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利用“阿氏圆”解决线段最值问题
一阶 方法突破练
1. 如图，点P是半径为2的⊙O上一动点，点A，B为⊙O外的定点.连接PA,PB,点 B 与圆心 O 的距离为4.要
1
使 PA+ PB的值最小，如何确定点P，并说明理由.
2
2
2. 如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),点E是以原点O为圆心，2为半径的圆上一点，求 AE+ BE的最
3
小值.
3.如图，已知抛物线 y=x²+4x−5与x轴交于A，B两点(点A在点B 左侧),与y轴交于点 C,点 D 的坐标为(
3
(−3,0),,将线段 OD绕点 O逆时针旋转得到( OD',旋转角为( α(0°<α<90°),连接 AD',CD',求 AD'+ CD'
5
的最小值.
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设问进阶练
例 如图，已知抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于点A，B(点A在点B 的右侧),与y轴交于点 C.
(1)如图①，若点 D 为抛物线的顶点，以点B 为圆心，3 为半径作⊙B,点E为⊙B上的动点,连接AE,DE,求
3
DE+ AE的最小值；
4
(2)如图②，若点 H 是直线AC 与抛物线对称轴的交点，以点 H为圆心，1为半径作⊙H，点Q是⊙H上一动
点，连接OQ，AQ，求 OQ+√5AQ的最小值；
(3)如图③，点 D 是抛物线上横坐标为2的点，过点 D 作. DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的
1
⊙O上的动点，连接CD,DP,PE,求 PD− PE的最大值.
2
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综合强化练
1.如图①,抛物线 y=−x²+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点 C，直线 y=kx+1l经过点A,与y轴交于
点 D,与抛物线交于点 E(2,3),点 F 是抛物线的顶点,连接DF,EF.
(1)求直线 AE 和抛物线的函数解析式；
(2)求 tan∠EDF的值；
(3)如图②,以点 D 为圆心,OD长为半径作圆,点 G 是⊙D 上一点,连接BG 和 FG,则 10BG+√10FG是否存在最
小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
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2.如图，已知抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,4).
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，连接BC，点P为BC上方抛物线上的一点， PR‖y轴交 BC于点R, PQ⊥BC于点Q,求 △PQR
周长的最大值及此时点 P 的坐标；
(3)如图②,若点 N(0,3),D(2,0),矩形 ODFN的顶点 F 在第一象限内.以点N为圆心,1为半径作⊙N,点M是⊙N上
1
一动点,连接DM,MF,求 DM− MF的最大值.
2
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一阶 方法突破练
1. 解:如解图,连接OB,OP,找带有系数的线段 PB.在OB 上截取OC=1,连接AC交⊙O于点P',点P'即为所求.连
接PC.
理由:∵OP=2,OB=4,
OP OC 1
∴ = = ,∠POC=∠BOP,
OB OP 2
∴△POC∽△BOP.
PC 1 1 1
∴ = ,即 PB=PC(利用相似将 PB转化为PC).
PB 2 2 2
确定线段和最小时动点的位置.
1
∴PA+ PB=PA+PC≥AC,当A,P,C三点共线时,PA+PC的值最小，最小值为AC的长，
2
1
∴ 当点 P与点 P'重合时, PA+ PB的值最小.
2
4 4
2.解：找带系数的线段 BE.如解图，在y轴上取一点 M(0, ),连 接 OE,EM,AM. 则 OE = 2,OB = 3, OM= ,
3 3
OE OM 2
∴ = = .
OB OE 3
又∵∠EOM=∠BOE,
∴△EOM∽△BOE.
EM OM 2
∴ = = ,
BE OE 3
2
即 EM= BE.
3
2
∴AE+ BE=AE+EM≥AM,
3
当A，E，M三点共线时，AE+EM 的值最小，最小值为AM 的长.
在 Rt △AOM 中, AM=√OM2+OA2=
√ (4) 2
+42 =
4√10
.
3 3
2 4√10
∴当E为线段AM与⊙O的交点时， AE+ BE的值最小，最小值为 .
