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江苏省南京市 2012 年中考数学试卷
一、选择题（本大题6小题，每小题2分，共12分，在每小题列出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，
请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1．（2012•南京）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．|﹣2| B．（﹣2）2 C．﹣ D．
2．（2012•南京）PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为
（ ）
A．0.25×10﹣5 B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣5 D．2.5×10﹣6
3．（2012•南京）计算（a2）3÷（a2）2的结果是（ ）
A．a B．a2 C．a3 D．a4
4．（2012•南京）12的负的平方根介于（ ）
A．﹣5与﹣4之间 B．﹣4与﹣3之间 C．﹣3与﹣2之间 D．﹣2与﹣1之间
5．（2012•南京）若反比例函数 与一次函数y=x+2的图象没有交点，则k的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．（2012•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经
过点B，EF为折叠，当D′F⊥CD时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．（2012•南京）使 有意义的x的取值范围是 ________ _ ．
8．（2012•南京）计算 的结果是 ________ _ ．
9．（2012•南京）方程 ﹣ =0的解是 ________ _ ．
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10．（2012•南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=
_________ ．
11．（2012•南京）已知一次函数y=kx+k﹣3的图象经过点（2，3），则k的值为 ________ _ ．
12．（2012•南京）已知下列函数①y=x2；②y=﹣x2；③y=（x﹣1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数
y=x2+2x﹣3的图象的有 ________ _ （填写所有正确选项的序号）．
13．（2012•南京）某公司全体员工年薪的具体情况如下表：
年薪 30 14 9 6 4 3.5 3
员工数/人 1 1 1 2 7 6 2
14．（2012•南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA
与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻
度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 ________ _ cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
15．（2012•南京）如图，在 ▱ABCD中，AD=10cm，CD=5cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=
_________ cm．
16．（2012•南京）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变
换．如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是（﹣1，1）、（﹣3，﹣1），把△ABC经过连续9次这
样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是 ________ _ ．
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三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
17．（2012•南京）解方程组 ．
18．（2012•南京）化简代数式 ，并判断当x满足不等式组 时该代数式的符
号．
19．（2012•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过点B作BE⊥AC，
与BD的垂线DE交于点E．
（1）求证：△ABC≌△BDE；
（2）△BDE可由△ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法）．
20．（2012•南京）某中学七年级学生共450人，其中男生250人，女生200人．该校对七年级所有学生进行了
一次体育测试，并随机抽取了50名男生和40名女生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
成绩 划记 频数 百分比
不及格 9 10%
及格 18 20%
良好 36 40%
优秀 27 30%
合计 90 90 100%
（2）从上表的“频数”，“百分比”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；
（3）估计该校七年级体育测试成绩不及格的人数．
21．（2012•南京）甲、乙、丙、丁4名同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出2名同学打第一场比赛，求下
列事件的概率：
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（1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学；
（2）随机选取2名同学，其中有乙同学．
22．（2012•南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分
别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．
23．（2012•南京）看图说故事．
请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：
①指出变量x和y的含义；
②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．
24．（2012•南京）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O 和扇形O CD中，⊙O 与O C、
1 2 1 2
O D分别切于点A、B，已知∠CO D=60°，E、F是直线O O 与⊙O 、扇形O CD的两个交点，且EF=24cm，设
2 2 1 2 1 2
⊙O 的半径为xcm．
1
（1）用含x的代数式表示扇形O CD的半径；
2
（2）若⊙O 和扇形O CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O 的半径为多少时，该
1 2 1
玩具的制作成本最小？
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25．（2012•南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下
关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低
0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；
