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2021 年广东省中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
1. 下列实数中，最大的数是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据实数的大小比较法则比较数的大小即可．
【详解】解： ， ， ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正
实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2. 据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建
设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示形式 ，其中 ，n为整数，一定要将题目
中的“51085.8万”转化为数字510858000，即可将题目中的数据用科学记数法表示出来．
【详解】51085.8万=510858000 ，
故选：D．【点睛】本题主要考察科学计数法的表示形式，科学记数法的表示形式 ，其中
，n为整数，此题容易将题目中的“万”遗漏，掌握科学记数法的表示形式是
解题关键．
3. 同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列表法，可求得两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数及两枚骰子向上
的点数之和为7的结果数，根据概率计算公式即可求得所求的概率．
【详解】列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由表知，两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数为36种，两枚骰子向上的点数之和为
7的结果数为6，故两枚骰子向上的点数之和为7的概率是：
故选：B．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以不重
不漏地把事件所有可能的结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点．
4. 已知 ，则 （ ）
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12【答案】D
【解析】
【分析】利用同底数幂乘法逆用转换求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴故选：D．
【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键．
5. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则
它们都为零，从而可求得a、b的值，从而可求得ab的值．
【详解】∵ ， ，且
∴ ，
即 ，且
∴ ，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这
几个非负数都为零．
6. 下列图形是正方体展开图的个数为（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方体的展开图的特征，11种不同情况进行判断即可．
【详解】解：根据正方体的展开图的特征，只有第 2个图不是正方体的展开图，故四个图
中有3个图是正方体的展开图．
故选：C．
【点睛】考查正方体的展开图的特征，“一线不过四，田凹应弃之”应用比较广泛简洁．
7. 如图， 是⊙ 的直径，点C为圆上一点， 的平分线交 于点D，
，则⊙ 的直径为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】过 D 作 DE⊥AB 垂足为 E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到
DE=DC=1，再说明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得 AE，设
BE=BC=x，AB=AE+BE=x+ ，最后根据勾股定理列式求出x，进而求得AB．
【详解】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E
∵AB是直径
∴∠ACB=90°∵∠ABC的角平分线BD
∴DE=DC=1
在Rt△DEB和Rt△DCB中
DE=DC、BD=BD
∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）
∴BE=BC
在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2
AE=
设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2
则（x+ ）2=32+x2，解得x=
∴AB= + =2
故填：2 ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用
相关知识成为解答本题的关键．
8. 设 的整数部分为a，小数部分为b，则 的值是（ ）
A. 6 B. C. 12 D.
【答案】A【解析】
【分析】首先根据 的整数部分可确定 的值，进而确定 的值，然后将 与 的值代
入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分 ，
∴小数部分 ，
∴ ．
故选： ．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定 的整数部分 与小数部分 的值
是解题关键．
9. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几
何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，
则其面积 ．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若
，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. B. 4 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得a+b=6， ，把b=6-a代入S的表达
式中得：，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．
【详解】∵p=5，c=4，
∴a+b=2p-c=6
∴
由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：
设 ，当 取得最大值时，S也取得最大值
∵
∴当a=3时， 取得最大值4
∴S的最大值为
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化
为二次函数的最大值问题．
10. 设O为坐标原点，点A、B为抛物线 上的两个动点，且 ．连接点A、
B，过O作 于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为 ，进而得到OD=1，
由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以 为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解．
【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，
设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0，
∵OA⊥OB，
∴ ，
∴ ，
即 ，
，
设AB的解析式为： ，代入A(a，a²)，
解得： ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴C点在以OD的中点E为圆心，以 为半径的圆上运动，
