】
【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD= AD，即可得到
答案．
【详解】连接CF与AD交于点O，
为
∵ 正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO= AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形 的边长为4mm，
故选：D．【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
8. 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；
雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁
从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，
根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设总路程为1，野鸭每天飞 ，大雁每天飞 ，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程=总
路程即可得出答案．
【详解】解：设经过x天相遇，
根据题意得： x+ x=1，
∴（ + ）x=1，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路
程+大雁的路程=总路程列出方程是解题的关键．
9. 如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（ ），点 是这段弧所在圆的圆心，半径 ，圆心角 ，则这段弯路（ ）的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（ ）的长度．
【详解】解：∵半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，
这段弯路（ ）的长度为： ，
故选C
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式
10. 如图1，在菱形 中， ，动点 从点 出发，沿折线 方向匀速运动，
运动到点 停止．设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的函数图象如图2所示，则 的
长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为 解答即可．
【详解】解：在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为 ，
∴△ABD的面积
解得：a=
故选B
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此
题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 计算： _____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据单项式的乘法直接计算即可求解．
【详解】解：原式＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了单项式的乘法，正确的计算是解题的关键．
12. 因式分解： _________________．
【答案】【解析】
【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式=m（m2-4）=m（m+2）（m-2），
为
故答案 ：m（m+2）（m-2）
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13. 若一次函数y=kx−2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k=_________（写出一个满足条件的
值）．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据函数值y随着自变量x值的增大而增大得到k＞0，写出一个正数即可．
【详解】解：∵函数值y随着自变量x值的增大而增大，
∴k＞0，
∴k=2（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的
增大而减小是解题的关键．
14. 如图，菱形 中，对角线 与 相交于点 ，若 ， ，则 的长
为_________cm．
【答案】8
【解析】
【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可．
【详解】解： 菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，AC=4，
， ，AO=OC= AC=2
，，
，
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三
角形，是解题关键．
15. 如图，在⊙O内接四边形 中，若 ，则 ________ ．
【答案】80
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质计算出 即可．
【详解】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．
16. 如图，在四边形 中， ， ，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形
成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．
【详解】解：需添加的一个条件是∠A=90°，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A=90°（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的
判定与性质是解题的关键．
17. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不
考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：s）之间具有函数关系：
，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 _________s．
【答案】2
【解析】
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
18. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于
点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm．
【答案】
【解析】【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后
利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明
EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt BEF中，利用勾股定理求出EF的长，
△即可解答． △
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵AE=2cm，
∴BE=AB-AE=6-2=4（cm），
∵G是EF的中点，
∴EG=BG= EF，
∴∠BEG=∠ABD，
∴∠BEG=∠BDC，
∴△EBF∽△DCB，
∴ ，
∴ ，
∴BF=6，
∴EF= （cm），
∴BG= EF= （cm），
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练
掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
19. 计算： ．【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式
.
【点睛】本题考查了次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
20. 化简： ．
【答案】1
【解析】
【分析】将除法转化为乘法，因式分解，约分，根据分式的加减法法则化简即可得出答案．
【详解】解：原式
=1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，考查学生运算能力，掌握运算的结果要化成最简分式或整式是解题
的关键．
21. 中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几
何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文 释义
如图2， 为直角．
甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以点 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线 ， 分别于
点 ， ；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交
点己；
以点 为圆心，以 长为半径画弧与 交于点 ；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交
点庚； 再以点 为圆心，仍以 长为半径画弧与 交于点 ；
乙与己及庚相连作线．
作射线 ， ．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作
法）；
（2）根据（1）完成的图，直接写出 ， ， 的大小关系．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接DF，EG，可得 和 均为等边三角形， ，进而可得
．
【小问1详解】
解：（1）如图：
【小问2详解】
．
理由：连接DF，EG如图所示
则BD=BF=DF，BE=BG=EG即 和 均为等边三角形
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．
22. 灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，
为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研
究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的
度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条
直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG=DE）．
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，
∠CBF=35°．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．
.
参考数据：sin266°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【答案】16.9m
【解析】
【分析】设BF=x m，根据题意可得：DE=FG=1.5m，然后在Rt CBF中，利用锐角三角函数的定义求出
CF的长，再在Rt ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于△x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：设B△F=x m，
由题意得：
DE=FG=1.5m，
在Rt CBF中，∠CBF=35°，
△∴CF=BF•tan35°≈0.7x（m），
∵AB=8.8m，
∴AF=AB+BF=（8.8+x）m，
在Rt ACF中，∠CAF=26.6°，
△
∴tan26.6°= ≈0.5，
∴x=22，
经检验：x=22是原方程的根，
∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m），
∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京-张家口成功举办，其中张家口赛区设
有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A．云顶滑雪公园、B．国家跳台滑雪中心、C．国家越野滑雪中心、
D．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的
可能性相同．
（1）小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再
由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是 ；
【小问2详解】
解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，
∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为 ．
【点睛】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或
两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
24. 受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为
主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，
学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收
集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】
7 8 6 5 9 10 4 6 7 5 11 12 8 7 6
4 6 3 6 8 9 10 10 13 6 7 8 3 5 10
【数据整理】
将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图
（说明：A． ，B． ，C． ，D． ，E． ，其中 表示锻炼
时间）；【数据分析】
统计量 平均数 众数 中位数
锻炼时间
7.3 7
（h）
根据以上信息解答下列问题：
（1）填空： ___________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？
你认为这个目标合理吗？说明理由．
【答案】（1）6 （2）见解析
（3）340名；合理，见解析
【解析】
【分析】（1）由众数的定义可得出答案．
（2）结合收集的数据，求出C组的人数，即可补全频数分布直方图．
（3）用总人数乘以样本中每周不少于7h的人数占比，即可得出答案；过半的学生都能完成目标，即目标
合理．
【小问1详解】
由数据可知，6出现的次数最多，
∴m=6．
故答案为：6．
【小问2详解】
补全频数分布直方图如下：【小问3详解】
.