销售量在10部以上，每部返利1万元．
（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 ________ _ 万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利
润+返利）
26．（2012•南京）下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．
题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空
地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？
解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得x•2x=288．
解这个方程，得x =﹣12（不合题意，舍去），x =12
1 2
所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）
答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．
结果为何正确呢？
（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：
变化一下会怎样…
（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与
B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足
什么条件？请说明理由．
27．（2012•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是
⊙O上关于点A、B的滑动角．
（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，
①若AB是⊙O的直径，则∠APB= ________ _ °；
②若⊙O的半径是1，AB= ，求∠APB的度数；
（2）已知O 是⊙O 外一点，以O 为圆心作一个圆与⊙O 相交于A、B两点，∠APB是⊙O 上关于点A、B的
2 1 2 1 1
滑动角，直线PA、PB分别交⊙O 于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与
2
∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
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2012 年江苏省南京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题6小题，每小题2分，共12分，在每小题列出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，
请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1．（2012•南京）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．|﹣2| B．（﹣2）2 C．﹣ D．
考点：实数的运算；正数和负数。
专题：计算题。
分析：根据绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、|﹣2|=2，是正数，故本选项错误；
B、（﹣2）2=4，是正数，故本选项错误；
C、﹣ ＜0，是负数，故本选项正确；
D、 = =2，是正数，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了实数的运用，主要利用了绝对值的性质，有理数的乘方，以及算术平方根的定义，先化简
是判断正、负数的关键．
2．（2012•南京）PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为
（ ）
A．0.25×10﹣5 B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣5 D．2.5×10﹣6
考点：科学记数法—表示较小的数。
分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同
的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答：解：0.000 0025=2.5×10﹣6；
故选：D．
点评：本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2012•南京）计算（a2）3÷（a2）2的结果是（ ）
A．a B．a2 C．a3 D．a4
考点：整式的除法。
分析：根据幂的乘方首先进行化简，再利用同底数幂的除法的运算法则计算后直接选取答案．
解答：解：（a2）3÷（a2）2
=a6÷a4
=a2．
故选：B．
点评：本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
4．（2012•南京）12的负的平方根介于（ ）
A．﹣5与﹣4之间 B．﹣4与﹣3之间 C．﹣3与﹣2之间 D．﹣2与﹣1之间
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考点：估算无理数的大小。
专题：计算题。
分析：根据 ＜ ＜ ，可得出答案．
解答：解：由题意得， ＜ ＜ ，
故﹣ ＜﹣ ＜﹣ ，介于﹣4与﹣3之间．
故选B．
点评：此题考查了估算无理数大小的知识，属于基础题，注意“夹逼法”的运用．
5．（2012•南京）若反比例函数 与一次函数y=x+2的图象没有交点，则k的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：探究型。
分析：先把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符合
条件的k的值即可．
解答：
解：∵反比例函数 与一次函数y=x+2的图象没有交点，
∴ 无解，即 =x+2无解，整理得x2+2x﹣k=0，
∴△=4+4k＜0，解得k＜﹣1，四个选项中只有﹣2＜﹣1，所以只有A符合条件．
故选A．
点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意把函数的交点问题转化为求一元二次方
程解的问题是解答此题的关键．
6．（2012•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经
过点B，EF为折叠，当D′F⊥CD时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
考点：翻折变换（折叠问题）。
分析：首先延长DC与A′D′，交于点M，由四边形ABCD是菱形与折叠的性质，易求得△BCM是等腰三角
形，△D′FM是含30°角的直角三角形，然后设CF=x，D′F=DF=y，利用正切函数的知识，即可求得答
案．
解答：解：延长DC与A′D′，交于点M，
∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，
∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD，
∴∠D=180°﹣∠A=120°，
根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，
∴∠FD′M=180°﹣∠A′D′F=60°，
∵D′F⊥ CD，
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∴∠D′FM=90°，∠M=90°﹣∠FD′M=30°，
∵∠BCM=180°﹣∠BCD=120°，
∴∠CBM=180°﹣∠BCM﹣∠M=30°，
∴∠CBM=∠M，
