2013年数学三真题答案解析_26.考研数学（一）（二）（三）真题_26.3考研数学（三）真题_考研数学（三）真题_02.1987-2025年数三真题详解

2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上. （1）当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A）xo(x2)o(x3) （B）o(x)o(x2)o(x3) （C）o(x2)o(x2)o(x2) （D）o(x)o(x2)o(x2) 【答案】D 【解析】o(x)o(x2)o(x)，故D错误。 |x|x 1 （2）函数 f(x) 的可去间断点的个数为（ ） x(x1)ln|x| （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C 【解析】由题意可知 f(x)的间断点为0,1。又 xx 1 exlnx 1 xlnx lim f(x)  lim  lim  lim 1 x0 x0 x(x1)lnx x0 x(x1)lnx x0 x(x1)lnx (x)x 1 exln(x)1 xln(x) lim f(x)  lim  lim  lim 1 x0 x0 x(x1)ln(x) x0 x(x1)ln(x) x0 x(x1)ln(x) xx 1 exlnx 1 xlnx 1 lim f(x) lim lim lim  x1 x1 x(x1)lnx x1 x(x1)lnx x1 x(x1)lnx 2 (x)x 1 exln(x)1 xln(x) lim f(x)  lim  lim  lim  x1 x1 x(x1)ln(x) x1 x(x1)ln(x) x1 x(x1)ln(x) 故 f(x)的可去间断点有2个。 1（3）设D 是圆域D {(x,y)|x2 y2 1}位于第k象限的部分，记I  (yx)dxdy  k 1,2,3,4 ， k k D k 则（ ） （A）I 0 1 （B）I 0 2 （C）I 0 3 （D）I 0 4 【答案】B 【解析】令xrcos,y rsin，则有  1  1 I  (yx)dxdy   rdr (rsinrcos)d (cossin) k 0  3 D  k  2 故当k 2时， ,，此时有I  0.故正确答案选B。 2 2 3 （4）设{a }为正项数列，下列选项正确的是（ ） n  （A）若a a ,则(1)n1a 收敛 n n1 n n1  （B）若(1)n1a 收敛，则a a n n n1 n1  （C）若a 收敛，则存在常数P 1,使limnPa 存在 n n n n1  （D）若存在常数P 1，使limnPa 存在，则a 收敛 n n n n1 【答案】D  1   1 【解析】根据正项级数的比较判别法，当P 1时， 收敛，且limnPa 存在，则a 与 同 np n n n np n1 n1 n1  敛散，故a 收敛. n n1 （5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB C，且C可逆，则（ ） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 2（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B） 【解析】由C  AB可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有ACB1，从而 A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。 1 a 1 2 0 0     （6）矩阵 a b a 与 0 b 0 相似的充分必要条件为         1 a 1 0 0 0 （A）a 0,b2 （B）a 0,b为任意常数 （C）a 2,b0 （D）a 2,b为任意常数 【答案】(B) 1 a 1 1 a 1 2 0 0       【解析】由于 a b a 为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而 a b a 与 0 b 0 相似的             1 a 1 1 a 1 0 0 0 1 a 1   充分必要条件为 a b a 的特征值为2,b,0。     1 a 1 1 a 1 又EA  a b a [(b)( 2) 2a2]，从而a 0,b为任意常数。 1 a 1 （7）设X，X ，X 是随机变量，且X ~N(0,1)，X ~N(0,22），X ~ N(5,32) , 1 2 3 1 2 3 P  P{2 X 2}(j 1,2,3), 则（ ） j j （A）P  P  P 1 2 3 （B）P  P  P 2 1 3 （C）P  P  P 3 1 2 （D）P  P  P 1 3 2 3【答案】（A） 【解析】由X N  0,1  ,X N  0,22  ,X N  5,32  知， 1 2 3 p  P 2 X  2  P  X  2   2 2 1， 1 1 1 p  P 2 X  2  P  X  2   2  1 1，故 p  p . 2 2 2 1 2   由根据X N 5,32 及概率密度的对称性知， p  p  p ，故选（A） 3 1 2 3 （8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为， 则P{X Y 2} ( ) 1 （A） 12 1 （B） 8 1 （C） 6 1 （D） 2 【答案】（C） 【解析】P  X Y  2 P  X 1,Y 1 P  X  2,Y 0 P  X 3,Y 1 ，又根据题意X,Y 独立， 故 1 P  X Y 2 P  X 1  P  Y 1 P  X 2  P  Y 0 P  X 3  P  Y 1  ，选（C）. 