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已知角度关系求动点坐标
一阶 方法突破练
1.如图，抛物线 y=x²−4x+3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC，已知点 D是抛物线上对称轴
右侧一动点，连接 CD，若 ∠BCD=∠ABC,求点 D 的坐标.
2.如图，已知抛物线 y=−x²+5x−4与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点 C，P 是x轴上方抛物线上一动
1
点，连接 BC，BP，当 ∠PBA= ∠PBC时，求直线 BP的解析式.
2
3
3. 如图,在平面直角坐标系中,点A(-1,0),B(4,0),C(0,2),点P在直线 l:x= 上，若 ∠APC+∠OAC=90°,求点
2
P 的坐标.
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二阶 设问进阶练
√3 2√3
例 如图，已知抛物线 y=− x2+ x+3√3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与x
9 3
轴交于点E，连接AC，BC.
(1)已知点G是抛物线上一点，连接CG，若 ∠GCB=∠ABC,求点G的坐标；
(2)已知R是y轴上一点，连接AR，若AR平分 ∠OAC,,求点R的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得 ∠AQC+∠CAB= 90°?若存在，求出点Q 的坐标；若不存
在，请说明理由.
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综合强化练
1.如图，抛物线 y=ax²+bx+2(a≠0)与x轴交于点. A(−1,0),B(2,0),与y轴交于点C，点 F 是抛物线上一
动点，过点 B，C 作直线 BC.
(1)求抛物线的解析式及 tan∠CBO的值；
√2
(2)当点 F 到直线 BC 的距离为 时，求点 F的坐标；
2
(3)(角度和为定值)过点 F 作 FE⊥x轴于点 E，交直线 BC于点D，若 ∠FCD+∠ACO=45°,求点 F 的坐
标.
作图区 答题区
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1
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+bx+c经过点 A(−7,24),B(0,10)
7
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接OA，点C 为线段OA上任意一点(与点O，A不重合)，过点C作. MN‖x轴，与y轴交于点M，与抛
物线的交点靠近y轴的记为点 N，若 MC=MN,，求点 C 的横坐标；
(3)(角度倍数关系)过点A作. AD‖x轴，与抛物线的另一个交点为点 D，与y轴交于点E，取OA 中点P，点Q
为直线AD上一动点，且点Q与点 A 不重合，当 ∠OPQ=3∠AQP时，请直接写出线段AQ的长.
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1
3.在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点 B左侧)，与y轴交于点 C，
2
1
直线 BC的解析式为 y= x−2.
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点M为线段BC上的一点，设点M的横坐标为t，过点 M作y轴的平行线，过点 C作x轴的平行
线，两条平行线相交于点N，将 △MCN沿 MC 翻折得到 △MCN',，当点 N'落在线段AB上时，求此时t的值；
(3)(同一三角形中角度倍数关系)如图②，点 D 是直线 BC 下方的抛物线上一点，过点 D 作DE⊥BC于点E,当
△CDE中的某个角恰好为 2∠ABC时，请求出点 D的横坐标.
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考向2 已知角度关系求动点坐标
一阶 方法突破练
1. 解：∵抛物线与y轴交于点C，
∴当x=0时,y=3,
∴C点坐标为(0,3),
∵y=x²−4x+3,
∴ 抛物线的对称轴为直线x=2,如解图,∵∠BCD=∠ABC,
∴CD∥AB,
∴点D 与点C 关于抛物线的对称轴直线x=2对称，∵C(0,3),∴D(4,3).
2. 解:如解图,过点 P 作 PH⊥x轴于点 H,
令x=0,得y=-4,令y=0,解得x=1或x=4,
∴B(4,0),C(0,-4),∴OB=OC,
∴∠ABC=45°(根据已知条件找特殊角).
1
∵ 点P位于x轴上方，且 ∠PBA= ∠PBC,
2
∴∠PBA=∠ABC=45°(由角度倍数关系计算角的度数求解)，
又∵∠PHB=90°,∴PH=BH,
设PH=BH=t,则(OH=4-t,∴P(4-t,t),
把P(4-t,t)代入 y=−x²+5x−4,
得 t=−(4−t)²+5(4−t)−4,
解得t=0(此时与点B重合,舍去)或t=2,
∴P(2,2).
