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2017年数学（一）真题解析
一、选择题
（1） 【答案】（A）.
【解】/（0 + 0） = lim ----- =占，/（0） = /（0 — 0） = b ,
ax 厶 a
因为于（工）在工=0处连续，所以八0 + 0） =/（0） =/（0-0）,
从而ab = £，应选（A）.
（2） 【答案】（C）.
【解】 方法一 若fCx）〉0,则fJ）〉0,从而/（I） >/（-1） > 0；
若 f （jt） < 0,则 /（□;）< 0,从而 /（1） < /（- 1） < 0,
故 |/（1）|> |/（-1）|，应选（C）.
方法二 由于（工）•于'（工）=y/2（^） '> 0得/'钦工）单调递增，
从而 f2（l） >/2（-1）,故 |于（1） |> |/（-1） |，应选（C）.
（3） 【答案】（D）.
T 2 3f
【解】 —=2xy, — =^r , 牙-=2z,
dx dy dz
£Z| =4, iZI =i, £ZI =o,
dx 丨 （1,2,0） 3y I （1,2,0） dz I （1,2,0）
1 c 2 2
cos a = — ? cos /? = — 9 cos y = — ?
所求的方向导数为学| =4x£十ixf=2,应选（D）.
dn I（1,2,0） 3 3
（4） 【答案】（C）.
【解】 从£=0到t=t0的时间段上，甲、乙走过的距离分别为
S] = Ui（t）dt9 S2 = 5（£）山9
J o J o
在 t =tQ 时 9S]=S2 + 1C>9 即]Vi （t）dt = I s（t）ck + 10,
J 0 Jo
或 f ° i（?）=10,故 t0 = 25,应选（C）.
J 0
（5） 【答案】（A）.
【解】 方法一 令A =aa 1 , A2 =A ,
令 AX =AX，由（A? -A）X = （A2 -A ）X = 0 得 A2 -A =0,A = 0 或 A =1,
因为trA = a*a =1 +•••+A„得A的特征值为入]=•••=入”=0,入”=1,
E — aa 1 的特征值为 A ] = =入”_i = 1,A „ = 0,从而 | E — aa ' | = 0,
即E-aaT不可逆，应选（A）.方法二 令 A = E— 0 -1得r(2E -A) =1,则A可相似对角化，从而A〜C；
'o 1 1
0
0 _ 1 °\
由 2E-B = 0 0 0得r(2E-B)=2,则B不可相似对角化，从而B与A ,C不相似,
0 0
应选(E).
方法点评：设为n阶矩阵，且丨AE — A |=l AE -B | ,即的特征值相同，则
(1) 若矩阵A ,B都可相似对角化，则A〜B；
(2) 若矩阵中一个可相似对角化，一个不可相似对角化，则A与於不相似.
(7)【答案】(A).
P(AB) PCA) - P(AB)
【解】 由 P(A |B) > P(A |B)得 ，即
P(B) P(B) 1 -P(B)
F(A |B) > P(A |B)等价于 P(AB) > P(A)F(B)；
P(AB) F(B) - P(AB)
由 P(B |A) > P(B |A)得 ，即
P(A) 1 - P(A)
P(B |A) > F(B |A)等价于 P(AB) > P(A)P(B),应选(A).
(8)【答案】(E).
【解】若总体X〜NO，/),则
汀〜xy — 乂屮〜"(“ —i),
因为总体X〜N(〃，l),所以工(X, — “)2〜*2 (兀)， 工(X, _ 乂严〜*2(" _
i=1 £=1
再由乂〜N & ,丄)得寻上=庙(乂一〃)〜N(0,l),从而n(X-M)z〜/ (I),
4n
不正确的是(B),应选(E).
二、填空题
(9)【答案】0.
【解】 方法一 f O = ~ —\—XZ + z" — J7 ° + 工* + O (工 * ),f ⑶（0）
由/严=0得/⑶（0）=0.
方法二 根据求导改变奇偶性的性质，因为_/（工）为偶函数，所以/■⑶（工）为奇函数,
故 /■⑶（0）=0.
（10） L答案】e~' （C! cos麗工 + C2sin42x ） （C] ,C2 为任意常数）.
【解】 特征方程为入2 +2入+3=0,特征值为心,2 = — 1 土施i,
通解为夕=e r （C! cos扼工+ C2） （C! ,C2为任意常数）.
（ID [答案】一1.
a》
【解】—，Q =
X + y x 2 +I _ y2 —— 7 1 9
0 P 2xy DQ 2axy
(jr2 + y2 _ 1 )2 3x (j：2 +y2 — l)z
°P ,故 a =_1.
因为曲线积分与路径无关，所以3-
ox dy
I
（12）【答案】
(1 十 HF
［解］ 方法一 SCz)=工(一l)"Tm”T= _ ［工(一1)"工"］'=_(占三 ］
(1+77'
n = l n = l 丄十力
方法二 令 SQ) =〉］(— 1)"T”h"T ,
n = l
« oo «
则 S (jc )djr = 丫 (— 1)"T nx z,_1 dj?=工(—l)"T«z
Jo W = 1 J 0 n = l
—X _ X
1 + h 1 + Jtr
1
1
故 s(x) = \T+^
(i+^)2'
(13)【答案】2.
【解】(Aai ,Aa2 ,AaQ =A ,a?’a：】)，
因为 a ! ,a2,a ,线性无关，所以(a i ,a2,a3)可逆，从而 r(Aa i ,Aa2 ,Aa3) = r(A),
由」:
1 |得r(A ) =2,故向量组Aa ! ,Aa2 ,Aa 3的秩为2.
