文档内容
2024年江苏省淮安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项
是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列实数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．﹣3
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a•a3＝a4 B．a2+a3＝a5 C．a6÷a＝a6 D．（a3）4＝a7
3．（3分）中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，AB∥CD，点E在直线AB上，点F、G在直线CD上，∠FEG＝90°，∠EGF＝
28°，则∠AEF的度数是（ ）
A．46° B．56° C．62° D．72°
5．（3分）用一根小木棒与两根长度分别为3cm、5cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的
长度可以是（ ）
A．9cm B．7cm C．2cm D．1cm
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（
）
A．k≥4 B．k＞4 C．k≤4 D．k＜4
7．（3分）如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都
有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（
）
1A．14 B．13 C．12 D．11
8．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的动点（BP＞1），将
△ABP沿AP翻折得△AB′P，射线PB′与射线AD交于点E．下列说法不正确的是
▱
（ ）
A．当AB'⊥AB时，B′A＝B′E
B．当点B′落在AD上时，四边形ABPB′是菱形
C．在点P运动的过程中，线段AE的最小值为2
D．连接BB'，则四边形ABPB′的面积始终等于 AP•BB'
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接写在
答题卡相应位置上）
9．（3分）计算： ＝ ．
10．（3分）分解因式：a2﹣16＝ ．
11．（3分）2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约380000km的地月之间完成月壤
样品的“空中接力”．数据380000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每
次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白
球的频率是0.4，则袋中约有红球 个．
13．（3分）如图，△ABC是 O的内接三角形，∠BAC＝50°， O半径为3，则 的长为
．
⊙ ⊙
14．（3分）一辆轿车从A地驶向B地，设出发x h后，这辆轿车离B地路程为y km，已知y与
2x之间的函数表达式为y＝200﹣80x，则轿车从A地到达B地所用时间是 h．
15．（3分）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠的拼
接）而成，铺设方式如图1．图2是其中一块地砖的示意图，AB＝EF，CD＝GH，BC＝FG，
BC∥FG，AB∥CD∥GH∥EF，部分尺寸如图所示（单位：dm）．结合图1、图2信息，可求
得BC的长度是 dm．
16．（3分）如图，点P是正六边形ABCDEF的边AB的中点，一束光线从点P出发，照射到镜
面EF上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C．已知正六边形的边长为2，则EQ＝
．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：tan60°+（1﹣ ）0+|﹣ |；
（2）解不等式： ≥ +2． π
18．（8分）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中x＝3．
19．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在BD上，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
20．（8分）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其
数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客
人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．
3问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
21．（8分）历史文化名城淮安有着丰富的旅游资源．小明计划假期来淮安游玩，他打算从3个
人文景点（A．周恩来纪念馆；B．吴承恩故居；C．河下古镇）中随机选取一个，再从2个自
然景点（D．金湖水上森林；E．铁山寺国家森林公园）中随机选取一个．
（1）小明从人文景点中选中河下古镇的概率是 ；
（2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率．