∵B(4,0),
∴ BP所在直线的解析式为y=-x+4.
3. 解:∵A(-1,0),B(4,0),C(0,2),
∴AC=√5,BC=2√5,AB=5.
∵AC²+BC²=AB²,∴∠ACB=90°
3
∵ 直线l:x= ,A(-1,0),B(4,0)
2
3
∴线段AB 的中点坐标为(( ,0),
2
∴l与x轴的交点即为AB的中点，如解图，以AB 为直径画圆，l与AB 交点即为圆心，记为点 D(构造辅助
圆);∵∠ACB=90°,∴点C 在 ⊙D 上, ∴ ∠CAB +∠CBA=90°,
∵∠APC+∠OAC=90°,
∴∠CBA=∠CPA,
∴点 P是直线l与⊙D 的交点.
5
∴DP=AD= ,
2
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(3 5) (3 5)
∴点P的坐标为 , 或 ,− .
2 2 2 2
二阶 设问进阶练
√3 2√3
例 解：(1)∵ 抛物线的解析式为 y=− x2+ x+3 √3，与y轴交于点C，
9 3
∴抛物线的对称轴为直线x=3,C(0,3 √3),
①当点 G在线段 BC上方时，如解图①，
∵∠GCB=∠ABC,∴CG∥AB,
∴点 G 与点 C 关于抛物线的对称轴直线x=3 对称.∴G(6,3 √3);
②当点G在直线BC的下方时，如解图②，设 CG交x轴于点 T,
√3 2√3
令y=0,即 − x2+ x+3√3=0,
9 3
解得 x₁=−3,x₂=9,
∴A(-3,0),B(9,0).
OC 3√3 √3
∵在Rt△BOC中, tan∠CBO= = = ,
OB 9 3
∴∠CBA=30°.
∵∠GCB=∠ABC,∴∠TCB=∠CBA=30°.
∵∠OCB=60°,∴∠OCT=30°,在 Rt△COT中,( OT=CO⋅tan∠OCT=3√3×tan30❑∘=3,
∴点 T的坐标为(3,0),即点 T与点 E 重合,
设直线 CT的解析式为 y=k₁x+t₁(k₁≠0),
将点C(0,3 √3),T(3,0)代入,
{ t =3√3 {k =−√3
1 , 1 ,
得 解得
3k +t =0 t =3√3
1 1 1
∴ 直线 CT的解析式为 y=−√3x+3√3,
{ y=− √3 x2+ 2√3 x+3√3
联立 9 3 ,
y=−√3x+3√3
{ x =0 { x =15
1 2 ,
解得 (舍去),
y =3√3 y =−12√3
1 2
此时点 G的坐标为(15,-12 √3),
综上所述，点G 的坐标为(6，3 √3)或(15,-12 √3);
(2)如解图③,过点R 作RD⊥AC于点 D,设点 R的坐标为(0,r),
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∵AR平分∠OAC,RO⊥AO,RD⊥AC,
∴DR=RO,∠CDR=∠AOC=90°.
∵ ∠RCD=∠ACO,
∴△CDR∽△COA,
CR DR
∴ = .
CA OA
又∵点A(-3,0),C(0,3 √3),
∴OA=3,OC=3 √3,
在 Rt△AOC 中,由勾股定理得 AC=√OA2+OC2= √32+(3√3) 2=6,
3√3−r r
∴ = ,解得 r=√3,
6 3
∴点R的坐标为(0, √3);
(3)存在.
∵OC=3 √3,OA=3,∴∠ACO=30°,
由(1)得∠BCO=60°,
∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°.
要使得∠AQC+∠CAB=90°,只需∠AQC=∠ABC,
∴如解图④,点 Q 为以 AB 为直径的圆与抛物线对称轴的交点，
1
∵AB=12,∴EQ= AB=6,
2
∴点Q的坐标为(3,6)或(3,-6).
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵ 抛物线 y=ax²+bx+2与 x 轴交于点A(-1,0),B(2,0),
∴将A，B两点坐标代入，
{ a−b+2=0
,
得
4a+2b+2=0
{a=−1
,
解得
b=1
∴抛物线的解析式为 y=−x²+x+2,
∴C(0,2),∴OB=2,OC=2,
OC
∴在Rt△COB中,
tan∠CBO= =1;
OB
(2)【思路点拨】看到 √2，可想到等腰直角三角形，恰巧图中△OBC是等腰直角三角形，且. BC=2√2,可作
OD⊥BC于点D,得到( OD=√2,取OD的中点G，可得到12的距离，过点G 作 BC 的平行线与抛物线的交点即为
点 F，同理，在 BC 上方同样有一条符合题意的平行线.