当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，故CH的最大值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点
的纵坐标始终为1，结合 ，由此确定点E的轨迹为圆进而求解．
二、填空题：本大题7小题
11. 二元一次方程组 的解为___．
【答案】
【解析】
【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．
【详解】解： ，
由①式得： ，代入②式，
得： ，
解得 ，
再将 代入①式，
，
解得 ，
∴ ，
故填： ．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．
12. 把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物
线的解析式为___．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．
【详解】解：抛物线 向左平移1个单位长度，
再向下平移3个单位长度，
得到的抛物线的解析式为： ，
即：
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右
减”是解题的关键．
13. 如图，等腰直角三角形 中， ．分别以点B、点C为圆心，线段
长的一半为半径作圆弧，交 、 、 于点D、E、F，则图中阴影部分的面积
为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质可求出AC的长，根据S =S -2S 即可得答案．
阴影 △ABC 扇形CEF【详解】∵等腰直角三角形 中， ，
∴AC=AB= ，∠B=∠C=45°，
∴S =S -2S = = ，
阴影 △ABC 扇形CEF
故答案为：
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及扇形面积，熟练掌握面积公式是解题关键．
14. 若一元二次方程 （b，c为常数）的两根 满足
，则符合条件的一个方程为_____．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】设 与 交点为 ，根据题意 关于y
轴对称和二次函数的对称性，可找到 的值（ 只需满足互为相反数且满足
即可）即可写出一个符合条件的方程
【详解】设 与 交点为 ，
根据题意
则
的对称轴为
故设
则方程为：
故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，熟悉二次函数
的性质和找到两根的对称性类比二次函数的对称性是解题的关键
15. 若 且 ，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据 ，利用完全平方公式可得 ，根据x的取值范围可得
的值，利用平方差公式即可得答案．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ = ，
∴ = = ，
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．16. 如图，在 中， ．过点D作 ，垂足为E，
则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题目中的 ，求出ED的长度，再用勾股定理求出AE，即可求出
EB，利用平行四边形的性质，求出 CD，在 Rt△DEC 中，用勾股定理求出 EC，再作
BF⊥CE，在△BEC中，利用等面积法求出BF的长，即可求出 ．
【详解】∵ ，
∴△ADE为直角三角形，
又∵ ，
∴ ,
解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
,
又∵AB=12,
∴ ,
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得：,
过点B作BF⊥CE，垂足为F,如图
在△EBC中：
S△EBC= ;
又∵S△EBC
∴ ,
解得 ,
在Rt△BFC中，
,
故填： ．
【点睛】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的等面积法求一
边上的高线，解题关键在于熟练掌握解直角三角形的计算，平行四边形的性质，勾股定理
的计算和等面积法求一边上的高．
17. 在 中， ．点D为平面上一个动点，
，则线段 长度的最小值为_____．
【答案】
【解析】【分析】由已知 ， ，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的
圆周角等于圆心角的一半可知，点 在以 为圆心 为半径的圆上，线段 长度的最
小值为 ．
【详解】如图： 以 为半径作圆，过圆心 作 ，
以 为圆心 为半径作圆，则点 在圆 上，
,线段 长度的最小值为: ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，
正确的作出图形是解题的关键．
三、解答题（一）：本大题共3小题
.
18. 解不等式组
【答案】﹣1＜x≤2．
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可.
【详解】解：
由①得：x≤2；
由②得：x＞﹣1，
则不等式组 的解集为﹣1＜x≤2．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
19. 某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全
体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：
（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；
（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．【答案】（1）众数：90，中位数：90，平均数：90.5；（2）450人
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图，计算众数、中位数和平均数；
（2）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】解：（1）由列表中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90，
由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，
因此这组数据的中位数应该是90，
众数：90，中位数：90，
平均数 ．
答：这20名学生成绩的众数90，中位数90，和平均数90.5；
（2）20名中有 人为优秀，
∴优秀等级占比：
∴该年级优秀等级学生人数为： （人）
答：该年级优秀等级学生人数为450人．
【点睛】本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明
确题意，利用数形结合的思想解答问题．
20. 如图，在 中， ，作 的垂直平分线交 于点D，延长 至点
E，使 ．
（1）若 ，求 的周长；（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距
离相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周长；
(2)设 ， ，进而求出 ，在Rt△ABD中使用勾股定
理求得 ，由此即可求出 的值．
【详解】解：(1)如图，连接 ，设 垂直平分线交 于点F，
∵ 为 垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
(2)设 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，在 中， ．
∴ ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌
