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2005 年山东高考文科数学真题及答案
第I卷（共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，选
择一个符合题目要求的选项.
1． 是首项 ，公差 的等差数列，如果 ，则序号n等于 （ ）
A．667 B．668 C．669 D．670
2．下列大小关系正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．函数 的反函数的图象大致是 （ ）
4．已知函数 则下列判断正确的是 （ ）
A．此函数的最小正周期为 ，其图象的一个对称中心是
B．此函数的最小正周期为 ，其图象的一个对称中心是
C．此函数的最小正周期为2 ，其图象的一个对称中心是
D．此函数的最小正周期为 ，其图象的一个对称中心是
5．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．如果 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 的系数是（ ）
A．7 B．－7 C．21 D．－21
7．函数 则a的所有可能值为（ ）
A．1 B．－ C． D．1，
8．已知向量a、b，且 a+2b， －5a+6b， =7a－2b，则一定共线的三点是
（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
9．设地球半径为R，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于南纬75°东经120°，则
甲、乙两地的球面距离为 （ ）
A． R B． R C． R D． R
10．10 张奖券中只有 3 张有奖，5 个人购买，每人 1 张，至少有 1 人中奖的概率是
（ ）
A． B． C． D．
11．设集合A、B是全集U的两个子集，则A B是（ UA）∪B=U的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．设直线 关于原点对称的直线为 . 若 与椭圆 的交点为A、
B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为 的点P的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 答案须填在题中横线上.
13．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人，为了解
普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为
70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是 .
14．设双曲线 的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两
点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e= .
15．设 、 满足约束条件 则使得目标函数
的值最大的点
（ ， ）是 .
16．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：
① .
②若 .
③若④ m ， n 是 两 条 异 面 直 线 ， 若
.
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已 知 向 量
求 的值.
18．（本小题满分12分）
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 .现有甲、乙两人从
袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取
到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要
的取球次数.
（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；
（Ⅱ）求取球2次终止的概率；
（Ⅲ）求甲取到白球的概率.
19．（本小题满分12分）
已知 是函数 的一个极值点，其中 ，
（Ⅰ）求m与n的关系表达式；
（Ⅱ）求 的单调区间.
20．（本小题满分12分）
如图，已知长方体 ABCD—A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为
30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点，
（Ⅰ）求异面直线AE与BF所成的角；
（Ⅱ）求平面BDF与平面AA1B所成二面角
（锐角）的大小；
（Ⅲ）求点A到平面BDF的距离.21．（本小题满分12分）
已知数列 前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）。
（Ⅰ）证明数列 是等比数列；
（Ⅱ）令 .
22．（本小题满分14分）已知动圆过定点 ，且与直线 相切，其中 .
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为
α和β，当α、β变化且α+β= 时，证明直线AB恒过定点，并求
出该定点的坐标.
参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A 9．D 10．D 11．A 12．B
二、填空题
13．50 14． 15．（2，3） 16．③④
三、解答题：
17．解法一：
由已知 ，得
又 ，所以
解法二：由已知 ，得
18．解：（Ⅰ）设袋中原有n个白球，由题意知： ，
所以 ，解得 （舍去 ），即袋中原的3个白球.
（Ⅱ）记“取球2次终止”的事件为A，
则
（Ⅲ）记“甲取到白球”的事件为B.
“第i次取出的球是白球”的事件为Ai，i=1，2，3，4，5，
因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，
∴P（B）=P（A1+A3+A5），
因为事件A1、A3、A5两两互斥，
∴P（B）=P（A1）+P（A3）+P（A5）
19．（I）解： ，因为 是 的一个极值点，所以
，即 ，所以
（II）解：由（I）知，
1° 当 时，有 ，当 变化时， 与 的变化如下表：
（ ， 1 （1，+ ）
1）
<0 0 >0 0 <0
单调递减 极小值 单调递减 极大值 单调递减
由上表知，当 ）单调递减，在（ ,1）单调递增，在（1，+ ）单调递减.
2° 的变化如下表：
1 （1，
（ ，+ ）
）
>0 0 <0 0 >0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由上表知，当 单调递增，在（1， ）单调递减，
在（ ，+ ）单调递增.
20．解法一：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，以AB所在直张为x轴，AD所在直线为y轴，
AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图.
由已知AB=2，AA1=1，可得A（0，0，0），
B（2，0，0），F（1，0，1）
又AD⊥平面AA1B1B，
从而BD与平面AA1B1B所成的角即为∠DBA=30°，
又AB=2，AE⊥BD，AE=1，AD=
从而易得
（Ⅰ）∵
∴
即异面直线AE、BF所成的角为
（Ⅱ）易知平面AA1B的一个法向量 =（0，1，0）。
设 =（x，y，z）是平面BDF的一个法向量。
由 ，
取n=（1， ）， ∴cos=
即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）大小为arccos 。
（Ⅲ）点A到平面BDF的距离，即 在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值。所以距离
所以点A到平面BDF的距离为
解法二：（Ⅰ）连结B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K，
∵BB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直，
∴
又
因此FK//AE。
∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角。
连结BK，由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK，
从而△BKF为Rt△，
在Rt△B1KF和Rt△B1D1A1中， 由 得
又 ， ∴
∴异面直线BF与AE所成的角为
（Ⅱ）由于DA⊥面AA1B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理知
BG⊥DG，
∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成
二面角的平面角 且∠DAG=90°，
在平面AA1B中，延长BF与AA1交于点S，
∵F为A1B1的中点， ，
∴A1、F分别为SA、SB的中点，
即SA=2A1A=2=AB，
∴Rt△BAS为等腰直角三角形，
垂足G点实为斜边SB的中点F，即F、G重合。
易得AG=AF= ，在Rt△BAS中， ，
∴ ∴
即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小为（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面AFD是平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角所在的平面，
∴面AFD⊥面BDF。
在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离。
由AH·DF=AD·AF，得
所以点A到平面BDF的距离为 。
21．
解：（Ⅰ）由已知 ∴
两式相减，得
即 从而
当n=1时，S2=2S1+1+5， ∴ 又
从而 故总有
又∵
从而
即 为首项，2为公比的等比数列.…………
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
.
从而
p
F( ,0)
2
p
x
222．
解：（Ⅰ）如图，设M为动圆圆心， 记为F，
过点M作直线 的垂线，垂足为N.
由题意知：
即动点M到定点F与定直线 的距离相等，
由抛物线定义知：点M的轨迹为抛物线，其中 为焦点， 为准线.
所以轨迹方程为
（Ⅱ）如图，设 ，由题意得
又直线OA，OB的倾斜角 ， 满足
所以直线AB的斜率存在，否则，OA，OB直线的倾斜角之和为
从而设AB方程为
显然 联立消去x，
得 由韦达定理知 （*）
由
=
将（*）式代入上式整理化简，得： .
此时，直线AB的方程可表示为：
即
所以，直线AB恒过定点