∴BC=CM，
设CF=x，D′F=DF=y，
则BC=CM=CD=CF+DF=x+y，
∴FM=CM+CF=2x+y，
在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°= = ，
∴x= y，
∴ = = ．
故选A．
点评：此题考查了折叠的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较
大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．（2012•南京）使 有意义的x的取值范围是 x≤ 1 ．
考点：二次根式有意义的条件。
专题：计算题。
分析：根据二次根式的被开方数为非负数，即可得出x的范围．
解答：解：∵ 有意义，
∴1﹣x≥0，
解得：x≤1．
故答案为：x≤1．
点评：此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数为
非负数．
8．（2012•南京）计算 的结果是 +1 ．
考点：分母有理化。
专题：计算题。
分析：分子分母同时乘以 即可进行分母有理化．
解答：
解：原式= = = +1．
故答案为： +1．
点评：此题考查了分母有理化的知识，属于基础题，注意掌握分母有理化的法则．
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9．（2012•南京）方程 ﹣ =0的解是 x= 6 ．
考点：解分式方程。
专题：计算题。
分析：先去分母，然后求出整式方程的解，继而代入检验即可得出方程的根．
解答：解：去分母得：3（x﹣2）﹣2x=0，
去括号得：3x﹣6﹣2x=0，
整理得：x=6，
经检验得x=6是方程的根．
故答案为：x=6．
点评：此题考查了解分式方程的知识，注意分式方程要化为整式方程求解，求得结果后一定要检验．
10．（2012•南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=
300° ．
考点：多边形内角与外角。
专题：数形结合。
分析：根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．
解答：解：由题意得，∠5=180°﹣∠EAB=60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣∠5=300°．
故答案为：300°．
点评：本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单．
11．（2012•南京）已知一次函数y=kx+k﹣3的图象经过点（2，3），则k的值为 2 ．
考点：待定系数法求一次函数解析式。
分析：将点（2，3）代入y=kx+k﹣3可得关于k的方程，解方程求出k的值即可．
解答：解：将点（2，3）代入一次函数y=kx+k﹣3，
可得：3=2k+k﹣3，
解得：k=2．
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故答案为：2．
点评：本题考查待定系数法求函数解析式，比较简单，注意掌握待定系数的运用．
12．（2012•南京）已知下列函数①y=x2；②y=﹣x2；③y=（x﹣1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数
y=x2+2x﹣3的图象的有 ①③ （填写所有正确选项的序号）．
考点：二次函数图象与几何变换。
专题：探究型。
分析：先把原式化为顶点式的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可．
解答：解：原式可化为：y=（x+1）2﹣4，
由函数图象平移的法则可知，将函数y=x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到
函数y=（x+1）2﹣4，的图象，故①正确；
函数y=（x+1）2﹣4的图象开口向上，函数y=﹣x2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；
将y=（x﹣1）2+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）2﹣4的图象，
故③正确．
故答案为：①③．
点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
13．（2012•南京）某公司全体员工年薪的具体情况如下表：
年薪 30 14 9 6 4 3.5 3
员工数/人 1 1 1 2 7 6 2
考点：中位数；加权平均数。
专题：推理填空题。
分析：根据加权平均数的定义求出员工的工资平均数，再找的第10和11人的工资，求出其平均数，即为该
组数据的中位数．
解答：
解： =（30+14+9+6×2+4×7+3.5×6+3×2）× =120× =6，
其中位数为第10个数和第11个数，工资均为4，
故该公司全体员工年薪的平均数比中位数多6﹣4=2万元．
故答案为2．
点评：本题考查了中位数、加权平均数，熟悉平均数和加权平均数的定义是解题的关键．
14．（2012•南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA
与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻
度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 2. 7 cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
考点：解直角三角形的应用。
分析：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．首先在等腰直角△BOD中，得到BD=OD=2cm，则
CE=2cm，然后在直角△COE中，根据正切函数的定义即可求出OE的长度．
解答：解：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．
在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，
∴BD=OD=2cm，
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∴CE=BD=2cm．
在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，
∵tan37°= ≈0.75，∴OE≈2.7cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．
故答案为2.7．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题型，难度中等，通过作辅助线得到CE=BD=2cm是解题
的关键．
15．（2012•南京）如图，在 ▱ABCD中，AD=10cm，CD=5cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=
2.5 cm．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。
专题：探究型。
分析：先根据平行四边形的性质得出∠2=∠3，再根据BE=BC，CE=CD，∠1=∠2，∠3=∠D，进而得出
∠1=∠2=∠3=∠D，故可得出△BCE∽△CDE，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=10cm，CD=5cm，
∴BC=AD=10cm，AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∵BE=BC，CE=CD，
∴BE=BC=10cm，CE=CD=5cm，∠1=∠2，∠3=∠D，
∴∠1=∠2=∠3=∠D，
∴△BCE∽△CDE，
