(85)--12.2笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

无穷级数 常数项级数审敛法 主讲 武忠祥 教授一、正项级数及其审敛法  定理1（基本定理）  a 收敛  {S } 上有界 n n  n1  若 a 发散，则 S   n n n1     定理2（比较法）设 a 与 b 是两个正项级数，且 n n n1 n1 a  b n n   则 1）  b 收敛   a 收敛 n n n1 n1   2）  a 发散   发散 b n n n1 n1定理3（比较法的极限形式）   a 设   b 与 a 是两个正项级数，且 lim n   ，则 n n n1 n1 n b   n   1）当 0    时， a 与 b 同敛散 n n n1 n1    2）当  0 时， b 收敛  a 收敛 n n n1 n1    3）当   时， 发散  a 发散 b n n n1 n1  1 例1 讨论 p 级数  的敛散性， ( p  0) p n n1例2 判别下列级数敛散性   1 1 1）  2）  n(n 2  1) n(n  1) n2 n1   3）  n 2 sin n 3 n1a 定理4（比值法）若 lim n1   ，则 n a n  1）当  1 时， a 收敛 n n1  2）当  1 时， a 发散 n n1 定理5 (根值法) 若 ，则 lim n a   n n  1）当 时， 收敛  1 a n n1   2）当  1 时， a 发散 n n1 定理6 (极限审敛法) 设  是正项级数， a n n1  1）如果 则  发散； lim na  l  0(), a n n n n1  2）如果 lim n p a  l( p  1,0  l  ), 则  a 收敛. n n n n1例3 判别下列级数敛散性  n  n  x n 1)  2)  ( ) n 3)  (x  0) 2 n 2n  1 n! n1 n1 n1二、交错级数及其审敛法 定理7（Leibniz准则） 若 1） a  a 2 ） lim a  0 n 1 n n n  则  (1) n1 a 收敛,且 s  a , r  a n 1 n n1 n1 例4 判别下列级数敛散性  (1) n1  ln n 1） ( p  0) 2)  (1) n1 n p n n1 n2三、绝对收敛与条件收敛 定理8（绝对收敛准则）    a 收敛   收敛 a n n n1 n1    绝对收敛: 若 a 收敛，则称  绝对收敛 a n n n1  n1     条件收敛: 若 a 收敛， 发散，则称 a 条件收敛 a n n n n1 n1 n1 例5 讨论下列级数的敛散性，若收 敛是绝对收敛还是 条件收敛.   1  sin n 2）  (1) n 1） p 2 n n n1 n1内容小结   (1)正项级数 ( u , u  0) n n n1   基本定理： u 收敛  s 上有界 n n n1 1)比较判别法：设 u  v , 则 n n    v 收敛   u 收敛 n n n1 n1    u 发散   v 发散 n n n1 n1 u 2)比较法极限形式：设 lim n  l (0  l  ) n v  n  ①若 0  l  , 则  u 与  v 同敛散. n n n1 n1     ②若 ,则  v 收敛  收敛,  u 发散  发散. l  0  u  v n n n n n1 n1 n1 n1     ③若 l   ,则  v 发散  u 发散.  u 收敛   v 收敛, n n n n n1 n1 n1 n1 收敛,   1, u  3)比值法: 设 lim n1   ,则  u  n 发散,   1, n u n1  n  不一定,   1,  收敛,   1,  4)根值法: 设 limn u   ,则  u  发散,   1, n n n n1   不一定,   1,  (2)交错级数 (  (1) n1 u ,u  0) n n n1 莱不尼兹准则: 若 (1) u 单调减; (2) lim u  0 n n n  则  (1) n1 u 收敛. n n1(3)任意项级数 1)绝对收敛与条件收敛概念    (1) 若  a 收敛，则  a 必收敛，此时称  a 绝对收敛 n n n n1 n1 n1    （2）若  收敛， 发散，则称  条件收敛 a a a n n n n1 n1 n1 2)绝对收敛和条件收敛的基本结论   绝对收敛的级数一定收敛,即  | u | 收敛   u 收敛. n n n1 n1作业 P271 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; 3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)