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期末模拟卷5
一．选择题（共8小题）
1．复数z满足 •（1+2i）＝4+3i，则z等于（ ）
A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i
2．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有 1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计
如表：
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加
人数 600 200 200
如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.5 D．0.6
3．若圆锥W的底面半径与高均为1，则圆锥W的表面积等于（ ）
A． B． C．2 D．
4．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张π，一次任意取出2张卡片，则与事件
“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A．2张卡片都不是红色
B．2张卡片不都是红色
C．2张卡片至少有一张红色
D．2张卡片至多有1张红色
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A＝45°，B＝60°， ，则b的值
为（ ）
A． B． C． D．
6 ． 在 三 棱 柱 ABC﹣ A B C 中 ， 上 下 底 面 均 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且
1 1 1
平面ABC，若该三棱柱存在内切球，则AA ＝（ ）
1
A．2 B． C． D．
7．甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为 ，则密码被破译的概率为（ ）
A． B． C． D．1
8．设m、n是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ）
A．若m⊥ ，m∥n，n∥ ，则α ⊥β B．若 ⊥ ，m ，m⊥ ，则m∥
C．若m⊥α，m ，则 β⊥ α β D．若α⊥β，m⊄α，n β，则m⊥nα
二．多选题（β共4小⊂题α ） α β α β ⊂α ⊂β
9．如图，在四棱锥B﹣ACDE中，AE∥CD，CD＝2AE，点M，N分别为BE，BA的中点，
若DM∩CN＝P，DE∩CA＝Q，则下述正确的是（ ）
A． B．直线DE与BC异面
C．MN∥CD D．B，P，Q三点共线
10．某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为 1～1000的
1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：您的编号是否为奇数？问题
2：您是否吸烟？被调查者随机从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球100
个，红球100个）中摸出一个小球：若摸出白球则回答问题 1，若摸出红球则回答问题
2，共有270人回答“是”，则下述正确的是（ ）
A．估计被调查者中约有520人吸烟
B．估计约有20人对问题2的回答为“是”
C．估计该地区约有4%的中学生吸烟
D．估计该地区约有2%的中学生吸烟
11．△ABC中，D为边AC上的一点，且满足 ，若P为边BD上的一点，且满足
（m＞0，n＞0），则下列结论正确的是（ ）A．m+2n＝1 B．mn的最大值为
C． 的最小值为6+4 D．m2+9n2的最小值为
12．如图，线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，EF∥AB，矩形ABCD所在平面和
圆O所在平面垂直，且AB＝2，EF＝AD＝1，则下述正确的是（ ）
A．OF∥平面BCE
B．BF⊥平面ADF
C．点A到平面CDFE的距离为
D．三棱锥C﹣BEF外接球的体积为
三．填空题（共4小题）
13．向量 是单位向量，| |＝2， ⊥ ，则| |＝ ．
14．正三棱柱ABC﹣A B C 的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC 的中点，连接AD，
1 1 1 1
BD，则C D与平面ABD所成角的正弦值为 ．
1
15．设角 A，B，C 是△ABC 的三个内角，已知向量 ，
，且 ．则角C的大小为 ．
16．某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开
门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为 ；如果试过的钥匙
又混进去，第二次才能打开门的概率为 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知i是虚数单位，复数 ．
（1）求|Z |，|Z |，|Z |，|Z |；
1 2 3 4（2）随机从复数Z ，Z ，Z 中有放回的先后任取两个复数，求所取两个复数的模之积
2 3 4
等于1的概率．
18．已知在四面体ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，点E，F，G，M分别为棱AD，BD，
DC，BC上的点，且BM＝MC，DF＝2FB，DG＝2GC，AE＝ AD（0≤ ≤1）．
λ λ
（Ⅰ）当 ＝ 时，求证：AM∥平面EFG；
（Ⅱ）当λ变化时，求证：平面ADM⊥平面EFG．
λ
19．在① ；② 这两个条件中任选一个，补充到下面问题
中，并进行作答．
在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ， ，
______．
（1）求角A，B，C的大小；
（2）求△ABC的周长和面积．20．如图1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB＝90°，AC＝2a，E，F分别为AC，BC的中
点，沿EF将△CEF折起，得到如图2所示的四棱锥C′﹣ABFE
（Ⅰ）求证：AB⊥平面AEC′；
（Ⅱ）当四棱锥C′﹣ABFE体积取最大值时，
（i）若G为BC′中点，求异面直线GF与AC′所成角；
（ii）在C′﹣ABFE中AE交BF于C，求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值．21．有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm（即百万分
之一）时，人食用它，就会对人体产生危害．现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验
鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：ppm），数据统计如图：
0.07 0.24 0.39 0.54 0.61 0.66 0.73 0.82 0.82 0.82
0.87 0.91 0.95 0.98 0.98 1.02 1.02 1.08 1.14 1.20
1.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.58 1.62 1.68
（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；
（2）有A，B两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水
下，且可以同时通过2条鱼．
（ⅰ）将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相
互独立，均有 的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；
（ⅱ）将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可
能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小
孔进入B水池的概率．22．某学校高一100名学生参加数学竞赛，成绩均在40分到100分之间．学生成绩的频率
分布直方图如图：
（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）
（2）某老师抽取了10名学生的分数：x ，x ，x ，…，x ，已知这10个分数的平均数
1 2 3 10
，标准差s＝6，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标
准差．
（参考公式： ）
（3）该学校有3座构造相同教学楼，各教学楼高均为20米，东西长均为60米，南北宽
均为20米．其中1号教学楼在2号教学楼的正南且楼距为40米，3号教学楼在2号教学
楼的正东且楼距为72米．现有3种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为
35，55，105米，每个售价相应依次为1500，2000，4000元．若屏蔽仪可在地下及地上
任意位置安装且每个安装费用均为100元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最
小花费．
（参考数据：2102＝44100，1922＝36864，1102＝12100）