22．（8分）张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．
为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日的上班路上用时其中10个工作日
走路线一，另外10个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图：
（1）根据以上数据把表格补充完整：
平均数 中位数 众数 方差 极差
路线一 18 2.4 5
路线二 15.6 11 18.04
（2）请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少2个统计量说明理由．
23．（8分）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体
截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直
线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG＝53°；如图2，当拉杆伸出
两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度
相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：sin53°≈ ，sin37°≈ ，tan53°≈ ，tan37°≈ ）
424．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k x+b的图像与x轴、y轴分别交于点A、
1
B，与反比例函数y＝ （x＞0）的图像交于点C．已知点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为
（1，3）．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）点D在线段OB上，过点D且平行于x轴的直线交AB于点E，交反比例函数图像于点
F．当DO＝2ED时，求点F的坐标．
25．（10分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作 O交AC于点D，过点D作
DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F．
⊙
（1）求证：DF为 O的切线；
（2）若BE＝1，BF＝3，求sinC的值．
⊙
26．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（0，8），顶点为P．
（1）c＝ ；
（2）当a＝ 时，
①若顶点P到x轴的距离为10，则b＝ ；
5②直线m过点（0，2b）且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h．随着b的增大，h的值
如何变化？请描述变化过程，并说明理由；
（3）若二次函数图像交x轴于B、C两点，点B坐标为（8，0），且△ABC的面积不小于20，
求a的取值范围．
27．（14分）综合与实践
【问题初探】（1）某兴趣小组探索这样一个问题：若AD是△ABC的角平分线，则线段AB、
AC、BD、CD有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空：
小智的思路和方法： 勇的思路和方法：
如图1，作 DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为如图2，作CE∥AB，交AD的延长线于，交
M、N． AD的延长线于点E．
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， ∵AD平分∠BAC，
∴ ． ∴∠BAD＝∠CAD．
∵CE∥AB，
∵S△ABD ＝ AB•DM，
∴∠BAD＝∠E．
∴∠CAD＝∠E．
S△ACD ＝ AC•DN，
∴ ．
再通过证明△CDE∽△BDA 得到比例式，
∴ ＝ ．
△BDA得到比例式，从而推导出结论……
再用另一种方式表示△ABD 与△ACD 的面
积，即可推导出结论……
根据小智或小勇的方法，可以得到线段 AB、AC、BD、CD 的数量关系是
．
【变式拓展】（2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上
一点，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，求 的值．请你完成解答．
【迁移应用】（3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段EF上作一
6点P，使EP＝ FP．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【综合提升】（4）如图5，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠BAC＝（ ＜90°），点D在AC边
上，CD＝1，点E在BD的延长线上，连接EC，∠BEC＝（ ＜ ），请直接写出BD•DE的
α α
值（用含 ， 的式子表示）．
β β α
α β
7参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项
是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列实数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．﹣3