握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题
21. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于
A、B两点，且与反比例函数 图象的一个交点为 ．
（1）求m的值；
（2）若 ，求k的值．
【答案】（1）4；（2） 或
【解析】
【分析】（1）将P点的坐标代入反比例函数解析式 ，计算即可求得m；
（2）分两种情况讨论，当一次函数过一、二、三象限时，画出图像，将 转化
为两个三角形相似，过过P作 轴交x轴于点H，证明 ，即可求出
k和b的值；当一次函数过一、三、四象限时，画出图像，将 转化为两个三角
形相似，过点P作PQ⊥y轴于点Q，证明 即可求出k和b的值．
【详解】解：（1）∵P为反比例函数 上一点，
∴代入得 ，∴ ．
（2）令 ，即 ，
∴ ， ，
令 ，∴ ，
∵ ．
由图象得，可分为以下两种情况，
①B在y轴正半轴时， ，
∵ ，
过P作 轴交x轴于点H，又 ， ，
∴
∴ ， ,
即 ,
∴ ，∴ ，
∴ ．
②B在y轴负半轴时， ，过P作 轴，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，代入
∴ ，
综上， 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数，一次函数的图像与性质和相似三角形，添加辅助线构造
相似三角形，将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比是解题关键．
22. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统
习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉
粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，
每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：
元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【 答 案 】 （ 1 ） 猪 肉 粽 每 盒 进 价 40 元 ， 豆 沙 粽 每 盒 进 价 30 元 ； （ 2 ）
，最大利润为1750元
【解析】
【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价 元，根据某商家用8000
元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可；
（2）根据题意当 时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售
盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可．
【详解】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价 元．
则
解得： ，经检验 是方程的解．
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
（2）由题意得，当 时，每天可售100盒．
当猪肉粽每盒售x元时，每天可售 盒．每盒的利润为( )
∴ ，
配方得：
当 时，y取最大值为1750元．∴ ，最大利润为1750元．
答：y关于x的函数解析式为 ，且最大利润为1750
元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应
的函数解析式是解决本题的关键．
23. 如图，边长为1的正方形 中，点E为 的中点．连接 ，将 沿
折叠得到 交 于点G，求 的长．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，延长 交 于H连 ，通过证明 、
得到 ，再由 得到 ，进而即
可求得 的长．
【详解】解：延长 交 于H连 ，∵ 由 沿 折叠得到，
∴ ， ，
∵E为 中点，正方形 边长为1，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形
的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题
24. 如图，在四边形 中， ，点E、F分别在线
段 、 上，且 ．（1）求证： ；
（2）求证：以 为直径的圆与 相切；
（3）若 ，求 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】(1)设 ，进而求得 ，再由
即可求得 ；
(2)取 中点O，过点O作 ，由梯形中位线定理得到 ，
利用 得到 ，进而 ，由此即可证明；
(3)过点D，点A分别向 作垂线交 于点M，N，得到 ，分别求
出 ， 再代入求解即可．
【详解】解：(1)∵ ，设 ，
∴ ，∵CD∥AB，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2)如图，取 中点O，过点O作 ，
∵CD∥AB，∠BCD=90°，
∴ ，
又∵ ，
∴OM∥AB，
∴M为 中点，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴以 为直径的圆与 相切．
(3)∵∠DFE=120°，CD∥EF∥AB，
∴ ，
又∵
∴ 为等边三角形， ，
∵CD∥EF，
∴ ，
由(2)得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，在 中，三边之比为 ，
∴ ，
在 中，三边之比为 ，
∴ ，
如图，过点D，点A分别向 作垂线交 于点M，N，∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
同理，四边形BENA为矩形，
∴ ，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形等腰对等角、梯形中位线定理、割补法求四边形的面积、
圆的切线的证明方法等，熟练掌握各图形的基本性质是解决本题的关键．
25. 已知二次函数 的图象过点 ，且对任意实数x，都有
．
（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中
二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形
是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在， 或 或 或
【解析】
【分析】（1）令 ，解得 ，可得函数 必
过 ，再结合 必过 得出 ， ，即可得到
， 再 根 据 ， 可 看 成 二 次 函 数
与一次函数 仅有一个交点，且整体位于 的上方，
可得 ， 有两个相等的实数根，再根据 ，可解得 的
值，即可求出二次函数解析式．
（2）结合（1）求出点C的坐标，设 ，①当 为对角线时，
②当 为对角线时，③当 为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程
组即可得到答案．
【详解】解：（1）令 ，解得 ，
当 时， ，
∴ 必过 ，
又∵ 必过 ，
∴ ，∴ ，
即 ，
即可看成二次函数 与一次函数 仅有一个交点，且整体位于
的上方
∴ ，
有两个相等的实数根
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）由（1）可知： ， ，设 ，
①当 为对角线时，
∴ ，解得 （舍）， ，
∴ ，即 ．
②当 为对角线时，
∴ ，解得 （舍） ，∴ ，即 ．
③当 为对角线时，
∴ ，解得 ，
∴ 或 ，
∴ ．
综上所述：N点坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行
四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键．