3 3
3.解：∵抛物线的解析式为 y=x²+4x−5,
∴A(-5,0),C(0,-5),
∵点D的坐标为(-3,0),∴OD=OD'=3,
∴点 D'的运动轨迹为以原点 O 为圆心，3 为半径的圆在第三象限内的一段圆弧，
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9
如解图，在y轴上取一点.M(o,- ),连接D'M,AM,
5
9
则 OD'=3,OC=5,OM= ,
5
OD' OM 3
∴ = = ,
OC OD' 5
又∵∠D'OM=∠COD',
∴△D'OM∽△COD',
D'M 3 3
∴ = ,即 D'M= CD',
CD' 5 5
3
∴AD'+ CD'=AD'+D'M≥AM,
5
3
当A,D',M三点共线时,
AD'+ CD'
的值最小，最小值为AM的长.
5
在 Rt △AOM 中, AM=√AO2+OM2=
√
52+
(9) 2
=
√706
,
5 5
3 √706
∴当D'为AM与圆弧的交点时， AD'+ CD' 的值最小，最小值为 .
5 5
二阶 设问进阶练
例 解:(1)∵抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于点A,B,∴A(3,0),B(-1,0).∴AB=4.
∵ 点 D 为抛物线的顶点，
∴D(1,4),抛物线对称轴为直线x=1,
9 BF 3
如解图①，连接 BE，在 x 轴上截取 BF= ,则 = ,
4 BE 4
设抛物线对称轴与x轴交于点 M，连接EF，DF，
BE 3
∵ = ,∠EBF=∠ABE,
BA 4
∴△FBE∽△EBA,
BE EF 3
∴ = = ,
BA AE 4
3
∴EF= AE,
4
3
∴DE+ AE=DE+EF≥
4
3
DF,当D,E,F 三点共线时, DE+ AE取得最小值，最小值为 DF 的长,
4
∵BF=
9
,∴MF=
1
,∴在 Rt△DMF 中,DF = √DM2+M F2=
√
42+
(1) 2
=
√257
.
4 4 4 4
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3 √257
∴DE+ AE的最小值为 ;
4 4
(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x=1.
∵A(3,0),C(0,3),
∴ 直线 AC 的解析式为y=-x+3.
∵ 点 H为直线AC 与抛物线对称轴的交点，
∴点H的坐标为(1,2).
√5
如解图②,连接 OH 交⊙H 于点 D,在 OH 上截取 HN= ,过点 N作 NE⊥x轴于点 E，设抛物线对称轴与x
5
轴交于点 M,连接AN,NQ,HQ.
∵H(1,2),∴OM=1,HM=2.
∴OH=√OM2+H M2=√5.
又∵ HQ=1,
HN HQ √5
∴ = = ,
HQ HO 5
又∵∠NHQ=∠QHO,
∴△QHN∽△OHQ.
QN HN √5
∴ = = ,
OQ HQ 5
√5
即 QN= OQ.
5
(√5 )
∴OQ+√5AQ=√5 OQ+AQ =√5(QN+AQ)≥ √5AN.当A,Q,N三点共线时,( OQ+√5AQ值最小，
5
最小值为 √5AN.
∵NE⊥x轴,
ON NE OE
∴ONE∼OHM,∴ = =
OH HM OM
4√5 ON NE OE 4
∵ON=OH−NH= ,∴ = = = ,
5 OH HM OM 5
8 4 11
∴NE= ,OE= ,∴AE=OA−OE= ,
5 5 5
∴√5AN=√5⋅√AE2+N E2=√37,
∴OQ+√5AQ的最小值为 √37;
(3)∵ 点D 是抛物线上的点,且横坐标为2,∴D(2,3).
∵C(0,3),∴CD⊥y轴.
∵ DE⊥x轴,
∴ 四边形 OCDE 为矩形.∴OE=CD=2.
1
如解图③，在 OA 上截取 OH= ,连接 DH 并延长交⊙O 于点 P,连接EP.
2
易得直线 DH 的解析式为：y=2x-1.∴P(0,-1).
OH 1 OP 1
∴ = , = ,
OP 2 OE 2
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且∠POH=∠EOP,
∴ △POH∽△EOP.
PH OP 1 1
∴ = = ,∴PH= PE.