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．
2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；
两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：A．∵|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，1＜2，∴﹣1＞﹣2，故不符合题意；
B．0＞﹣2，故不符合题意；
C． ＞﹣2，故不符合题意；
D．∵|﹣3|＝3，|﹣2|＝2，3＞2，∴﹣3＜﹣2，故符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a•a3＝a4 B．a2+a3＝a5 C．a6÷a＝a6 D．（a3）4＝a7
【分析】A．根据同底数幂的乘法运算法则，即可得出答案；
B．根据合并同类项的定义，即可作答；
C．根据同底数幂的除法法则，即可得出答案；
D．根据幂的乘方与积的乘方，即可得出答案．
【解答】解：A．a•a3＝a4，故本选项符合题意；
B．a2+a3不能化简，故本选项不符合题意；
C．a6÷a＝a5，故本选项不符合题意；
D．（a3）4＝a12，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．（3分）中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
4．（3分）如图，AB∥CD，点E在直线AB上，点F、G在直线CD上，∠FEG＝90°，∠EGF＝
828°，则∠AEF的度数是（ ）
A．46° B．56° C．62° D．72°
【分析】如图，已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F、G在直线CD上，EG⊥EF于点E，
∠AEF＝42°，则∠EGF的度数是
【解答】解：∵∠FEG＝90°，∠EGF＝28°，
∴∠EFG＝180°﹣∠FEG﹣EGF＝180°﹣90°﹣28°＝62°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFG＝62°，
故选：C．
5．（3分）用一根小木棒与两根长度分别为3cm、5cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的
长度可以是（ ）
A．9cm B．7cm C．2cm D．1cm
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第
三根木条的取值范围．
【解答】解：设第三根木棒长为x cm，由三角形三边关系定理得5﹣3＜x＜5+3，
所以x的取值范围是2＜x＜8，
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（
）
A．k≥4 B．k＞4 C．k≤4 D．k＜4
【分析】先求出Δ的值，再根据Δ＞0，即可得出答案．
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝16﹣4k，
∵x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有2个不相等的实数根，
Δ＞0，
∴（﹣4）2﹣4×1×k＞0，
16﹣4k＞0，
k＜4．
故选：D．
7．（3分）如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都
有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（
）
9A．14 B．13 C．12 D．11
【分析】根据勾股定理分别求出第一个、第二个三角形的斜边长，根据规律得到第九个三
角形的斜边长，根据估算无理数的大小的方法解答．
【解答】解：第一个三角形的斜边长＝ ，
第二个三角形的斜边长＝ ＝ ，
……
第九个三角形的斜边长＝ ＝ ，
则这海螺图形周长＝1+1×9+ ＝10+ ，
∵与 最接近的整数是3，
∴与10+ 最接近的整数是13，
故选：B．
8．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的动点（BP＞1），将
△ABP沿AP翻折得△AB′P，射线PB′与射线AD交于点E．下列说法不正确的是
▱
（ ）
A．当AB'⊥AB时，B′A＝B′E
B．当点B′落在AD上时，四边形ABPB′是菱形
C．在点P运动的过程中，线段AE的最小值为2
D．连接BB'，则四边形ABPB′的面积始终等于 AP•BB'
【分析】根据每一选项逐一判断即可．
【解答】解：A选项：如图所示，
10∵AB'⊥AB，
∴∠BAB'＝90°，
∵折叠，
∴∠BAP＝∠B'AP＝45°，∠B＝∠AB'P＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∴∠B'AD＝∠BAD﹣∠BAB'＝30°，
∴∠AEB'＝∠AB'P﹣∠B'AD＝30°，
∴∠B'AD＝∠AEB'，
∴B'A＝B'E，故A选项正确，不合题意；
B选项：如图所示，
当B'落在AD上时，点E和B'重合，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∵折叠，
∴∠BAP＝∠B'AP＝60°，AB＝AB'，PB＝P'B，
∴△ABP是等边三角形，