6 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上.  n  （9）设曲线 y  f(x)和 y  x2  x在点(0,1)处有公共的切线，则limnf  ________。 n n2 【答案】2 【解析】 y  x2 x在(1,0)处的导数是y'(1)1，故 f '(1)1, f(1)0， 2 f(1 ) f(1) n n2  2n  limnf( ) lim      f '(1)(2) 2 n n2 n 2  n2   n2 4z （10）设函数z  z(x,y)由方程(z y)x  xy确定，则 ________。 x (1,2) 【答案】22ln2 z 【解析】原式为exln(zy)  xy,左右两边求导得：xy[ln(z y)x x ] y,令x 1,y 2 z y 得z 0,z 2(1ln2) x  lnx （11）求 dx________。 1 (1 x)2 【答案】ln2 lnx 1 lnx 1 lnx x 【解析】 dx lnxd( ) + dx  +ln (1x)2 1x 1x x(1x) 1x 1x  lnx  lnx x   lnx x   dx  lim   +ln     +ln  ln2 1 (1x)2 x 1x 1x  1x 1x x1 1 （12）微分方程 y y y  0通解为y ________。 4 1 x  【答案】e2 C xC 1 2 【解析】特征方程为2  1 0, 1 (二重根)，所以通解为 y e 1 2 x C xC  4 2 1 2 （13）设 A (a ) 是三阶非零矩阵， |A| 为 A 的行列式， A 为 a 的代数余子式，若 ij ij ij a A 0(i,j1,2,3),则 A  ____ ij ij 【答案】1 【解析】 由a  A 0可知，AT A* ij ij A a A a A a A a A a A a A i1 i1 i2 i2 i3 i3 1j 1j 2j 2j 3j 3j 3 3 a2 a2  0 ij ij j1 i1 从而有 A  AT  A*  A 2 ,故 A =-1. （14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe2X)=________。 【答案】2e2 5【解析】由X N  0,1 及随机变量函数的期望公式知 E  Xe2X     xe2x 1 e  x 2 2 dx  1   xe  2 1  x224 dx  2e2 .  2 2  三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分10分） 当x0时，1cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值。 【解析】因为当x0时，1cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小 1cosxcos2xcos3x 所以lim 1 x0 axn 又因为： 1cosxcos2xcos3x 1cosxcosxcosxcos2xcosxcos2xcosxcos2xcos3x 1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x) 1cosxcos2xcos3x 1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x) 即lim lim x0 axn x0 axn 1cosx cosx(1cos2x) cosxcos2x(1cos3x) lim(   ) x0 axn axn axn 1 1 1 x2 o(x2) (2x)2 o(x2) (3x)2 o(x2) 2 2 2 lim(   ) x0 axn axn axn 1 4 9 所以n2 且   1 a 7 2a 2a 2a （16）（本题满分10分） 1 设D是由曲线 y  x3，直线xa(a 0)及x轴所围成的平面图形，V ,V 分别是D绕x轴，y轴旋转一 x y 周所得旋转体的体积，若V 10V ，求a的值。 y x 【解析】由题意可得： a 1 3 5 V  (x3)2dx  a3 x 0 5 a 1 6 7 V 2 xx3dx  a3 y 0 7 6 7 3 5 因为：V 10V 所以 a3 10 a3 a 7 7 y x 7 5 （17）（本题满分10分） 6设平面内区域D由直线x3y,y 3x及x y 8围成.计算x2dxdy。 D 【解析】x2dxdy x2dxdyx2dxdy D D D 1 2 2 3x 6 8x   x2dx dy x2dx dy x x 0 2 3 3 416  3 （18）（本题满分10分） Q 设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P 60 ，（P是单价，单位： 1000 元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。 （2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。 