241028_103715-4.基础习题册高数第四章详解_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_00.配套书籍_2026考研数学习题册答案详解_基础

第四章 不定积分 4-1 基础过关 1.【答案】（1） 1 2 l n | e e x x   1 1 |  C ；（2） l n x  s i n x  C ；（3） l n x ( l n l n x  1 )  C ； （4） 1 2 a r c t a n s i n 2 x  C ； （5） 1 3 t a n 3 x  t a n x  x  C ； （6） 1 4 l n | x |  1 2 4 l n ( x 6  4 )  C . 【解析】（1）将分子分母同乘 e x ，转化成关于 e x 的函数.  e x d  x e  x     1 2 1 2 e 2 e  l n x d x ( e | x  x e e 1 1  x x  1   ) 1 1   | e  x d e 2 x  1 x ( e C 1  1  )  d e ( e x x   1 2 d 1 e ) ( l n x e x e e  x x 1   ) 1 1  C （2）观察分子分母之间的关系，进行凑微分运算. 1cosx 1  dx d(xsinx)ln xsinx C xsinx xsinx （3）观察分子分母之间的关系，进行凑微分运算，被积函数是对数函数，使用分部积分 法. lnlnx lnxu  dxlnlnxdlnx lnudu x 1 ulnuudlnu ulnuu du u ulnu1du ulnuuC lnxlnlnxlnxC lnx(lnlnx1)C （4）分子有一个单独的cosx，凑微分转化成关于 s i n x 的函数.sinxcosx sinx 1 1  dx dsinx  dsin2 x 1sin4 x 1sin4 x 2 1sin4 x 1 1 1   dsin2 x= arctansin2 x+C 2 1(sin2 x)2 2 （5）利用 t a n 2 x  1  s e c 2 x 将被积函数化简.  t a n 4 x d x           1 3 1 3 2 ( s e c 4 s e c 2 s e c 2 ( t a n 3 t a n 3 t a n x x d x d x x x  x t    1 )  a n 1 ) t a t a 2 2 d n n d x   s e x  2 t a n x  x   ( 2 c x t a n x  2 t a x  4 s e c d x  x  2 t a n n x  C x  x  1 x x d   2 x s x C e c 2 x  1 ) d x （6）分子分母同时乘以 x 5 ，凑 d x 6 .  x ( x d 6 x  4 )     1 6 1 4 x  l 6 1 4 n 5 x d x 6 ( x  1  6 x | x |  4 )  x 1 2 4  6 l 1 6 1  n (  4 x 6 x d x 6  ( 6 4 d x  ) x 6  6  4 1 2 4 C ) [ l n x 6  l n ( x 6  4 ) ]  C 2.【答案】（1） a a r c s in x a  a 2  x 2  C ；（2） ln x  1 2  x ( x  1 )  C ； 1ex 1 （3）ln C 1ex 1 【解析】（1）分子分母同时乘以 ax ，然后三角函数换元  a a   x x d x   a a   x x  a a   x x d x (ax)2 ax xasinx aasint  dx dx  acostdt a2 x2 a2 x2 acostx a(1sint)dt atacostC aarcsin  a2 x2 C a （2）配成完全平方，然后三角函数换元 dx 1 1   dx dx x(1x) 1 1 2 x2 x   1 1 x  4 4    2 4 1 1 x   s e c t 2 2  s e c t t a t n a t n t d t   s e c t d t  l n s e c t  t a n t  C ln (2x1)2 x2 x C  1 ln x  1 2  x ( x  1 )  C （3） dx 1ex=t 1 2t 1  1 1     dt 2 dt   dt   1ex t t2 1 t2 1 t1 t1  l n t  1  l n t  1  C  l n 1 1   e e x x   1 1  C  l n 1 1   e e x x   1 1  C 3.