∴ = ，即 = ，解得DE=2.5cm．
故答案为：2.5．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，根据题意得出△BCE∽△CDE是解答此
题的关键．
16．（2012•南京）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变
换．如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是（﹣1，1）、（﹣3，﹣1），把△ABC经过连续9次这
样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是 （ 1 6 ， 1+ ） ．
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考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质。
分析：首先由△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（﹣1，1）、（﹣3，﹣1），求得点A的坐标，然后根
据题意求得第1次、2次、3次变换后的点A的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点A的对
应点的为：当n为奇数时为（2n﹣2，1+ ），当n为偶数时为（2n﹣2，﹣1﹣ ），继而求得把△ABC
经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标．
解答：解：∵△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（﹣1，1）、（﹣3，﹣1），
∴点A的坐标为（﹣2，﹣1﹣ ），
根据题意得：第1次变换后的点A的对应点的坐标为（﹣2+2，1+ ），即（0，1+ ），
第2次变换后的点A的对应点的坐标为（0+2，﹣1﹣ ），即（2，﹣1﹣ ），
第3次变换后的点A的对应点的坐标为（2+2，1+ ），即（4，1+ ），
第n次变换后的点A的对应点的为：当n为奇数时为（2n﹣2，1+ ），当n为偶数时为（2n﹣2，﹣1﹣
），
∴把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是：（16，1+ ）．
故答案为：（16，1+ ）．
点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的点A
的对应点的为：当n为奇数时为（2n﹣2，1+ ），当n为偶数时为（2n﹣2，﹣1﹣ ）是解此题的关
键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
17．（2012•南京）解方程组 ．
考点：解二元一次方程组。
专题：计算题。
分析：先由①表示出x，然后将x的值代入②，可得出y的值，再代入①可得出x的值，继而得出了方程组的
解．
解答：
解：
由①得x=﹣3y﹣1③，
将③代入②，得3（﹣3y﹣1）﹣2y=8，
解得：y=﹣1．
将y=﹣1代入③，得x=2．
故原方程组的解是 ．
点评：此题考查了解一元二次方程的知识，属于基础题，注意掌握换元法解二元一次方程．
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18．（2012•南京）化简代数式 ，并判断当x满足不等式组 时该代数式的符
号．
考点：分式的化简求值；解一元一次不等式组。
分析：做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的
先分解，然后约分化简为 ；再分别求出一元一次不等式组中两个不等式的解，从而得到一元一次
不等式组的解集，依此分别确定x+1＜0，x+2＞0，从而求解．
解答：
解：
=
=
= ，
，
解不等式①，得x＜﹣1．
解不等式②，得x＞﹣2．
所以，不等式组 的解集是﹣2＜x＜﹣1．
当﹣2＜x＜﹣1时，x+1＜0，x+2＞0，
所以 ，即该代数式的符号位负号．
点评：考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，本题的关键是得到化简后的分式中分子和分母的符
号．注意分式的化简求值中，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
19．（2012•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过点B作BE⊥AC，
与BD的垂线DE交于点E．
（1）求证：△ABC≌△BDE；
（2）△BDE可由△ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法）．
考点：作图-旋转变换；全等三角形的判定。
分析：（1）利用已知得出∠A=∠DBE，进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可；
（2）利用垂直平分线的性质可以作出，或者利用正方形性质得出旋转中心即可．
解答：（1）证明：在Rt△ABC中，
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∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠DBE=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠ABE+∠A=90°，
∴∠A=∠DBE，
∵DE是BD的垂线，
∴∠D=90°，
在△ABC和△BDE中，
∵ ，
∴△ABC≌△BDE（ASA）；
（2）作法一：如图①，点O就是所求的旋转中心．
作法二：如图②，点O就是所求的旋转中心．
点评：此题主要考查了旋转变换图形的性质以及全等三角形的证明，正确发现图形中等量关系∠A=∠DBE
是解题关键．
20．（2012•南京）某中学七年级学生共450人，其中男生250人，女生200人．该校对七年级所有学生进行了
一次体育测试，并随机抽取了50名男生和40名女生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
成绩 划记 频数 百分比
不及格 9 10%
及格 18 20%
良好 36 40%
优秀 27 30%
合计 90 90 100%
（2）从上表的“频数”，“百分比”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；
（3）估计该校七年级体育测试成绩不及格的人数．
考点：频数（率）分布表；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图。
专题：图表型。
分析：（1）所抽取男生和女生的数量应该按照比例进行，根据这一点进行说明即可；
（2）可选择扇形统计图，表示出各种情况的百分比；
（3）根据频数=总数×频率即可得出答案．
解答：
解：（1）因为250× =50（人），200× =40（人）
所以，该校从七年级学生中随机抽取90名学生，应当抽取50名男生和40名女生；
（2）选择扇形统计图，表示各种情况的百分比，图形如下：
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．
（3）450×10%=45（人）
答：估计该校七年级学生体育测试成绩不及格45人．
点评：此题考查了扇形统计图及用样本估计总体的知识，关键是明白频数=总数×频率这一关系式，另外要
求我们能自己做出条形统计图及扇形统计图．
21．（2012•南京）甲、乙、丙、丁4名同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出2名同学打第一场比赛，求下
列事件的概率：
（1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学；
（2）随机选取2名同学，其中有乙同学．