如解图①,当点 F 在直线 BC 下方时,过点 O 作OD⊥BC 于点 D.
∵OB=2,OC=2,
∴△OBC是等腰直角三角形， ∴OD=√2.
取OD的中点G，过点 G作BC的平行线l₁，交y轴于点H，与抛物线的交点即为点 F，
∵B(2,0),C(0,2),
∴直线 BC的解析式为y=-x+2,
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1 1
∵直线 l BC,OG= OD,∴OH= OC=1,
1 2 2
则直线 l₁的解析式为y=-x+1,
{y=−x2+x+2
,
联立
y=−x+1
{x =1+√2 {x =1−√2
1 , 2 ,
解得
y =−√2 y =√2
1 2
∴ 点 F 的 坐 标 为 ( 1 + √2,−√2)或 (1−√2,√2),同理可得,当点 F 在 BC 上方时，直线 l₂ 的解析式为y=-
x+3,
{y=−x2+x+2
,
联立
y=−x+3
{x=1
解得
y=2
∴点F的坐标为(1,2),
综上所述，点 F 的坐标为 (1+√2,−√2)或 (1−√2, √2)或(1,2);
(3)【思路点拨】分点F在x轴上方和下方两种情况，可通过构造相似三角形得到线段的比例关系，得到直线
CF与x轴交点的坐标，进而得到 CF的解析式，与抛物线联立求得点 F的坐标.
当点 F在x轴的上方时，如解图②，延长CF交x轴于点 N,
∵OB=OC=2,∴∠BCO=∠OBC=45°,
∵∠FCD+∠ACO=45°,∠OBC=∠BCF+∠CNO=45°,∴∠ACO=∠CNB,
AO CO 1 2
又∵∠AOC=∠CON=90°,∴△AOC∽△CON, ∴ = ,∴ = ,
OC ON 2 ON
∴ON=4,∴点N的坐标为(4,0),
1 1 3
∵C(0,2),∴直线 CN的解析式为 y=− x+2,令 − x+2=−x2+x+2,解得x=0(舍去)或 x= ,
2 2 2
(3 5)
∴点F的坐标为( , ;
2 4
当点F在x轴下方时，如解图③，设CF与x轴交于点H,
∵∠FCD+∠ACO=45°,∠OCB=45°,
∴∠ACO=∠FCO,
又∵CO⊥AH,
∴ △AHC 是等腰三角形,
∴OH=OA=1,∴H(1,0),
∴ 直线 CH 的解析式为y=-2x+2,
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令 −2x+2=−x²+x+2,解得x=0(舍去)或x=3,
∴点F的坐标为(3,-4),
(3 5)
综上所述，点 F 的坐标为 , 或(3,-4).
2 4
1
2. 解:(1)将点A(-7,24),点 B(0,10)代入抛物线y=
x2+bx+c,
7
{1
×(−7) 2−7b+c=24 {b=−1
得 7 , 解得 ,
c=10
c=10
1
∴抛物线解析式为
y= x2−x+10;
7
(2)【思路点拨】设出 C点坐标,由MC=MN,则C、N两点关于y轴对称，表示出点N的坐标，代入抛物线解
析式，即可求得点N的横坐标.
如解图①，设线段 OA 所在直线的解析式为y=kx(k≠0),
24
将点A(-7,24)代入,得-7k=24,解得 k=− ,
7
24
∴ 线段 OA所在直线的解析式为 y=− x,
7
∵点 C在线段OA上，且与点O，A不重合，
( 24 )
∴设 C m,− m ,
7
( 24 )
∵ MC=MN且MN∥x轴,∴ N −m,− m ,(C,N 两点到y轴距离相等，则横坐标互为相反数)
7
1
∵ 点 N在抛物线
y= x2−x+10上,
7
1 24
∴ (−m) 2−(−m)+10=− m,
7 7
−31±√681
解得 m= ,
2
∵点C在线段OA上,
∴-7