∴AB＝BP＝B'P＝AB'，
∴四边形ABPB′是菱形，故B选项正确，不合题意；
C选项：如图所示，
11当点P靠近点C时，B'在四边形外部，此时∠AEB'＞90°，
∴AE＜AB′＝2，故C选项错误，符合题意；
D选项：如图所示，连接BB'交AP于点O，
∵折叠，且AP是折痕，
∴AP垂直平分BB'，
∴S四边形ABPB '＝S△ABP +S△AB'P ＝ AP•OB+ AP•OB′＝ AP•BB'，故D选项正确，不合题
意．
故选：C．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接写在
答题卡相应位置上）
9．（3分）计算： ＝ 2 ．
【分析】本题需先对二次根式进行化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可求出结
果．
【解答】解： ，
＝2 × ，
＝2．
故答案为：2．
10．（3分）分解因式：a2﹣16＝ （ a + 4 ）（ a ﹣ 4 ） ．
【分析】利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行分解．
12【解答】解：a2﹣16＝（a+4）（a﹣4），
故答案为：（a+4）（a﹣4）．
11．（3分）2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约380000km的地月之间完成月壤
样品的“空中接力”．数据380000用科学记数法表示为 3.8×1 0 5 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：380000＝3.8×105．
故答案为：3.8×105．
12．（3分）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每
次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白
球的频率是0.4，则袋中约有红球 1 2 个．
【分析】根据白球个数和频率，可以估算出球的总数，然后即可计算出红球个数．
【解答】解：由题意可得，
袋中约有红球：8÷0.4﹣8
＝20﹣8
＝12（个），
故答案为：12．
13．（3分）如图，△ABC是 O的内接三角形，∠BAC＝50°， O半径为3，则 的长为
⊙ ⊙
．
【分析】先求出弧BC所对的圆心角度数，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝50°，
∴∠BOC＝100°，
∴弧BC的长为：L＝ ＝ ．
故答案为： ．
14．（3分）一辆轿车从A地驶向B地，设出发x h后，这辆轿车离B地路程为y km，已知y与
x之间的函数表达式为y＝200﹣80x，则轿车从A地到达B地所用时间是 2. 5 h．
【分析】令y＝0，求出x即可得答案．
【解答】解：∵y＝200﹣80x，
令y＝0，则200﹣80x＝0，
∴x＝2.5，
13∴轿车从A地到达B地所用时间是2.5小时，
故答案为：2.5．
15．（3分）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠的拼
接）而成，铺设方式如图1．图2是其中一块地砖的示意图，AB＝EF，CD＝GH，BC＝FG，
BC∥FG，AB∥CD∥GH∥EF，部分尺寸如图所示（单位：dm）．结合图1、图2信息，可求
得BC的长度是 5. 8 dm．
【分析】作CM⊥AB，设AB＝a dm，CD＝b dm，由图一可知，GF＝BC＝AB+CD，DN＝7﹣
3＝4dm，四边形CDNM是矩形，BM＝10﹣（a+b），再根据勾股定理求出a+b，即可解答．
【解答】解：作CM⊥AB，设AB＝a dm，CD＝b dm，
由图一可知，GF＝BC＝AB+CD，DN＝7﹣3＝4dm，四边形CDNM是矩形，
则MN＝CD＝b，∠BMC＝90°，
则BM＝10﹣AB﹣MN＝10﹣（a+b），
∵CM2+BM2＝BC2，
∴（a+b）2＝42+[10﹣（a+b）]2
∴a+b＝5.8，
∴BC＝5.8dm．
故答案为：5.8．
16．（3分）如图，点P是正六边形ABCDEF的边AB的中点，一束光线从点P出发，照射到镜
面EF上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C．已知正六边形的边长为2，则EQ＝
．
14【分析】过Q作QH⊥CB，连接EC，则易证EQHC是矩形，所以EQ＝CH，再延长QP、CB
交于点G，PI⊥CB于点I，解Rt△BPI，求出PI和BI长度，设参，最后利用△PGI∽△QCH
求参即可得解．
【解答】解：如图，延长QP、CB交于点G，作QH⊥CB于点H，PI⊥CB于点I，则∠QHC＝
∠PIC＝90°，
由反射光线的性质可知∠GQH＝∠CQH，
∴90°﹣∠GQH＝90°﹣∠CQH，
即∠G＝∠QCH，
∴QG＝QC，
∵QH⊥GC，
∴CH＝HG，
设BG＝a，则GC＝a+2，
∴CH＝ CG＝ ，
∵六边ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC＝ ＝120°，
∴∠ABG＝60°，
∵P是AB中点，
∴BP＝ AB＝1，
在Rt△BPI中，PI＝BP•sin60°＝ ，BI＝BP•cos60°＝ ，
∴GI＝a﹣ ，
在正六边形ABCDEF中，QH＝ ＝2 ，
∵∠QHC＝∠PIC＝90°，∠G＝∠QCH，
∴△PGI∽△QCH，
∴ ，即 ，
15解得a＝ ，
∴CH＝ ＝ ，
连接EC，