Q2 【解析】（I）设利润为l，则l  PQ(20Q6000) 40Q 6000 1000 Q 边际利润l'40 500 （II）当P 50时，边际利润为20， 经济意义为：当P 50时，销量每增加一个，利润增加20 Q (III)令l'0,得Q 20000，此时P 60 40 1000 （19）（本题满分10分） 设函数 f(x)在[0,]上可导， f(0)0且 lim f(x)2，证明 x （1）存在a 0，使得 f(a)1 1 （2）对（1）中的a，存在(0,a),使得 f '() . a 3 【答案】（I）证明： lim f(x)2,X,当x X时，有f(x) ， x 2 f(x)在[0,X]上连续，根据连续函数介值定理，存在a 0,X ，使得f(a)1 （II） f(x)在[0,a]上连续且可导，根据拉格朗日中值定理， f(a) f(0) f '()a 1,(0,a)， 1 故(0,a)，使得f '() a （20）（本题满分11分） 71 a 0 1 设A  ,B   ，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCA B，并求所有矩阵C。 1 0 1 b 【解析】 x x  由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设C  1 2 ，则由ACCA B可得线性方程组： x x  3 4  x ax 0 2 3  ax x ax 1  1 2 4 （1） x x x 1  1 3 4   x ax b 2 3  0 1 a 0 0  1 0 1 1 1 1 0 1 1 1        a 1 0 a 1 a 1 0 a 1 0 1 a 0 1a          1 0 1 1 1  0 1 a 0 0 0 1 a 0 0         0 1 a 0 b  0 1 a 0 b 0 1 a 0 b  1 0 1 1 1    0 1 a 0 1a    0 0 0 0 1a    0 0 0 0 b1a 由于方程组（1）有解，故有1a0,b1a0，即a 1,b0,从而有  0 1 a 0 0 1 0 1 1 1 x k k 1 1 1 2      a 1 0 a 1 0 1 1 0 0  x k      ，故有 2 1 ,其中k、k 任意.  1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 x k 1 2      3 1  0 1 a 0 b 0 0 0 0 0   x k 4 2 k k 1 k  从而有C  1 2 1   k k  1 2 （21）（本题满分11分） a  b  1 1     设二次型 f  x ,x ,x 2  a x a x a x 2  bx b x b x 2，记 a , b 。 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3  2  2     a  b  3 3 （I）证明二次型 f 对应的矩阵为2TT； （II）若,正交且均为单位向量，证明二次型 f 在正交变化下的标准形为二次型2y2  y2。 1 2 【答案】(1) 8f (2a2b2)x2(2a2b2)x2(2a2b2)x2(4aa 2bb )x x 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 1 2 1 2 (4aa bb )x x (4a a 2b b )x x 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3  2a2 b2 2aa bb 2aa bb   a2 aa aa   b2 bb bb   1 1 1 2 1 2 1 3 1 3   1 1 2 1 3  1 1 2 1 3 则f的矩阵为 2aa bb 2a2b2 2a a b b  2aa a2 a a   bb b2 b b  1 2 1 2 2 2 2 3 2 3 1 2 2 2 3 1 2 2 2 3  2aa bb 2a a b b 2a2b2   aa a a a2   bb b b b2   1 3 1 3 2 3 2 3 3 3   1 3 2 3 3   1 3 2 3 3  2T T （2）令A=2T T,则A2TT 2,A2TT ，则1,2均为A的特 征值，又由于r(A)r(2T T)r(T)r(T)2 ，故0为A的特征值，则三阶矩阵A的特 征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为2y2  y2 1 2 （22）（本题满分11分） 3x2, 0 x 1, 设 X,Y  X f  x  X  x  0 x1  是二维随机变量， 的边缘概率密度为 X  0, 其他. ，在给定 的 3y2  , 0 y  x,   条件下， Y 的条件概率密度 f y x  x3 YX   0, 其他.     X,Y f x,y （1） 求 的概率密度 ； （2） Y f  y  的边缘概率密度 Y . 9y2  , 0 x1,0 y x, 【答案】（1） f  x,y  f  y x  f  x   x YX X   0, 其他.  9y2ln y, 0 y1, （2） f  y   f  x,y  dx   Y   0, 其他. （23）（本题满分11分） 2    e x, x 0, 设总体X 的概率密度为 f  x x3 其中为未知参数且大于零，X ,X ，X 为来自总体 1 2 N   0, 其它. X 的简单随机样本. （1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量.   2       【答案】(1)EX   xf (x)dx   x e xdx  e xd( )，令EX  X ，故矩估计量为X .  0 x3 0 x 9 n 2    n 1   n  e x i x 0 2n e x i x 0 (2)L() f(x;)  x3 i  x3 i i i1 i i1 i i1  0 其他  0 其他 当x 0时， i n n 1 lnL() 2nln3lnx  i x i1 i1 i dlnL() 2n n 1 令    0， d  x i1 i 2n  2n 得 ，所以得极大似然估计量= . n 1 n 1   x x i1 i i1 i 10