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2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合M={m Z|﹣3＜m＜2}，N={n Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（
）
∈ ∈
A．{0，1} B．{﹣1，0，1}
C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）设a，b R且b≠0，若复数（a+bi）3是实数，则（ ）
A．b2=3a2 B．a2=3b2 C．b2=9a2 D．a2=9b2
∈
3．（5分）函数f（x）= ﹣x的图象关于（ ）
A．y轴对称 B．直线y=﹣x对称 C．坐标原点对称 D．直线y=x对称
4．（5分）若x （e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
∈
5．（5 分）设变量 x，y 满足约束条件： ，则 z=x﹣3y 的最小值（
）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
6．（5分）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的
3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（1﹣ ）6（1+ ）4的展开式中x的系数是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
8．（5分）若动直线 x=a 与函数 f（x）=sinx 和g（x）=cosx的图象分别交于
M，N两点，则|MN|的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．（5 分）设 a＞1，则双曲线 的离心率 e 的取值范围是
（ ）A． B． C．（2，5） D．
10．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中
点，则AE、SD所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x+y﹣2=0与x﹣7y﹣4=0，
原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
12．（5分）已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，
若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5 分）设向量 ，若向量 与向量
共线，则λ= ．
14．（5分）设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=
．
15．（5分）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于
A，B两点．设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于 ．
16．（5分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对
边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条
件：
充要条件① ；
充要条件② ．
（写出你认为正确的两个充要条件）
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，cosB=﹣ ，cosC= ．（1）求sinA的值
（2）设△ABC的面积S = ，求BC的长．
△ABC
18．（12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若
投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000元的赔偿金．假定在一
年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险
公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1﹣0.999 ．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000元，为保证盈
利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA =2AB=4，点E在CC 上且
1 1 1 1 1 1
C E=3EC．
1
（Ⅰ）证明：A C⊥平面BED；
1
（Ⅱ）求二面角A ﹣DE﹣B的大小．
1
20．（12分）设数列{a }的前n项和为S ．已知a =a，a =S +3n，n N*．
n n 1 n+1 n
∈（Ⅰ）设b =S ﹣3n，求数列{b }的通项公式；
n n n
（Ⅱ）若a ≥a ，n N*，求a的取值范围．
n+1 n
∈
21．（12分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，
直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若 ，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
22．（12分）设函数 ．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．