∵∠EDC＝∠DEC＝∠BCD＝120°，DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝30°，
∴∠QEC＝∠ECH＝90°，
∵∠QHC＝90°，
∴四边形EQHC是矩形，
∴EQ＝CH＝ ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：tan60°+（1﹣ ）0+|﹣ |；
（2）解不等式： ≥ +2． π
【分析】（1）根据绝对值的定义和特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质计算即可；
（2）根据解不等式的方法解不等式即可．
【解答】解：（1）tan60°+（1﹣ ）0+|﹣ |
＝ +1+
π
＝2 ；
（2） ≥ +2，
不等式的两边同乘以6得，3x＞2（x﹣3）+2×6，
3x＞2x﹣6+12，
∴不等式的解集为x＞6．
18．（8分）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中x＝3．
【分析】先去括号，再约分，即可得答案．
16【解答】解：（1+ ）÷
＝ •
＝ • ＝x﹣2；
当x＝3时，
原式＝3﹣2＝1．
19．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在BD上，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
【分析】根据矩形的性质，可以得到AB＝CD，AB∥CD，再根据平行线的性质，即可得到
∠ABE＝∠CDF，然后根据SAS即可证明结论成立．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
20．（8分）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其
数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客
人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．
问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
【分析】设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解即可．
【解答】解：设有x个客人，y个盘子．
根据题意，得 ，
解得 ，
答：有30个客人，13个盘子．
21．（8分）历史文化名城淮安有着丰富的旅游资源．小明计划假期来淮安游玩，他打算从3个
人文景点（A．周恩来纪念馆；B．吴承恩故居；C．河下古镇）中随机选取一个，再从2个自
然景点（D．金湖水上森林；E．铁山寺国家森林公园）中随机选取一个．
17（1）小明从人文景点中选中河下古镇的概率是 ；
（2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率．
【分析】（1）根据题意，可以写出小明从人文景点中选中河下古镇的概率；
（2）根据题意，画出相应的树状图，然后即可求得小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国
家森林公园的概率．
【解答】解：（1）由题意可得．
小明从人文景点中选中河下古镇的概率是 ，
故答案为： ；
（2）树状图如下所示：
由上可得，一共有6种等可能性，其中小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园
的有1种，
∴小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率为 ．
22．（8分）张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．
为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日的上班路上用时其中10个工作日
走路线一，另外10个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图：
（1）根据以上数据把表格补充完整：
平均数 中位数 众数 方差 极差
路线一 1 8 18 2.4 5
18
路线二 15.6 11 18.04
1815 11
（2）请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少2个统计量说明理由．
【分析】（1）直接利用折线图数据结合平均数，中位数，众数，极差求法得出答案；
（2）比较平均数，众数，中位数，分别分析得出最佳路线．
【解答】解：（1）路线一：15，16，17，18，18，18，19，19，20，20，
平均数： ，众数为18；
路线二：11，11，11，12，14，16，17，21，21，22，
中位数： ，极差：22﹣11＝11；
故答案为：18；18；15；11；
（2）路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，路线二的众数小于路线一，
则选路线二．
23．（8分）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体
截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直
线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG＝53°；如图2，当拉杆伸出