【答案】（1） x 2 x  1  C ；（2） 3 1 a 4  a 3 2 x  x 2  ( a 2 x  3 x 2 ) 3   C ； （3）  (1  3 x x 3 2 ) 3  1  x x 2  C ； （4）  1 3 1  x 2 ( x 2  2 ) a r c c o s x  1 9 x ( x 2  6 )  C 【解析】（1） dx xsect secttant 1   dt  dt x2 x2 1 sec2ttant sect x2 1  costdt sintC  C x（2） dx xasint acost 1 1 1   dt   dt  sec2tdtant (a2 x2)5/2 a5cos5t a4 cos4t a4 1 1 tan3t   (tan2t1)dtant   tantC a4 a4  3  1  3x x3     C 3a4  a2 x2 (a2 x2)3  （3）  x 4 d 1 x  x 2 x  t a n t  t a s n e 4 c t 2 s t e c t d t   s e c t a n t 4 t d t   c s o i s n 3 4 t t d t   c s o i s n 2 4 t t d s i n t 1sin2t u sint 1u2 1 1 1 1  dsint  du  du du   C sin4t u4 u4 u2 3u3 u 1 1 (1x2)3 1x2   C   C 3sin3t sint 3x3 x （4） x3arccosx xcost cos3tt  dx  (sint)dt cos3ttdt cos2ttdsint 1x2 sint   ( s i n 2 t  1 )  t d s i n t   t s i n 2 t d s i n t   t d s i n t  1 3  t d s i n 3 t  t s i n t   s i n t d t 1 1 1 1  tsin3t sin3tdttsintcost  tsin3t (1cos2t)dcosttsintcost 3 3 3 3  1 3 t s i n 3 t  1 3 c o s t  1 9 c o s 3 t  t s i n t  c o s t  C   1 3 1  x 2 ( x 2  2 ) a r c c o s x  1 9 x ( x 2  6 )  C 4.【答案】（1） e x x e  x 1  l n (1  e x )  C ； （2）xln2(x 1x2)2 1x2 ln(x 1x2)2xC； （3）(x1)arctan x  x C【解析】（1）  ( e x x e  x 1 ) 2 d x   ( e x x  1 ) 2 d e x    x d e x 1  1   e x x  1   e x 1  1 d x   e x x  1   1  e e x x   1 e x d x   e x x  1  x   e e x x  1 d x   e x x  1  x   e x 1  1 d e x   e x x  1  x  l n ( e x  1 )  C  e x x e  x 1  l n ( e x  1 )  C （2） 1 ln2(x 1x2)dx xln2(x 1x2)2xln(x 1x2) dx 1x2  x l n 2 ( x  1  x 2 )  2  l n ( x  1  x 2 ) d 1  x 2  xln2(x 1x2)2ln(x 1x2) 1x2 2 1x2dln(x 1x2)  x ln 2 ( x  1  x 2 )  2 1  x 2 ln ( x  1  x 2 )  2 x  C （3） x 1 arctan xdx xarctan x   dx 1x 2 x  x a r c t a n x   x  1 1   x 1  2 1 x d x  x a r c t a n x   2 1 x d x   1 1  x  2 1 x d x 1  xarctan x  x  d x  xarctan x  x arctan x C 1x  ( x  1 ) a r c t a n x  x  C 1 1 1 2x 1 x 5.【答案】（1）  C ；（2） ln  arctan C. 2(1x)2 1x 32 2x 16 2 x x11 1 1 【解析】（1） dx dx dx dx (1x)3 (1x)3 (1x)2 (1x)31 1   C 2(1x)2 1x （2） dx dx 1  1 1         dx 16x4 (4x2)(4x2) 8 4x2 4x2   1 8  1 4   2 1  x  2 1  x  d x  1 8  4 1  x 2 d x  3 1 2 l n 2 2   x x  1 1 6 a r c t a n x 2  C 6.【答案】（1）  l n c s c x  1  C ；（2） l n t a n x  2 t a 1 n 2 x  C ； （3） 1 3 l n ( 2  c o s x )  1 2 l n (1  c o s x )  1 6 l n (1  c o s x )  C ； 【解析】（1）  1 c  o s t i x n x d x   s i n x c ( o 1 s  x s i n x ) d x   s i n x ( 1 1  s i n x ) d s i n x  u l  n s s i n s i n i x n x  x  u 1 ( u  1  C 1  ) d  u l  n  c s  c 1 u x   u 1 1   1 C  d u  l n u u  1  C （2） 1 dx cos4 x