考点：列表法与树状图法。
分析：（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案；
（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
解答：
解：（1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是 ；
（2）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学，
所有可能出现的结果有：（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（乙、丙）、（乙、丁）、（丙、丁），共有6种，
它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“随机选取2名同学，其中有乙同学”（记为事件A）的
结果有3种，
所以P（A）= = ．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重
复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
22．（2012•南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分
别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．
考点：等腰梯形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；正方形的判定；梯形中位线定理。
专题：几何综合题。
分析：（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．
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（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2= ，也即得出了正
方形EHGF的面积．
解答：证明：（1）在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
故可得：EF= AC，同理FG= BD，GH= AC，HE= BD，
在梯形ABCD中，AB=DC，
故AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
设AC与EH交于点M，
在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，
则EH∥BD，
同理GH∥AC，
又∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴∠EHG=∠EMC=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）连接EG．
在梯形ABCD中，
∵E、F分别是AB、DC的中点，
∴EG= （AD+BC）=3．
在Rt△EHG中，
∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，
∴EH2= ，即四边形EFGH的面积为 ．
点评：此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的内角和定
理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．
23．（2012•南京）看图说故事．
请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：
①指出变量x和y的含义；
②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．
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考点：函数的图象。
专题：开放型。
分析：①结合实际意义得到变量x和y的含义；
②由于函数须涉及“速度”这个量，只要叙述清楚时间及相应的路程，体现出函数的变化即可．
解答：解：本题答案不唯一，下列解法供参考．
①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y（单位：km）与他所用的时间x（单位：min）的关系．
②小明以400m/min的速度匀速骑了5min，在原地休息了6min，然后以500m/min的速度匀速骑车回
出发地．
点评：考查了函数的图象，本题需把握住图象的变化情况，描述清楚、合理即可．
24．（2012•南京）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O 和扇形O CD中，⊙O 与O C、
1 2 1 2
O D分别切于点A、B，已知∠CO D=60°，E、F是直线O O 与⊙O 、扇形O CD的两个交点，且EF=24cm，设
2 2 1 2 1 2
⊙O 的半径为xcm．
1
（1）用含x的代数式表示扇形O CD的半径；
2
（2）若⊙O 和扇形O CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O 的半径为多少时，该
1 2 1
玩具的制作成本最小？
考点：切线的性质；二次函数的最值；扇形面积的计算；解直角三角形。
专题：代数几何综合题。
分析：
（1）连接O
1
A．利用切线的性质知∠AO
2
O
1
= ∠CO
2
D=30°；然后在Rt△O
1
AO
2
中利用锐角三角函数的
定义求得O O =2x；最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O CD的半径FO 为：
1 2 2 2
EF﹣EO ﹣O O =24﹣3x；
1 1 2
（2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关
系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本．
解答：解：（1）连接O A．
1
∵⊙O 与O C、O D分别切一点A、B
1 2 2
∴O
1
A⊥O
2
C，O
2
E平分∠CO
2
D，
∴∠AO
2
O
1
= ∠CO
2
D=30°，
在Rt△O
1
AO
2
中，sin∠AO
2
O
1
= ，
∴O O = = =2x．
1 2
∴FO =EF﹣EO ﹣O O =24﹣3x，即扇形O CD的半径为（24﹣3x）cm．
2 1 1 2 2
（2）设该玩具的制作成本为y元，则
y=0.45πx2+0.06×
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=0.9πx2﹣7.2πx+28.8π
=0.9π（x﹣4）2+14.4π
所以当x﹣4=0，即x=4时，y的值最小．
答：当⊙O 的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小．
1
点评：本题考查了切线的性质、扇形面积的计算、解直角三角形以及二次函数的最值．在利用二次函数求最
值时，此题采用了配方法．
25．（2012•南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下
关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低
0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；
销售量在10部以上，每部返利1万元．
（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 26. 8 万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利
润+返利）
考点：一元二次方程的应用。
