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2023年高考考前押题密卷
数学·参考答案
一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A B A C C C A D C
二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，
全部答对的给5分。）
10、一 11、36 12、4 13、 14、 15、 ， ．
三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）
16．（14分）
【详解】（1）在 中，由正弦定理
可得： ，整理得 ，...............................2分
由余弦定理，可得 ；...............................4分
（2）（i）由（1）可得 ，又由正弦定理 ，
及已知 ，可得 ，...............................6分
由已知 ，可得 ，故有 ，
为锐角，可得 ， ，...............................8分
则 ；...............................9分
（ii）由（i）可得 ， ,...............................11分
1
学科网（北京）股份有限公司................................14分
17．（15分）
【详解】（1）由 为正三棱柱可知， 平面 ，
又 平面 ，所以 ，...............................1分
由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以 ；...............................2分
又 ， 平面 ，所以 平面 ；...............................3分
又 平面 ，所以 ；...............................4分
（2）取线段 的中点分别为 ，连接 ，
易知 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直
角坐标系 ，如下图所示;
由侧棱长为 ，底面边长为2可得，
，...............................6分
由D为AB的中点可得 ，
2
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ；
即 ；...............................8分
易得 即为平面 的一个法向量，
所以 ，...............................9分
设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角，
所以 ，即 ；
即二面角 的大小为 ................................10分
（3）由（2）可知 ，平面 的一个法向量为 ，......................12分
设直线CA与平面 所成的角为 ，微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
所以 ，...............................15分
即直线CA与平面 所成角的正弦值为 .
18．（15分）
【详解】（1）∵ ，
∴数列 是公差为 等差数列，且 ，
3
学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得 ，...............................1分
∴ ；...............................2分
设等比数列 的公比为 （ ），
∵ ， ，
，即 ，...............................3分
解得 （舍去）或 ，
∴ ...............................4分
（2）由（1）得 ......................................5分
..........................................6分
...............................................................8分
（3）方法一：
∵ ，
4
学科网（北京）股份有限公司.....................................................................................................10分
①
②
两式相减得，
，
，..............................................................12分
当 为偶数时，
，...............................13分
当 为奇数时，
，......................................14分
.......................................15分
方法二：
5
学科网（北京）股份有限公司......................................10分
...................
...................12分
当 为偶数时，
，..................................13分
当 为奇数时， ......................................14分
，
.......................................15分
19．（15分）
【详解】（1）解：当点 为椭圆 短轴顶点时， 的面积取最大值，
且最大值为 ，......................................2分
由题意可得 ，解得 ，......................................4分
所以，椭圆 的标准方程为 .......................................5分
（2）解：①设点 、 .
若直线 的斜率为零，则点 、 关于 轴对称，则 ，不合乎题意.
6
学科网（北京）股份有限公司设直线 的方程为 ，由于直线 不过椭圆 的左、右焦点，则 ，
联立 可得 ，
，可得 ，......................................6分
由韦达定理可得 ， ，则 ，...............................7分
所以，
，解得 ，......................................9分
即直线 的方程为 ，故直线 过定点 .......................................10分
②由韦达定理可得 ， ，
所以，
，......................................12
分
，则 ， 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
因为函数 在 上单调递增，故 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，......................................15分
7
学科网（北京）股份有限公司因此， 的最大值为 .
20．（16分）
【详解】（1） ，......................................1分
当 ， ；当 ， ，
故 的减区间为 ， 的增区间为 .......................................3分
（2）（ⅰ）因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，
故 ，......................................4分
故方程 有3个不同的根，
该方程可整理为 ，
设 ，
则
，......................................5分
当 或 时， ；当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
8
学科网（北京）股份有限公司整理得到： 且 ，......................................6分
此时 ，
设 ，则 ，......................................7分
故 为 上的减函数，故 ，
故 .......................................8分
（ⅱ）当 时，同（ⅰ）中讨论可得：
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
不妨设 ，则 ，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： ，......................................9分
因为 ，故 ，
又 ，
设 ， ，则方程 即为：
即为 ，
记
则 为 有三个不同的根，
设 ， ，
9
学科网（北京）股份有限公司要证： ，即证 ，
即证： ，
即证： ，
即证： ，......................................11分
而 且 ，
故 ，
故 ，......................................12分
故即证： ，
即证：
即证： ，
记 ，则 ，
设 ，则 ，所以 ，
，微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
故 在 上为增函数，故 ，
10
学科网（北京）股份有限公司所以 ，................................13分
记 ，
则 ，
所以 在 为增函数，故 ，......................................15分
故 即 ，
故原不等式得证：......................................16分
11
学科网（北京）股份有限公司12
学科网（北京）股份有限公司