sec4 x tan2 x1   dx dx dtanx sin3 xcosx tan3 x tan3 x tan3 x   t a 1 n x d t a n x   t a 1 n 3 x d t a n x  l n t a n x  2 t a 1 n 2 x  C （3） dx sinx 1   dx dcosx (2cosx)sinx (2cosx)sin2 x (2cosx)(1cos2 x) 1 cosxu 1  dcosx  du (2cosx)(cos2 x1) (2u)(u2 1) 1 3  2 1  u d u  1 2  u 1  1 d u  1 6  u 1  1 d u 1 1 1  ln 2u  ln1u  ln1u C 3 2 6 1 1 1  ln(2cosx) ln(1cosx) ln(1cosx)C 3 2 6 4-2 基础真题 1.【答案】当 a  0 ， b  0 时，  a 2 s i n 2 x 1  b 2 c o s 2 x d x  1 a b a r c t a n  a b t a n x   C ； 当 a  0 ， b  0 时，  a 2 s i n 2 x 1  b 2 c o s 2 x d x  1 b 2 t a n x  C ； 当 a  0 ， b  0 时， 1 1  dx cotxC. a2sin2 xb2cos2 x a2 【解析】当 a  0 , b  0 时，  a 2 s i n 2 x 1  b 2 c o s 2 x d x   a 2 t a n 1 2 x  b 2 d ( t a n x )  1 a b a r c t a n  a b t a n x   C 当 a  0 , b  0 1 1 1 1 时， dx  dx tanxC a2sin2 xb2cos2 x b2 cos2 x b2 1 1 1 1 当a 0,b0时， dx  dx cotxC a2sin2 xb2cos2 x a2 sin2 x a2 其中C为任意常数. 2.【答案】( 2x11)e 2x1 C 【提示】遇到 axb ， 通常直接令t  axb 化简. 【解析】令 2x1t，有 e 2 x  1 d x   e tt d t  t e t   e td t  t e t  e t  C  ( 2 x  1  1 ) e 2 x  1  C ， 其中 C 为任意常数. 3.【答案】  l 1 n x  C 【提示】分母有一个单独的 x ，其余都是关于lnx的函数，可以直接将 1 x 凑微分 【解析】  x d l n x 2 x =  d  l n l n 2 x x  =  l 1 n x  C ，其中，C为任意常数. 4.【答案】  1  1 x  l n (1  x )  C 【提示】分子拆成两部分相加，当被积函数为两种不同的函数相乘时，可以使用分部积分 法. 【解析】原式   1 x d x   l n ( 1  x ) d  1 x  1 1 ln x  ln(1x) dx x x(1x) 1 1 1  ln x  ln(1x)  dx   x  x 1x 1 ln x  ln(1x)ln x ln(1x)C x  1  1 ln(1x)C    x 其中 C 为任意常数. 5.【答案】  1 8 x c s c 2 x 2  1 4 c o t x 2  C x x xcos4 xcos 1 2 2 【解析】原式 dx  dx x x 8 x 8sin3 cos3 sin3 2 2 2  1 8  x d  s i n  2 x 2    1 8 x s i n  2 x 2  1 8  s i d n x 2 x 2 1 x 1 x  xcsc2  cot C 8 2 4 2 其中 C 为任意常数. 6.【答案】 x 4 2  1 4 x s i n 2 x  1 8 c o s 2 x  C 【解析】原式   x 1  c o 2 s 2 x d x   x 1  c o 2 s 2 x d x  1 2  x d x  1 4  x d ( s i n 2 x )  x 4 2  1 4 x s i n 2 x  1 4  s i n 2 x d x  x 4 2  1 4 x s i n 2 x  1 8 c o s 2 x  C 其中 C 为任意常数. 7.【答案】 x a r c t a n x  1 2 l n ( 1  x 2 )  1 2 ( a r c t a n x ) 2  C 【解析】 I    1  1  1 x 2  a r c t a n x d x   a r c t a n x d x   a r c t a n x d ( a r c t a n x )  x a r c t a n x   1  x x 2 d x  1 2 a r c t a n 2 x  x a r c t a n x  1 2 l n ( 1  x 2 )  1 2 a r c t a n 2 x  C 其中C为任意常数. 1 3 1 8.【答案】 (1x2)2 (1x2)2 C 3 【解析】方法一：原式 x2 1  1  1 3 1  d(1x2)  1x2  d(1x2) (1x2)2 (1x2)2 C 2 1x2 2  1x2  3 其中 C 为任意常数. 