答：估计有340名学生能完成目标；
目标合理．
理由：过半的学生都能完成目标．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．
25. 如图，B，C是反比例函数y= （k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点
A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求 BCE的面积．
△
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据直线y=x-1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形
的面积的计算方法进行计算即可．
【小问1详解】
解：当y=0时，即x-1=0，
∴x=1，
即直线y=x-1与x轴交于点A的坐标为（1，0），
∴OA=1=AD，
又∵CD=3，
∴点C的坐标为（2，3），
而点C（2，3）在反比例函数y= 的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的图象为y= ；
【小问2详解】
解：方程组 的正数解为 ，
的
∴点B 坐标为（3，2），
当x=2时，y=2-1=1，
∴点E的坐标为（2，1），即DE=1，
∴EC=3-1=2，
∴S = ×2×（3-2）=1，
BCE
△
答： BCE的面积为1．
【点△睛】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函
数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
26. 如图， 内接于 ， ， 是 的直径， 是 延长线上一点，且 ．（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求线段 的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，得出 ，根据圆周角定理得到 ，
推出 ，即可得出结论；
（2）根据 得出 ，再根据勾股定理得出CE即可．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
由（1）知 ，
在 和 中，∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，解得 ．
【点睛】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键．
27. 已知正方形 ， 为对角线 上一点．
（1）【建立模型】如图1，连接 ， ．求证： ；
（2）【模型应用】如图2， 是 延长线上一点， ， 交 于点 ．
①判断 的形状并说明理由；
②若 为 的中点，且 ，求 的长．
（3）【模型迁移】如图3， 是 延长线上一点， ， 交 于点 ， ．求证：
．【答案】（1）见解析 （2）①等腰三角形，见解析；②
（3）见解析
【解析】
【分析】(1)根据正方形的性质，证明 即可．
（2）①根据（1）的证明，证明∠FBG=∠FGB即可．
②过点 作 ，垂足为 .利用三角函数求得FH，AH的长度即可．
(3)证明 即可．
【小问1详解】
）证明：∵四边形 为正方形， 为对角线，
∴ ， .
∵ ，
∴ ，
∴ .
【小问2详解】
① 为等腰三角形.理由如下：
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ 为等腰三角形.
②如图1，过点 作 ，垂足为 .
∵四边形 为正方形，点 为 的中点， ，
∴ ， .
由①知 ，
∴ ，
∴ .
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
在 中， .
【小问3详解】
如图2，∵ ，
∴ .
在 中， ，
∴ .
由（1）得 ，由（2）得 ，
∴ .
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握正
方形的性质，勾股定理和三角函数是解题的关键．
28. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，点 在
轴上，且 ， ， 分别是线段 ， 上的动点（点 ， 不与点 ， ， 重合）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接 并延长交抛物线于点 ，当 轴，且 时，求 的长；
（3）连接 ．
①如图2，将 沿 轴翻折得到 ，当点 在抛物线上时，求点 的坐标；
②如图3，连接 ，当 时，求 的最小值．【答案】（1）
（2）
（3）① ；②
【解析】
【分析】（1）把点B代入抛物线关系式，求出a的值，即可得出抛物线的关系式；
（2）根据抛物线 可求出点A的坐标，点C的坐标，根据 ，利用三角函数，求
出DE的长，再求出点E的坐标，根据点P与点E的横坐标相同，得出点P的横坐标，代入抛物线的关系
式，求出点P的纵坐标，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可；
（3）①连接 交 于点 ，设 ，则 ，求出
，得出点 ，将其代入抛物线关系式，列出关
于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐标；
②在 下方作 且 ，连接 ， ，证明 ，得出
，说明当 ， ， 三点共线时， 最小，最小为 ，过 作
，垂足为 ，先证明∠CAH=45°，算出AC长度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后根据勾
股定理求出CQ的长度即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵ 在抛物线 上，
∴ ，解得 ，∴ ，即 ；
【小问2详解】
在 中，令 ，得 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
①连接 交 于点 ，如图1所示：∵ 与 关于 轴对称，
∴ ， ，
设 ，则 ，
，
∴ ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
∴ ；
②在 下方作 且 ，连接 ， ，如图2所示：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ， ， 三点共线时， 最小，最小为 ，
过 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
， ，
，
∴
，即 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的关系式，全等三角形的判定和性质，
解直角三角形，三角函数的定义，作出辅助线，证明 ，得出当 ， ， 三点共线时，
最小，是解题的关键．
