(85)--12.2笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

无穷级数
常数项级数审敛法
主讲 武忠祥 教授一、正项级数及其审敛法

定理1（基本定理） 
a 收敛  {S } 上有界
n
n

n1

若 a 发散，则 S  
n
n
n1
 
 
定理2（比较法）设 a 与 b 是两个正项级数，且
n n
n1 n1
a  b
n n
 
则 1）  b 收敛   a 收敛
n n
n1 n1


2） 
a 发散   发散
b
n
n
n1
n1定理3（比较法的极限形式）
 
a
设  
b 与 a 是两个正项级数，且 lim n   ，则
n n
n1 n1
n b
  n
 
1）当 0    时， a 与 b 同敛散
n n
n1 n1



2）当  0 时， b 收敛  a 收敛
n
n
n1
n1



3）当   时， 发散  a 发散
b
n
n
n1
n1

1
例1 讨论 p 级数  的敛散性，
( p  0)
p
n
n1例2 判别下列级数敛散性
 
1 1
1）  2） 
n(n 2  1) n(n  1)
n2 n1
 
3）  n
2 sin
n
3
n1a
定理4（比值法）若 lim n1   ，则
n a
n

1）当  1 时， a 收敛
n
n1

2）当  1 时， a 发散
n
n1
定理5 (根值法) 若 ，则
lim n a  
n
n

1）当 时， 收敛
 1 a
n
n1


2）当  1 时， a 发散
n
n1
定理6 (极限审敛法) 设  是正项级数，
a
n
n1

1）如果 则  发散；
lim na  l  0(), a
n n
n
n1

2）如果 lim n p a  l( p  1,0  l  ), 则  a 收敛.
n n
n
n1例3 判别下列级数敛散性
 n  n  x n
1)  2)  ( ) n 3)  (x  0)
2 n 2n  1 n!
n1 n1 n1二、交错级数及其审敛法
定理7（Leibniz准则）
若 1） a  a 2 ） lim a  0
n 1 n n
n

则  (1) n1 a 收敛,且 s  a , r  a
n 1 n n1
n1
例4 判别下列级数敛散性
 (1) n1  ln n
1） ( p  0) 2)  (1) n1
n p n
n1 n2三、绝对收敛与条件收敛
定理8（绝对收敛准则）



a 收敛   收敛
a
n
n
n1
n1



绝对收敛: 若 a 收敛，则称  绝对收敛
a
n
n
n1

n1


 
条件收敛: 若 a 收敛， 发散，则称 a 条件收敛
a
n n
n
n1
n1
n1
例5 讨论下列级数的敛散性，若收 敛是绝对收敛还是
条件收敛.

 1
 sin n 2）  (1) n
1）
p
2 n
n
n1
n1内容小结


(1)正项级数 ( u , u  0)
n n
n1


基本定理： u 收敛  s 上有界
n n
n1
1)比较判别法：设 u  v , 则
n n
 
 v 收敛   u 收敛
n n
n1 n1



u 发散   v 发散
n
n
n1
n1
u
2)比较法极限形式：设
lim n  l (0  l  )
n v
 n 
①若 0  l  , 则  u 与  v 同敛散.
n n
n1 n1
 
 
②若 ,则  v 收敛  收敛,  u 发散  发散.
l  0  u  v
n n
n n
n1
n1
n1
n1
   
③若 l   ,则  v 发散  u 发散.  u 收敛   v 收敛,
n n n n
n1 n1 n1 n1
收敛,   1,
u 
3)比值法: 设 lim n1   ,则  u 
n 发散,   1,
n u
n1

n

不一定,   1,

收敛,   1,

4)根值法: 设 limn u   ,则  u 
发散,   1,
n n
n
n1 

不一定,   1,

(2)交错级数 (  (1) n1 u ,u  0)
n n
n1
莱不尼兹准则: 若 (1) u 单调减; (2) lim u  0
n n
n

则  (1) n1 u 收敛.
n
n1(3)任意项级数
1)绝对收敛与条件收敛概念
  
(1) 若  a 收敛，则  a 必收敛，此时称  a 绝对收敛
n n n
n1 n1 n1
  
（2）若  收敛， 发散，则称  条件收敛
a a a
n n n
n1 n1 n1
2)绝对收敛和条件收敛的基本结论
 
绝对收敛的级数一定收敛,即  | u | 收敛   u 收敛.
n n
n1 n1作业
P271 1
(1), (3), (5) ;
2
(2), (3), (4) ;
3
(1), (2) ;
4
(1), (3), (5), (6) ;
5
(2), (3), (5)