方法二：x=tant tan3t tan3t 原式  dtant  sec2tdt tan3tsectdt 1tan2t sect tan2tdsect (sec2t1)dsect 1  sec3tsectC 3 回代 1 2 1 (1x2)3 (1x2)2 C sect= 1x2 3 9.【答案】  e  x a r c c o t e x  x  1 2 l n ( 1  e 2 x )  C 【解析】 I          e e e a    r x x x c a a a c r r r o c c c t c c c e o o o x t t t d e e e e x x x     x    x 1     1 e 1  1 2  x a r c c o d x 2 x e 2 x e 2 x 1  e l n (1  e t e  d x  2 x ) x   C  e  x 1  e x e 2 x d x 其中 C 为任意常数. 10.【答案】 2 x e x  1  4 e x  1  4 a r c t a n e x  1  C 【解析】令 u  e x  1 ，则 x  l n ( 1  u 2 ) ， d x  1 2  u u 2 d u ，从而 xex (1u2)ln(1u2) 2u  dx  du ex 1 u 1u2  2  l n (1  u 2 ) d u  2 u l n (1  u 2 )   1 4  u 2 u 2 d u  2 u l n ( 1  u 2 )  4 u  4 a r c t a n u  C 2x ex 14 ex 14arctan ex 1C 其中C为任意常数.11.【答案】 1 2 l n 2 x 【提示】两个定积分相加，可通过化简将积分上下限保持一致，被积函数直接相加. 1 t  1 1 lnt y x ln y 【解析】 f   x dt  dy，于是  x 1 1t 1 y(1 y) f  x   f  1 x    x 1 l 1 n  t t d t   x 1 t ( l 1 n  t t ) d t   x 1 l n t t d t  1 2 l n 2 x . 12.【答案】（B） 【提示】已知的是 f ( x ) 的导函数，可以求出 f ( x ) ，再积分. 【解析】由题设可知 f ( x )  s i n x ，于是 f ( x )   f ( x ) d x   c o s x  C 1 . 从而 f ( x ) 的原函数 F(x) f(x)dx(cosxC )dxsinxC xC ，其中 1 1 2 C 1 , C 2 为任意常数. 令 C 1  0 ， C 2  1 ，即得 f ( x ) 的一个原函数为 1  s i n x . 13.【答案】 2 l n ( x  1 )  x  C 【解析】因为 f ( x 2  1 )  l n ( ( x x 2 2   1 1 ) )   1 1 ，所以 f ( x )  l n x x   1 1 . (x)1 又 f[(x)]ln lnx，从而 (x)1 ( ( x x ) ) 1 1 x      ， ( x ) x x 1 1     . 于是 x1 (x)dx dx2ln(x1)xC，其中C为任意常数. x1 14.【答案】 x  e x  C 【解析】在 f ( l n x )  1  x 中，令 l n x  t ，则 f(t)1et，从而 f ( t )   ( 1  e t ) d t  t  e t  C ，其中 C 为任意常数.4-3 拓展拔高 1.【答案】D 【解析】  1 2 ( e 2 x  e  2 x )    e 2 x  e  2 x  e 2 x  e  2 x . 故应选（D）. 2.【答案】D 【提示】不定积分算出全体原函数，由给出来的 F (1 )  3 2 π 确定C . 【解析】由题意 F ( x )   1 d  x x 2  a r c s i n x  C . 又 F (1 )  3 2 π 3 ，则arcsin1C  π，所以 2 C  π . 故答案选（D）. 3.【答案】 x  1 2 x 2 【提示】 f(x)dx F(x)C 【解析】因为 f ( c o s 2 x )  s i n 2 x  1  c o s 2 x ，用 t 换式中的 c o s 2 x . 则有 f ( t )  1  t 积分得 f ( t )  t  2 t 2  C ，即 f ( x )  x  x 2 2  C . 当x0时， f ( 0 )  0 代入上式得C 0. 故应选（D）. 4.【答案】 a r c s i n x  ln ( x  1  x 2 )  C 【提示】分母根号里是平方差公式，对平方差公式进行因式分解 【解析】  1  x 2 1   x 1 4  x 2 d x    1 1  x 2  1 1  x 2  d x  a r c s i n x  ln ( x  1  x 2 )  C . 5.【答案】  1 2 c o t x  1 2 x  C 【提示】 c o s 2 x  1  2 s i n 2 x 1sin2x 1sin2x 1 1 1 【解析】 dx dx (csc2x1)dx cotx xC 1cos2x 1(12sin2x) 2 2 2 6.