两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度
相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：sin53°≈ ，sin37°≈ ，tan53°≈ ，tan37°≈ ）
【分析】根据题意，设设AB＝x cm，分两种情况计算出AF和AH的长，利用AF＝AH建立
方程（60+x）•sin53°＝（60+2x）•sin37°，求出x值即可．
【解答】解：如图1，作AF⊥CG，垂足为F，设AB＝x cm，则AC＝60+x，
∵sin53°＝ ＝ ，
∴AF＝（60+x）•sin53°，
19如图2，作AH⊥CG，垂足为H，则AC＝60+2x，
∴AH＝（60+2x）•sin37°，
∵AF＝AH，
∴（60+x）•sin53°＝（60+2x）•sin37°，
∴ ，
解得：x＝30．
答：每节拉杆的长度为30cm．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k x+b的图像与x轴、y轴分别交于点A、
1
B，与反比例函数y＝ （x＞0）的图像交于点C．已知点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为
（1，3）．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）点D在线段OB上，过点D且平行于x轴的直线交AB于点E，交反比例函数图像于点
F．当DO＝2ED时，求点F的坐标．
【分析】（1）把点C（1，3）代入y＝ ，解方程得到反比例函数的表达式为y＝ ，把点A
（﹣1，0），点C（1，3）代入y＝k x+b，解方程组得到一次函数的表达式为y＝ x+ ；
1
（2）设E（m， m+ ），得到D（0， m+ ），求得OD＝ m+ ，由DO＝2ED，列方程得到
E（﹣ ， ），于是得到点F的纵坐标为 ，把y＝ 代入y＝ 即可得到结论．
【解答】解：（1）把点C（1，3）代入y＝ 得，
3＝ ，
解得k ＝3，
2
∴反比例函数的表达式为y＝ ，
把点A（﹣1，0），点C（1，3）代入y＝k x+b得，
1
20，
解得 ，
∴一次函数的表达式为y＝ x+ ；
（2）设E（m， m+ ），
∵EF平行于x轴，
∴D（0， m+ ），
∴OD＝ m+ ，
∵DO＝2ED，
∴ m+ ＝2（﹣m），
解得m＝﹣ ，
∴E（﹣ ， ），
∴点F的纵坐标为 ，
把y＝ 代入y＝ 得，x＝ ，
∴点F的坐标为（ ， ）．
25．（10分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作 O交AC于点D，过点D作
DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F．
⊙
（1）求证：DF为 O的切线；
（2）若BE＝1，BF＝3，求sinC的值．
⊙
【分析】（1）连接OD，BD，证出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可；
（2）由勾股定理，求出EF，证△ODF∽△BEF，求出OD，DE，进而求出BD，利用sinC＝
21sinA，即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，BD，如图，
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴BD⊥AC，
∵AB＝CB，
∴点D为AC的中点，
∵点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠ODE＝∠DEC，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DF⊥OD，
∵OD为 O的半径，D为OD的外端点，
∴DF为 O的切线；
⊙
（2）解：如上图，
⊙
∵DE⊥BC，BE＝1，BF＝3，
∴由勾股定理，得EF＝ ＝ ＝ ，
由（1）知BE∥OD，
∴△ODF∽△BEF，
∴ ＝ ＝ ，
∵BE＝1，BF＝3，OB＝OD，
∴ ＝ ＝ ，
解得OB＝ ，DE＝ ，
∴AB＝3，
在Rt△BDE中，
22由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝ ，
∵BA＝BC，
∴∠C＝∠A，
∴sinC＝sinA＝ ＝ ．
26．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（0，8），顶点为P．
（1）c＝ 8 ；
（2）当a＝ 时，
①若顶点P到x轴的距离为10，则b＝ ± 3 ；
②直线m过点（0，2b）且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h．随着b的增大，h的值
如何变化？请描述变化过程，并说明理由；
（3）若二次函数图像交x轴于B、C两点，点B坐标为（8，0），且△ABC的面积不小于20，
求a的取值范围．
【分析】（1）将点A坐标代入抛物线表达式即可求解；
（2）①由10＝|y |，即可求解；②由h＝|y ﹣2b|＝|8﹣b2﹣2b|＝|b2+2b﹣8|，即可求解；
P P
（3）由BC＝|m﹣n|＝ ＝ ＝|8﹣ |，则△ABC的面积＝
×BC×y ＝4BC≥20，即可求解．
A
【解答】解：（1）将点A坐标代入抛物线表达式得：c＝8，
故答案为：8；
（2）①当a＝ 时，抛物线的表达式为：y＝ x2+bx+8，
则10＝|y |，
P
即|8﹣ |＝10，
解得：b＝±3 ，