EP OE 2 2
1 1
∴PD− PE=PD−PH≤DH,当点 P 在 DH 的延长线上时， PD− PE的值最大，最大值为 DH 的长.
2 2
1
∵H( ,0),D(2,3),
2
3
∴DE=3,EH= .
2
3√5
∴DH=√DE2+EH2= .
2
1 3√5
∴PD− PE的最大值为 .
2 2
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵点E在直线y=kx+1上,
∴把E(2,3)代入y=kx+1,得2k+1=3,解得k=1,
∴ 直线AE的解析式为y=x+1,
把y=0代入y=x+1,得x=-1,∴A(-1,0),
把A(-1,0)与E(2,3)代入抛物线 y=−x²+bx+c,
{−1−b+c=0 {b=2
, ,
得 解得
−4+2b+c=3 c=3
∴ 抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3;
(2)∵点F是抛物线的顶点,∴F(1,4),
把x=0代入y=x+1,得y=1,∴D(0,1)
把x=0代入 y=−x²+2x+3,得y=3,∴C(0,3),∴CD=2,
如解图①,连接CE,
∵E(2,3),则CE⊥y轴,CE=CD=2,
∴∠CED=45°,DE=2 √2,
过点 F 作 FM⊥CE于点 M,则 FM=EM=1,
∴∠FEC=45❑∘,FE=√2,∠FED=90❑∘,
FE 1
∴ 在Rt△FDE 中, tan∠EDF= = ;
DE 2
( √10 ) √10
(3)【思路点拨】将 10BG+√10FG提公因式转化为 10 BG+ FG ,再构造相似三角形将 FG转化
10 10
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到对应边，根据“一阶方法突破练”中的【方法解读】求解即可.
存在.
√10 DH √10
如解图②,在 DF 上取 DH= ,连接 DG,HG,BH,则 = ,
10 DG 10
∵D(0,1),F(1,4),∴ DF=√10,
DG 1 √10 DH DG
∵ = = ,∴ = ,
DF √10 10 DG DF
∵∠HDG=∠GDF,∴△HDG∽△GDF,
HG √10 √10
∴ = ,∴HG= FG,
GF 10 10
( √10 )
∴10BG+√10FG=10 BG+ FG =10(BG+
10
HG)≥10BH,∴10BG+ √10FG的最小值为10BH,
过点 H作 HP⊥y轴于点 P,过点 F 作 FQ⊥y 轴于点 Q,则HP∥FQ,
∴△DHP∽△DFQ,
DP HP DH 1
∴ = = = ,
DQ FQ DF 10
DP HP 1
∴ = = ,
3 1 10
3 1
∴DP= ,HP= ,
10 10
11
∵D(0,1),∴H( ,¹³),
10
√ ( 1 ) 2 (13) 2 √1010
根据勾股定理，得 HB= 3− + = .
10 10 10
∴10BH=√1010,
∴10BG+√10FG的最小值是 √1010.
2. 解:(1)∵抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)过C(0,4),
∴抛物线的解析式为 y=ax²+bx+4,
4
{ a=−
{ a−b+4=0 3
, ,
∴将点 A，B的坐标代入抛物线的解析式，得 解得
9a+3b+4=0 8
b=
3
4 8
∴ 抛物线的解析式为
y=− x2+ x+4;
3 3
(2)【思 路 点 拨】由 PR∥y 轴,得到 ∠OCB =∠PRQ，设出点P的坐标，表示出PR的长，结合三角函数表示
PQ，QR的长，再利用二次函数的性质求解即可.
∵B(3,0),C(0,4),
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4
∴ 直 线 BC 的 解 析 式 为 y=− x+4,BC= √OC2+OB2=5,
3
∵PR∥y轴,∴∠OCB=∠PRQ,
PQ OB 3
∴sin∠PRQ=sin∠OCB= = = ,
PR BC 5
RQ OC 4
cos∠PRQ=cos∠OCB= = = ,
PR BC 5
3 4
∴PQ= PR,QR= PR.
5 5
3 4 12
∴△PQR 的周长为 PR+PQ+QR=PR+ PR+ PR= PR,
5 5 5
设点 P ( x,− 4 x2+ 8 x+4 ) ,且 0