'o 0 o'
（14）【答案】2.
— 4-
【解】X的密度为y（_z）=0. 5卩Q）+0. 25讥/ j一r y—
°+°° r+°° f+°° (工 —4 \
E(X)=
亠订(工)山=0.5匸列&血+0.25匸吗(飞一)
+ 2）卩（无）（1工=2 (p(j：)dx = 2.方法点评:本题考查连续型随机变量的分布函数、密度函数及数字特征，需要注意以下几点:
(1)若随机变量的分布函数为FQ),则其密度函数为
(F'(h), x为F(h)的可导点，
/•(X)=
(0, 鼻为FQ)的不可导点.
f+w
(2)若/(^)为随机变量的密度函数，则 /(x)d^ =1.
J —oo
P4-OO
(3)标准正态分布的密度函数爭(工)为奇函数，即|攵*卩(工)山 =0(怡为正奇数).
三、解答题
字=eJ/i — sin x • f；，
(15)【解】
dx I x
0
d纽=
W + e" (e 丁〔1 一 sin x • f\2 ) — cos x • f\ — sin x d — sin x • f\2)?
djr2
则彤
x =0
(16)【解】lim £ 与ln(l + —) = lim 丄工—ln(l + —~) = [ ln( 1 + jr )djr
= ] rt ' ri f “fg n k = x n \ n > Jo
1 f1, , 、★ 2、 1 21 zn , J1 1 f1 E —1)+ 1」
=— ln(l + ^r)d(jc) = —x ln( 1 x}------ -------.----------dr
Z J o 2 Io z J o 1+z
1 , n 1 f1 / . , 1 \ , 1 ’ c 1 , 1 1 …1
2 2 Jo \ \+x> 2 4 2 2 4
方法点评：本题考查定积分的定义求极限.
n项和求极限一般分为两种类型：
(1) 分子次数齐、分母次数齐，且分母的次数高于分子一次，采用定积分定义求极限，即
lim —)djr .
”―8 n J ' Jo
(2) 若分子次数或分母次数不齐，一般使用迫敛定理.
(17) [解】jc3 + j/3 — 3_r+ 3y — 2= 0 两边对工求导得 3于+ 3y2 y/ — 3 + 3,yz = 0,
令3/'=0得= •— 1 ,j?2 =1，对应的函数值为夕1 = 0，夕2 =1；
3jt2 + — 3 + 3y' = 0 两边再对工求导得 6工 + 6yy，2 + Zy2y" + Zy" = 0,
由夕"(一 1)=2> 0得= — 1为极小值点，极小值为y = 0 ；
由y”( 1)=一 1V0得x =1为极大值点，极大值为y =1.
(18) 【证明】(I )根据极限保号性，因为lim力⑴ V0,所以存在&〉0,
lo+ £
f (工)
当工e(o,&)时，—— v o,即当工e(o,&)时/(jr)
+ 2a
2
— a
3
= 0 9
由 得AX=P的通解为
+ a 2 + a 3
1
X = ^ | 2 | + 11 j (k为任意常数).
1
/ 2 1 I
(21)【解】 A = -1
| , X =
久2 /、(219工29工3)=乂' AX 9
a 1
4 1
工3
因为入3=0,所以|A 1 = 0.
2 1 -4
由 IA | = 1 -1 1 =—3(a — 2) = 0,得 a = 2.
-4 1 a
A — 2 — 1 4
由 |AE-A| = -1 A +1 —1 A (A +3)(入-6)= 0,得入 i 一3,入 = 69入 0・
2 3 =
4 — 1 A — 2/ 5 1 _ 4\ /I 0 _ 1 \
由一3E - A 1 2 1 -* 0 1 1 得
4 1 5 / 'o 0 0 '
/ 4 - 1 4 \ /I 0 1\
由 6E-A = - 1 7 - 1 0 1 0 得
' 4 — 1 4 / 0 0，
心=6对应的线性无关的特征向量为a2 =
[I 0 —
由。…
1 —2得入3=0对应的线性无关的特征向量为03
'o 0 0 '
1
1
故正交矩阵为
1
t X = QY , 。
/(! ,X 2 ,久 3)= X AX ===== 一
3
》
1 + 6y 2 .
fi 2
(22)【解】(I )E(Y)= 夕• 2yd_y =—,
3
2
P{Y£E(Y)} ■卜]冷夕
(n )方法一 Fz(z) =P{Z ^z} =P{X -\-Y ^z},
当 z <0 时,Fz(z) = 0；
当 z > 3 时,Fz(z) =1;
当 o < z < i 时,Fz(z)=F{x=o,y0-
(U )E(Z) =E(|X, — 〃 | )=E(|X】一〃 | )
*4-00 2c L -y 2 . 2(7 »+oo t2 2(7
2(7 top Ct )dt =------ te dt e_Yd
o a/27T ' 0 ■x/2tT由=丄£乙=z，得a的矩估计量为i Z.
72? n 7 2
(in)似然函数为
L=f5）...f〈zQ=：
（彳+•••+£）
e 2ff （Nz〉0d=l，2，・・・M），
6
In L =72 In 2 一 z? In cf 一 n In a/2tt-------+ ••• + n： ） 9
2（j
由 ^lnL=_7 + 占 3 + “+»=o 得&
故。的最大似然估计量为6