【答案】Bf(lnx) 1 【解析】 dx f(lnx)d(lnx)df(lnx) f(lnx)Celnx C C， x x 故应选（B） 7. 【答案】（1） 1 4 [ f ( x 2 ) ] 2  C ；（2） a r c s i n ( ln x )  C 【解析】（1）设 u  x 2 ，则 x f  ( x 2 ) d x  1 2 f ( x 2 ) d x 2  1 2 f ( u ) d u  1 2 d f ( u ) . 综上，有  x f ( x 2 ) f ( x 2 ) d x  1 2  f ( u ) d f ( u )  1 4 [ f ( u ) ] 2  C  1 4 [ f ( x 2 ) ] 2  C . （2）  x 1 d  x ln 2 x   d 1 (  ln x ln ) 2 x  a r c s i n ( ln x )  C . 8.【答案】 s i n x  2 3 s i n 3 x  1 5 s i n 5 x  C 【解析】  c o s 5 x d x     ( c (1 o  s 2 2 x s 2 ) i n c 2 o x s  x d s i x n  4 x  (1 )d (  s i s n i n x 2 ) x  ) s 2 i d n ( s x i n  x 2 3 ) s i n 3 x  1 5 s i n 5 x  C 9.【答案】 1 2 t a n 2 x  ln | c o s x |  C 【解析】 tan3xdxtan2xtanxdx(sec2x1)tanxdxsec2xtanxdxtanxdx sinx 1 tanxd(tanx) dx tan2xln|cosx|C cosx 2 10.【答案】 1 5 a r c t a n t a n 5 x  C 【解析】 dx dx sec2xdx d(tanx)     sin2x5cos2x cos2x(5tan2x) 5tan2x ( 5)2 tan2x 1 tanx  arctan C 5 5 11.【答案】6(6 xarctan6 x)C【解析】设 x  t 6 ( t  0 ) ，则 t  6 x ，有 dx dt6 6t5dt t2 t2 11    6 dt6 dt x(1 3 x) t3(1t2) t3(1t2) 1t2 1t2  1  6 1 dt6(tarctant)C6(6 xarctan6 x)C    1t2  12.【答案】 1 5 ( 4  x 2 ) 52  4 3 ( 4  x 2 ) 32  C 【解析】令 x  2 s i n u ，dx2cosudu，则  x 3 4  x 2 d x     8 3 2 3 2 5 3 s i n u  2  c o s u 5 c o s u 2 ( c  c o o s 3 2 3 s u 2 u c o  2 c o s  1 ) d ( 3 s u  u c C d o u s  u  ) 1 5 3  ( 2 3 4  2  c o  x 2 s u ( c o 5 2 ) 2 s i n 4 s u 4  3 3  ( u 4 d u c o  2 s u 2 x ) )d 32 (  c o C s u ) 13.【答案】 a r c t a n  1 x  x 2   C 【解析】设xtanu，则 d x  s e c 2 u d u ， d x   2 2 ( 2 x  1 ) x  1   a c r o c s t a u n d  ( 2 ( s i n u t a u n ) 2  u C  1  ) a  r c  t a 2 n s  i n c o 2 1 s u x  u  x d u c o  2  2 s  u C   1 d  s s i n i n u 2 u 14.【答案】 x ln ( x  x 2  1 )  x 2  1  C 【解析】 1  x  ln(x x2 1)dx xln(x x2 1)x 1 dx x x2 1 x2 1 x xln(x x2 1) dx x2 1 xln(x x2 1) x2 1C 1 1 1 15.【答案】  lnx C lnx x x 【解析】 x (  x ln ln x 3 ) x 2 d x     1 x ln 1 ln x 2 x  d 1 x x  ln  x ln x  x 2  d 1 x x 2 d  x   ln  1 2 x 1 ln d x ln  x 1 x  ln  x ln  x d 1 x    C 1 x  16.【答案】  1 2 ( e  2 x a r c t a n e x  e  x  a r c t a n e x )  C 【解析】  a r c t e a 2 n x e x d x     1 2 1 2  ( a r c  2 x e t a a n r c e t x d a n ( e  e x 2  x ) e   x   1 2 a  e  r c t  a 2 x n a e r x c ) t a  n C e x   e 2 x d (1 e  x e 2 x )  17.