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利用“点圆”“线圆”解决线段最值问题
一 阶 方法突破练
1.如图，一次函数 y=x+3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，⊙O的半径为 √2,点C是一次函数
y=x+3图象上一点，点 D是⊙O 上一点，求CD长的最小值.
2.如图，抛物线 y=ax²+bx+4(a<0)与以A为圆心，AO长为半径的圆交y轴于点C，与⊙A的另一个交点
为 B(−1,5),，且圆心A在抛物线上，求抛物线的解析式.
3.如图，抛物线 y=x²−3x−4与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B,点C(0,1),以C为圆心,1为半径画
圆,点P在⊙C上,连接AB,AP,BP,求 △ABP面积的最小值.
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二阶 设问进阶练
例 如图，抛物线 y=−x²−3x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C.
1
(1)若以点 C 为圆心，1为半径的圆上有一动点 P，连接BP，点Q 为线段BP上一点，且 BQ= BP,求线段
5
OQ 的最大值；
(2)若点 D为抛物线上一点且横坐标为 −3,点E为y轴上一点，点 F在以点A为圆心，2为半径的圆上，求
DE+EF的最小值；
(3)若以点B为圆心，3为半径作圆，与x轴的正半轴交于点H，点M是⊙B上的一动点，连接AM，以AM为
直角边向下作等腰 Rt△MAN,且 ∠MAN=90°,，连接 NH，求线段 NH 长度的取值范围.
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综合强化练
1.如图，已知抛物线 y=ax²+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)⊙M是 △ABC的外接圆，求⊙M的半径和圆心M的坐标；
(3)若点P是x轴上的动点，抛物线与⊙M的另一个交点为点 D，当 PD+PM的值最小时，求 PD+PM的最
小值和P点的坐标.
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2.如图，抛物线 y=ax²+bx与x轴交于点A(4，0)，顶点B的坐标为( (2,−2),,连接AB,作直线OC∥AB 交抛
物线于点 C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标;
(3)若点D是抛物线上对称轴右侧的一个动点，以点 D 为圆心，以 √2个单位长度为半径作⊙D,当⊙D与直线
OC 相切时,求点 D坐标.
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3.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax²−2ax+a+2(a≠0)与x轴交于 A(−1,0),B 两点.
(1)求a的值;
(2)点M是第四象限内抛物线上的一点，过点B作. BN//AM,连接MN交x轴于点C，若 S : S =9:4,
ACM BCN
求直线 MN的解析式；
( 5)
(3)如图②,过点 P 0,− 作x轴的平行线交抛物线于H，R两点.在抛物线上存在一点E，使得以点E为圆心
2
的⊙E过点 P，R，且与直线 y=d相切.求⊙E的半径和d的值.
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一阶 方法突破练
1. 解：∵ 一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,
令x=0,解得y=3,
令y=0,解得x=-3,
∴A(-3,0),B(0,3),
∴AO=3,OB=3,
∴AB=3√2.
作圆心到直线的垂线.
如解图,过点 O 作 OC'⊥AB 于点 C',交⊙O 于点D',则当点C 在C'处,点D 在 D'处时,CD最小,为C'D'.
1 1
∵S = AO⋅BO= AB⋅C'O,
AOB 2 2
3√2
∴C'O= ,
2
3√2 √2
∴C'D'=C'O−D'O= −√2= ,
2 2
√2
∴CD 长的最小值为 .
2
2. 解:∵ 抛物线 y=ax²+bx+4(a<0)与以A 为圆心,AO长为半径的圆交y轴于点C,∴C(0,4),∴OC=4,如解图,
连接AO,AB,AC,
∵以A为圆心，以 AO 的长为半径的圆恰好经过点B,C,
∴AO=AB=AC,
∴△AOC是等腰三角形,
∴A点在线段 OC的垂直平分线上，
∴点A 的纵坐标为2,设点A 的坐标为(x,2),
∵ AB=AC,B(-1,5),
∴AB²=AC²,即 (x+1)²+(2−5)²=x²+(2−4)²,解得x=-3,
∴A(-3,2),
5
{ a=−
{ a−b+4=5 6
把B(-1,5),A(-3,2)分别代入 y=ax²+bx+4,得 , 解得
9a−3b+4=2 11
b=−
6
5 11
∴ 抛物线的解析式为
y=− x2− x+4.
6 6
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3. 解:如解图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,交⊙C 于点P',连接P'A,P'B,此时△P'AB 的面积最小,当x=0
时,y=-4,∴B(0,-4),当y=0时,x=4或x=-1,
∵点A在x轴的正半轴上,∴A(4,0).
∵C(0,1),∴BC=5,AO=4,BO=4,∴AB=4 √2.
