文档内容
2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={x R||x|≤2}}， ，则A∩B=（ ）
A．（0，2） B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}
∈
2．（5分）已知复数 ， 是z的共轭复数，则 =（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（5分）曲线y= 在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2
4．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P （
0
，﹣ ），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大
致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）已知命题p ：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p ：函数y=2x+2﹣x在R
1 2
为减函数，则在命题 q ：p ∨p ，q ：p ∧p ，q ：（￢p ）∨p 和q ：p ∧
1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1（￢p ）中，真命题是（ ）
2
A．q ，q B．q ，q C．q ，q D．q ，q
1 3 2 3 1 4 2 4
6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了1000粒，对于没有发
芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为 X，则X的数学期望为（
）
A．100 B．200 C．300 D．400
7．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=
（ ）
A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}
9．（5分）若 ，α是第三象限的角，则 =（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
10．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面
上，则该球的表面积为（ ）A．πa2 B． C． D．5πa2
11．（5 分）已知函数 ，若 a，b，c 互不相等，且 f
（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l
与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可
以用随机模拟方法近似计算积分 ，先产生两组（每组N个）区间
[0，1]上的均匀随机数 x ，x ，…x 和y ，y ，…y ，由此得到N个点（x，
1 2 N 1 2 N i
y）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y≤f（x）（i=1，2，…，N）的点
i i i
数N ，那么由随机模拟方案可得积分 的近似值为 ．
1
14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是 （写出三种）
15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C
的方程为 ．
16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD= DC，∠ADB=120°，AD=2，
若△ADC的面积为 ，则∠BAC= ．
三、解答题（共8小题，满分90分）
17．（12分）设数列满足a =2，a ﹣a =3•22n﹣1
1 n+1 n（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）令b =na ，求数列{b }的前n项和S ．
n n n n
18．（12 分）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，
AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点
（Ⅰ）证明：PE⊥BC
（Ⅱ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
19．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样
方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
性别 男 女
是否需要志愿者
需要 40 30
不需要 160 270
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有
关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需
要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
附：K2= ．
20．（12分）设F ，F 分别是椭圆 的左、右焦点，过F
1 2 1
斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF |，|AB|，|BF |成等差数列．
2 2
（1）求E的离心率；
（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．
21．（12分）设函数f（x）=ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
22．（10分）如图：已知圆上的弧 ，过C点的圆的切线与BA的延长线交
于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C （t为参数），C （θ为参数），
1 2
（Ⅰ）当α= 时，求C 与C 的交点坐标；
1 2
（Ⅱ）过坐标原点O做C 的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P
1
点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．