故答案为：±3 ；
②顶点P的纵坐标为：c﹣ ＝8﹣b2，
则h＝|y ﹣2b|＝|8﹣b2﹣2b|＝|b2+2b﹣8|，
P
令h＝0，则b＝2或﹣4，
函数h的大致图象如下：
23从图象看，当b＞2或﹣4＜b＜﹣1时，h随b的最大而增大，当b＜﹣4或﹣1＜b＜2时，h
随b的增大而减小；
（3）设点C、B的横坐标为m，n，
将点B的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+8得：0＝64a+8b+8，
则b＝﹣8a﹣1，
即抛物线的表达式为：y＝ax2+（﹣8a﹣1）x+8，
则m+n＝ ＝8+ ，mn＝ ，
则BC＝|m﹣n|＝ ＝ ＝|8﹣ |，
则△ABC的面积＝ ×BC×y ＝4BC≥20，
A
即|8﹣ |≥5，
则8﹣ ≥5或8﹣ ≤﹣5，
解得：a≥ 或a≤ 且a≠0．
27．（14分）综合与实践
【问题初探】（1）某兴趣小组探索这样一个问题：若AD是△ABC的角平分线，则线段AB、
AC、BD、CD有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空：
小智的思路和方法： 勇的思路和方法：
如图1，作 DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为如图2，作CE∥AB，交AD的延长线于，交
M、N． AD的延长线于点E．
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， ∵AD平分∠BAC，
∴ DM ＝ DN ， ． ∴∠BAD＝∠CAD．
∵CE∥AB，
∵S△ABD ＝ AB•DM，
∴∠BAD＝∠E．
∴∠CAD＝∠E．
S△ACD ＝ AC•DN，
∴ AC ＝ CE ．
再通过证明△CDE∽△BDA 得到比例式，
∴ ＝ ．
△BDA得到比例式，从而推导出结论……
再用另一种方式表示△ABD 与△ACD 的面
24积，即可推导出结论……
根据小智或小勇的方法，可以得到线段AB、AC、BD、CD的数量关系是 ．
【变式拓展】（2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上
一点，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，求 的值．请你完成解答．
【迁移应用】（3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段EF上作一
点P，使EP＝ FP．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【综合提升】（4）如图5，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠BAC＝（ ＜90°），点D在AC边
上，CD＝1，点E在BD的延长线上，连接EC，∠BEC＝（ ＜ ），请直接写出BD•DE的
α α
值（用含 ， 的式子表示）．
β β α
【分析】（1）根据题干思路补全即可得解；
α β
（2）有特殊角先构造直角三角形，然后再分别解两个直角三角形即可得解；
（3）①作30°角：先作等边三角形EFG，再作∠GEF的角平分线，交GF于点Q；
②构造相似：再作QO＝QE，交EF的延长线于点O，易证△OQF∽△OEQ，且相似比为
；
③作圆：以O为圆心，ON为半径作圆，则P为圆与线段EF的交点．
（4）与第二问基本思路一致，只不过将具体角度换成 和 了，分别表示出BD和DE即可
得解．
α β
【解答】解：（1）小智的思路补全：∵△ABD和△CBD是同高的，
∴ ＝ ，
25∴ ；
小勇的思路补全：∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠E，
∴△BDA∽△CDE，
∴ ，
∵CE＝AC，
∴ ；
故答案为：DM＝DN；AC＝CE； ；
（2）如图，过C作CM⊥AD于点M，BN⊥AD交AD的延长线于点N，则∠CMD＝∠BND
＝90°，
设AB＝AC＝2a，
在Rt△ABN中，∠BAD＝45°，
∴sin45°＝ ，
∴BN＝ a＝AN，
在Rt△ACM中，∠CAD＝60°，
∴sin60°＝ ，
∴CM＝ a，
∵∠CMD＝∠BND＝90°，∠BDN＝∠CDM，
∴△BDN∽△CDM，
∴ ＝ ＝ ；
（3）如图所示，
26作法提示：①作30°角：先作等边三角形EFG，再作∠GEF的角平分线，交GF于点Q；
②构造相似：再作QO＝QE，交EF的延长线于点O，易证△OQF∽△OEQ，且相似比为
；
③作圆：以O为圆心，ON为半径作圆，则P为圆与线段EF的交点．
（4）如图，作BM⊥AC于点M，CN⊥BD于点N，
在Rt△ABM中，∠BAC＝ ，AB＝5，
∴BM＝AB•sin ＝5sin ，
α
AM＝AB•cos ＝5cos ，
α α
∵AC＝4，CD＝1，
α α
∴AD＝AC﹣CD＝3，
∴DM＝5cos ﹣3，
在Rt△BDM中，BD2＝BM2+DM2，
α
即BD2＝（5sin ）2+（5cos ﹣3）2＝34﹣30cos ，
∴BD＝ ，
α α α
∵S△CBD ＝ ＝ ，
∴BD•CN＝CD•BM，
两边同时平方得CN2•（34﹣30cos ）＝12×（5sin ）2，
∴CN2＝ ， α α
∴CN＝ ，
在Rt△CDN中，CD2＝DN2+CN2，
27代入得DN2＝1﹣ ＝ ＝ ，
∴DN＝ ，
在Rt△CNE中，∠E＝ ，
EN＝ ＝ β ，
∴DE＝EN﹣DN＝ ﹣ ，
∴BD•DE＝ ×（ ﹣﹣ ）＝
﹣|5cos ﹣3|．
α
28