∵∠ABO=∠CBD,∠AOB=∠CDB=90°,
∴△AOB∽△CDB,
CD BC BC⋅AO 5√2
∴ = ,∴CD= = ,
AO BA BA 2
5√2
∴DP'=CD−CP'= −1,
2
∴S = 1 AB⋅P'D= 1 ×4√2× (5√2 −1 ) =10−2√2.
P'AB 2 2 2
∴△ABP面积的最小值为 10−2√2.
二阶 设问进阶练
1
例 解:((1)令 y=−x²−3x+4=0,则 x₁=1,x₂=−4,∴A(-4,0),B(1,0),则AB=5,即 OB= AB,令x=0,则
5
y=4,∴C(0,4),如解图①,连接 AC,AP,CP,则 AC=4√2,
1
∵∠QBO=∠PBA,且 BQ= BP,则△ABP∽△OBQ,
5
∴AB:OB=AP:OQ=BP:BQ=5:1,当A,C,P 三点共线,且点 C 在 AP 之间时,AP 最大,此时 OQ最大,
1 1 4√2+1
则 OQ= AP= (AC+1)= ,
5 5 5
4√2+1
∴ 线段OQ的最大值为 ;
5
(2)∵ 点 D 为抛物线上一点且横坐标为-3，
∴将x=-3代入抛物线解析式中得y=4，
∴D(-3,4),
如解图②，作点D关于y轴的对称点G，连接AG交y轴于点 E',交⊙A于点 F',连接DE',DF',
∴DE'=E'G,G(3,4),
∴DE'+E'F'=F'G,DE+ElF的最小值为
F'G,
∴F'G=AG−2=√65−2,
∴ DE + EF 的 最 小 值 为 √65−2;
(3)如解图③,将点 B 绕 A 点顺时针旋转 90°到点B',连接AB',MB,B'N,
∵∠B'AN+∠BAN=90°,∠BAM+∠BAN=90°,
∴∠B'AN=∠BAM,
∵AB=AB',NA=MA,
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∴△AB'N≌△ABM(SAS),
∴BM=B'N,
∴BM=B'N=3,
∴N在以 B'为圆心,3 为半径的圆上运动，
∵ B(1,0),A(-4,0),
∴B'(-4,-5),
∵ BM=3,∴H(4,0),
∴B'H=√89,
∴NH 的最大值为 √89+3,，NH的最小值为 √89−3,
∴线段 NH 长度的取值范围为 √89−3≤NH≤ √89+3.
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3),
∴ 抛物线的解析式为 y=ax²+bx+3,
∴把A(-1,0),B(3,0)分别代入抛物线 y=ax²+bx+3中,
{ a−b+3=0 {a=−1
, ,
得 解得
9a+3b+3=0 b=2
∴抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3;
(2)【思路点拨】三角形外接圆的圆心为三角形三边垂直平分线的交点，由圆的基本性质可得 CM=BM，再由
两点间的距离公式求圆心M的坐标即可.
如解图①,连接MC,MB,
∵三角形外接圆的圆心为三角形三条边垂直平分线的交点，
∴设M(1,m),
∵ MB=MC,
∴√(1−3) 2+(m−0) 2=
√(1−0) 2+(m−3) 2,
解得m=1,
∴M(1,1),
∴MB=√(3−1) 2+(0−1) 2=√5,
∴⊙M的半径为 √5,圆心M的坐标为(1,1);
(3)【思路点拨】作点D(或点M)关于x轴的对称点D',连接D'M交x 轴于点 P,此时 PD+PM 的值最小,为
MD'的长.
∵抛物线 y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵M(1,1),点M到C,D的距离相等,
∴点C，点D关于抛物线的对称轴对称，
∴D(2,3),
如解图②，设点D关于x轴的对称点为 D',连接 MD'交 x 轴于点 P,则D'(2,-3),
∴PD+PM=PD'+PM≥M D',
∴当M,P,D'三点共线时,PD+PM 有最小值,为MD',
∴M D'=√ (1−2) 2+[1−(−3)] 2 =√17,
{ k+b=1 {k=−4
, ,
设直线MD'的解析式为y=kx+b(k≠0),将M,D'两点坐标代入得 解得
2k+b=−3 b=5
∴直线MD'的解析式为y=-4x+5,
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5
当y=0时,-4x+5=0,解得 x= ,
4
5
∴P( ,0),PD+PM 的最小值为 √17.
