人教 A 版 2019 必修第二册 期末测试卷 03
高一数学 参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D D C A C B A C C ABD
D
二、填空题
13.【3+i】因为z =1+2i,z +z =2+i,所以z =2+i-(1+2i)=1-i.
1 1 2 2
所以z ·z =(1+2i)(1-i)=3+i
1 2
π
14.【 】(a+2b)·(a-b)=|a|2+|a||b|cos<a,b>-2|b| 2=-8,解得
3
1 π
cos<a,b>=- ，所以a与b的夹角为
2 3
15.【0.85】由互斥事件的概率公式，所求概率为P=0.25+0.45+0.15=0.85
64π
16.【 】如图，取 AD 的中点 E，连接 PE，则 PE⊥平面 ABCD，设外接球的球
3
心为O，连接 AC，BD 交于O'，直线 PB 与 CD 所成的角即直线 PB 与 AB 所成的
❑√22+42
角，即∠ABP，在Rt△DAB中，O'B= =❑√5,设PE=x,则PE=❑√12+x2,
2
PB=❑√x2+17,在△PAB 中，PA2=42+PB2-2×4×PB·cos∠ABP，解得x=❑√3(舍负)，
所以OO'=
❑√3
,设外接球的半径为 R，则R=❑
√1
+5=
4❑√3
,所以该外接球的表面积
3 3 3
64π
为4πR2= .
3
1 1
17.(1) 因 为 (a-b)·(a+b)= ， 所以a2-b2=|a| 2-|b|2= ，
2 2
1 ❑√2
又因为|a|=1,a·b= ,所以|b|= , 所 以
2 2a·b ❑√2
cos<a,b>= = .
|a||b| 2
π
即向量a,b的夹角为
4
(2) |a-2b|=❑√(a-2b) 2=❑√a2-4a·b+4b2=1.
❑√3 ❑√3
18.(1)因为a=b cosC+ c sinB,所以sinA=sinB·cosC+ sinC·sinB，
3 3
❑√3
所以sin(B+C)=sinB·sinC+ sinC·sinB,
3
❑√3
即sinB·cosC+cosB·sinC=sinB·cosC+ sinC·sinB,
3
❑√3 π
所以cosB·sinC= sinC·sinB,因为sinC≠0，∴tanB=❑√3,所以B=
3 3
(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB=a2+c2-ac,因为2b=a+c，
a+c 2 π
所以( ) =a2+c2-ac,化简得(a-c) 2，所以a=c,又因为B= ，所
2 3
以△ABC为等边三角形.
19.(1)设DM与FG交于点P，连接PE.
DP DF 2
在△BCD中，易知FG//BC，∴ = = .
PM FB 1
1 DE 2 DP DE
∵λ= ，∴ = ,∴ = ，∴在△AMD
3 EA 1 PM EA
中，
PE//AM，又∵PE⊂平面EFG，AM⊄平面EFG，
∴AM//平面EFG.
(2)∵AB=AC，DB=DC，M为BC中点，∴AM⊥BC，DM⊥BC，又∵AM∩DM=M，所以
BC⊥平面ADM.∵FG//BC，∴FG⊥平面ADM，又∵FG⊂平面EFG，所以平面
ADM⊥平面EFG， 得证.
20.(1)截面AEGF如图所示，其中点G为
棱 CC 上靠近点 C 的四 等分
1 1
点.(2)连接A C ，设其与B D 的交点为O ，连接O B，
1 1 1 1 1 1
由题意可知 AB⊥平面 BCC B ，∵BC⊂平面 BCC B ，BC⊂平面 BCC B ，
1 1 1 1 1 1 1
∴ AB⊥ BC ， AB⊥ BC ， ∴ ∠ C BC 即 为 二 面 角 C -AB-C 的 平 面 角 ，
1 1 1
∴∠C BC=60°，
1
所以C C=2❑√3.∵四边形A B C D 为正方形，∴A C ⊥B D ，又∵A C ⊥B B，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B B∩B D =B ，∴A C ⊥平面BB D D，∴直线O B为直线A B在平面BB D D上
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
的投影，∴∠A BO 即为直线 A B和平面 BB D D所成的角.在Rt△A OB 中，
1 1 1 1 1 1 1
A B=❑√AB2+A A 2=4, BO =❑√O B 2+BB 2=❑√14,
1 1 1 1 1 1
❑√14
∴cos∠A BO = ,即直线直线 A B 和平面 BB D D 所成的角的余弦值为
1 1 4 1 1 1
❑√14
.
4
1 1 1 1 ❑√6
(3)∵BE= BB ，∴S = ×S = × ×B B×D B = .
4 1 △EBF 4 △B 1 BF 4 2 1 1 1 2
由(2)知A O ⊥平面BB F，又∵A O =❑√2，
1 1 1 1 1
1 ❑√6 ❑√3
∴V = × ×❑√2= .
A 1 -EBF 3 2 3
21.(1)分别求出每组的频率，画出的频率分布直方图如图所示：
设女、男 柜员员工的月平均不满 意次数分别
为x,y，则1
x= (2×2.5+3×7.5+8×12.5+5×17.5+2×22.5)=13,
20
1
y= (1×2.5+3×7.5+9×12.5+4×17.5+3×22.5)=13.75,
20
因为x<y，所以女员工的满意度比男员工的高.
(2)在抽取的员工中，女员工不满意次数不少于 20 的员工人数为 2 人，男员
工为 3 人，运用枚举法易知，任意抽取 3 人的情况有 10 种，男柜员不少于
7
女柜员的情况有7种，所以所求概率为P= .
10
2
22.(1)在Rt△GPC中，PG=2，∠PCA=30°，所以CP= =4m,
sin30°
PH 3
BP= = =6m,∴BC=BP+CP=6+4=10m
sin(180°-120°-30°) sin30°
(2) 连 接 GH ， AP ， ∵ ∠ GPH=180°-
120°=60°，
在△GPH中，由余弦定理得
GH2=22+32-2×2×3×cos60°=7
所以GH=❑√7，由正弦定理得
GH 2❑√21 2❑√21
AP= = m,即点A到点P的距离为 m.
sin60° 3 3
1 1 3
(3) S =S +S = ×2×AC+ ×3×AB=AC+ AB,
△ABC △APC △APB 2 2 2
1 ❑√3
因为S = AC·AB·sin120°= AC·AB,
△ABC 2 4
4 ( 3 ) 4 √ 3
所以AC·AB= AC+ AB ≥ ×2❑ AC· AB=4❑√2·❑√3AC·AB，
❑√3 2 ❑√3 2
❑√3
即AC·AB≥32,所以S = AC·AB=8❑√3m2，
△ABC 4
3 8❑√3 8❑√3
当且仅当AC= AB，即AB= 时等号成立，所以当B= m时，三角
2 3 3
形ABC区域面积最小，最小值是8❑√3m2.