分析：（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进
价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27﹣0.1×2，即可得出
答案；
（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，
分别讨论得出即可．
解答：解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进
价均降低0.1万元/部，
∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27﹣0.1×2=26.8，
故答案为：26.8；
（2）设需要售出x部汽车，
由题意可知，每部汽车的销售利润为：
28﹣[27﹣0.1（x﹣1）]=（0.1x+0.9）（万元），
当0≤x≤10，
根据题意，得x•（0.1x+0.9）+0.5x=12，
整理，得x2+14x﹣120=0，
解这个方程，得x =﹣20（不合题意，舍去），x =6，
1 2
当x＞10时，
根据题意，得x•（0.1x+0.9）+x=12，
整理，得x2+19x﹣120=0，
解这个方程，得x =﹣24（不合题意，舍去），x =5，
1 2
因为5＜10，所以x =5舍去，
2
答：需要售出6部汽车．
点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的
等量关系并进行分段讨论是解题关键．
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26．（2012•南京）下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．
题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空
地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？
解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得x•2x=288．
解这个方程，得x =﹣12（不合题意，舍去），x =12
1 2
所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）
答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．
结果为何正确呢？
（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：
变化一下会怎样…
（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与
B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足
什么条件？请说明理由．
考点：相似多边形的性质；一元二次方程的应用。
分析：（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜
种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得方 ，矩形蔬菜种植区域的长
与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；
（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得 ，即
，然后利用比例的性质，即可求得答案．
解答：解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：
设温室的宽为ym，则长为2ym．
则矩形蔬菜种植区域的宽为（y﹣1﹣1）m，长为（2y﹣3﹣1）m．
∵ ，
∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；
（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，
就要 ，即 ，
即 ，
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即 ．
点评：此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．
27．（2012•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是
⊙O上关于点A、B的滑动角．
（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，
①若AB是⊙O的直径，则∠APB= 9 0 °；
②若⊙O的半径是1，AB= ，求∠APB的度数；
（2）已知O 是⊙O 外一点，以O 为圆心作一个圆与⊙O 相交于A、B两点，∠APB是⊙O 上关于点A、B的
2 1 2 1 1
滑动角，直线PA、PB分别交⊙O 于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与
2
∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
考点：勾股定理；垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；圆与圆的位置关系。
专题：几何综合题。
分析：（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；
②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧 上；点P在劣弧 上两种情况讨论求
解；
（2）根据点P在⊙O 上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
1
解答：解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90．
②如图，连接AB、OA、OB．
在△AOB中，
∵OA=OB=1．AB= ，
∴OA2+OB2=AB2．
∴∠AOB=90°．
当点P在优弧 上时，∠AP
1
B= ∠AOB=45°；
当点P在劣弧 上时，∠AP B= （360°﹣∠AOB）=135°…6分
2
（2）根据点P在⊙O 上的位置分为以下四种情况．
1
第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①
∵∠MAN=∠APB+∠ANB，
∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB；
第二种情况：点P在⊙O 外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．
2
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB），
∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°；
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第三种情况：点P在⊙O 外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．
2
∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，
∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB，
第四种情况：点P在⊙O 内，如图④，
2
∠APB=∠MAN+∠ANB．
点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运
用．
22 祝大家学业有成！