4
2. 解:(1)∵ 抛物线 y=ax²+bx与 x 轴交于点 A(4,0),顶点为B(2,-2),
{ 1
{16a+4b=0 a= ,
∴把A(4,0),B(2,-2)分别代入 y=ax²+bx,得 , 解得 2
4a+2b=−2
b=−2
1
∴抛物线的解析式为
y= x2−2x;
2
(2)如解图①,过点B作BM⊥x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点 N,
∵A(4,0),B(2,-2),∴BM=AM=OM=2,
∴∠OAB=∠MBA=45°,
∵OC∥AB,
1 1
∴∠CON=∠OAB=45°,∴CN=ON,设C(m,m),把C点坐标代入 y= x2−2x,得 m2−2m=m,解得 m₁=0(舍
2 2
去), m₂=6,∴点C的坐标为(6,6);
(3)设⊙D 与直线 OC 相切于点 E,如解图②,当点 D 在直线 OC下方时,连接 DE,则 DE⊥OC, DE=√2,,过点D
作DF⊥DE交x轴于点 F,过点F作FQ⊥OC 于点 Q,则四边形 FQED 是矩形,
∴FQ=DE=√2,
由(2)可知,∠COA=45°,
∴OQ=FQ=√2,∴OF=2,
∴F(2,0),
设直线OC的表达式为y=kx，
把C(6,6)代入得k=1,
∴直线OC的表达式为y=x,
∵FD∥OC,
∴设直线 FD的表达式为y=x+n,
把F(2,0)代入y=x+n,得2+n=0,解得n=-2,
∴直线FD 的表达式为γ=x-2,
1
联立抛物线与直线 FD的表达式得 x2−2x=x−2,解得 x =3+√5,x =3−√5,
2 1 2
∵ 点 D 是抛物线上对称轴右侧的一个动点，
∴D(3+√5,1+√5),
同理可得，当点 D 在直线 OC上方时，点 D 的坐标为 (3+√13,5+√13).
综上所述，点 D 的坐标为 (3+√5,1+√5)或(3+ √13,5+√13).
3. 解:(1)∵抛物线 y=ax²−2ax+a+2(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B两点,
1 1
∴将A点坐标代入抛物线解析式，得a+2a+a+2=0,解得 a=− ,∴a的值为 − ;
2 2
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(2)【思路点拨】由面积比得出相似比，以M，N两点坐标构造相似三角形，分别联立直线AM，BN 和抛物
线的解析式得出M，N横坐标之间的关系，代入到构造的相似三角形比例关系中求解即可.
如解图①，过点 M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为S,T,
∵AM∥BN,∴△ACM∽△BCN.
∵S△ACM:S△BCN=9:4,∴MC:NC=AC:BC=3:2.
1 3
由(1)得，抛物线的解析式为 y=− x2+x+ ,当y=0时,解得x=-1或x=3,
2 2
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∵AC:BC=3:2,
12
∴AC:AB=3:5,故 AC= ,
5
(7 )
∴C ,0 ,
5
∵MS∥TN,
∴△MCS∽△NCT,
∴CS:CT=MC:NC=3:2,
∴(x −x ):(x −x )=3:2,
M c c N
( 7) (7 )
即 x − : −x =3:2,
M 5 5 N
∵A(-1,0),设直线AM的解析式为y=k(x+1),
联立抛物线与直线AM的解析式并整理，
得x²+2(k-1)x+2k-3=0,
故 x +x =2(1−k),
A M
同理可得，直线BN的解析式为：y=k(x-3), x +x =2(1−k),
B N
∴x −x +x −x =0,∴x −x =x −x =4,
M N A B M N B A
( 7) (7 ) 19 1 (19 48) ( 1 32)
∵ x − : −x =3:2,解得 x = ,x =− ,故点M，N的坐标分别为 ,− , − , ,由
M 5 5 N M 5 N 5 5 25 5 25
4 28
M,N 的坐标,得直线 MN 的解析式为 y = − x+ ;
5 25
(3)【思路点拨】画出草图，根据圆的基本性质、垂径定理及其推论可求出点E的坐标，再由勾股定理求d的
值即可.
1 3 1
∵ 抛物线 y=− x2+x+ =− (x−1) 2+2,
2 2 2
5 1 5
∴当 y=− 时, − (x−1) 2+2=− ,
2 2 2
( 5) ( 5)
解得x=4或 x=−2,∴H −2,− ,R 4,− ,
2 2
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如解图②,∵⊙E过点R,P,∴EP=ER,
∴点 E 为线段 RP 的垂直平分线与抛物线的交点，设点 F 为 RP 的中点,EF 交 x 轴于点 G,则
RF=PF=2,EF⊥RP,
3 3
当d>0时,设⊙E与直线y=d相切于点D,则ED⊥直线y=d,当x=2时,,y= ,∴E(2, ),
2 2
3 3 ( 5)
∴EG= ,EF= − − =4.
2 2 2
由勾股定理得 PE=√PF2+EF2=2√5,
∴⊙E 的半径为2 √5,∴DE=2 √5,
3 4√5+3 4√5+3
∴DG=DE+EG=2√5+ = ,∴d= ,同理,当d<0时,得
2 2 2
3 4√5−3 3−4√5
GQ=EQ−EG=2√5− = , ∴d= ,
2 2 2
4√5+3 3−4√5
综上所述，⊙E 的半径为2 √5,d 的值为 或 .
2 2
11