【答案】  1 4 ln ( x 2  1 )  2 ( x 1  1 )  1 2 ln | x  1 |  C 【提示】 ( x  a ) 2 ( x 1 2  b x  c ) 2  x A  a  ( x B  a ) 2  x C 2 x   b x D  c  ( x 2 E  x b  x F  c ) 2 【解析】设 ( x 2  1 1 ) ( x  1 ) 2  A x x 2   B 1  ( x C  1 ) 2  x D  1 ，通分得 1  ( A x  B ) ( x  1 ) 2  C ( x 2  1 )  D ( x  1 ) ( x 2  1 ) 比较 x 的各次幂的系数得  A 2 A B  A   D  2 C B B     0 D C D    1 D 0  0   A B C D      0 1 21 2 1 2 故  ( x 2  1 1 ) ( x  1 ) 2 d x     1 2 1 4  ln x ( 2 x x  2 1  d 1 x )   1 2 2 (  x 1 (  x 1 1  ) 1  ) 2 1 2 d x ln  | 1 2 x   1 x | 1   1 C d x 4 11 1 18.【答案】  C x2 2 (x2)21 A B C 【提示】    (xa)3 xa (xa)2 (xa)3 【解析】设 ( 4 x x   2 3 ) 3  x A  1 2  ( x A  22 ) 2  ( x A  3 2 ) 3 A 0 1  ，通分比较系数得4A  A 4 1 2  4A 2A  A 3 1 2 3 解得 A 1  0 ， A 2  4 ， A 3  1 1 . 故 ( 4 x x   2 3 ) 3  ( x 4  2 ) 2  ( x 1  1 2 ) 3 . 4x3 dx dx 4 11 1  dx4 11   C. (x2)3 (x2)2 (x2)3 x2 2 (x2)2 19.【答案】 1 2 [ x  ln | s i n x  c o s x |]  C 【提示】设 s i n x  a ( s i n x  c o s x )  b ( c o s x  s i n x ) 【解析】设 s i n x  a ( s i n x  c o s x )  b ( c o s x  s i n x )  ( a  b ) s i n x  ( a  b ) c o s x 比较系数，得  a a   b b   1 0   a b   1 2  2 1 ，故  s i n s x i n  x c o s x d x   1 2 1 2  [ x ( s  i n ln x |  s i c n o s x ) s i n x x  c   o ( c s c o x o s x s x |]   C s i n x ) d x  1 2   d x   c s o i n s x x   s c i o n s x x d x  20.【答案】 2 5 ln 2 t a n x  1  1 5 ln 1  t a n 2 x  1 5 x  C 【提示】令tanxt，化为有理式的积分 cosx 1 【解析】 dx dx，令tanxt，xarctant ， 2sinxcosx 2tanx1 d x  1 d  t t 2 ，则 2 s i n c o x s  x c o s x d x      4 5 2 5 2 5 2 t  ln ln 1 1   1 1  t d t 1  2 t  1 5 2 t  1  2 t a n x  2  1 5 1 d t 2 1 ln  1  5 t d t 2  t 1  1 ln 5   2 t 1  2  1 5   4 t  1 1  1  1 a r 5 2 t a n 2 t  1  2 1  t d t 2 t c t a n t  1 x  x 5  C  d t C 21.【答案】 ln 1 1   x x   1 1   x x  2 a r c t a n 1 1   x x  C 【提示】通过变量代换去掉根式，化为有理函数的积分 【解析】令 1 1   x x  t ，则  1 1   x x  d x x     2 ln t    2 t 1  2 t 1 1  t 1    1 2 1 x x  (     4 2 t  1 2 t  1  1  t 1 ) 1 x x 2  d t d t    2 4 ln a r  ( t t  t  c t a n 2 1 1  1  1 1 2 t ) ( 2   2 t a r x x  c  t 1 a C ) n d t t  C 22.【答案】 2 1  x  3 3 1  x  6 6 1  x  6 ln 6 1  x  1  C 【提示】被积函数中出现两个根号 a f ( x ) 与 b f ( x ) ，一般设 t  c f ( x ) ，其中 c 为 a ， b 的最小公倍数 【解析】令61x t，xt6 1，dx6t5dt，则 1 1 t3 t311  dx 6t5dt 6 dt 6 dt 1x  31x t3 t2 t1 t1  1  6  t2 t1  dt 2t33t2 6t6ln t1C  t1 2 1x 331x 661x 6ln 61x 1C