文档内容
试卷类型：B
绝密★启用前
2011 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座
位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条
形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅
笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错
涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体体积公式 ，其中 为锥体的底面积， 为锥体的高．
线性回归方程 中系数计算公式 ， ，
样本数据 的标准差， ，
其中 ， 表示样本均值．
是正整数，则 ．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则
A． B． C． D．
2．已知集合 为实数，且 ， 为实数，且 ，
则 的元素个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知向量 ．若 为实数， ∥ ，则A． B． C．1 D．2
4．函数 的定义域是
A． B． C． D．
5．不等式 的解集是
A． B． C． D．
6．已知平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定．若 为 上的动
点，点 的坐标为 ，则 的最大值为
A．3 B．4 C． D．
7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正
五棱柱对角线的条数共有
A．20 B．15 C．12 D．10
8．设圆 与圆 外切，与直线 相切，则 的圆心轨迹为
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
9．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，
等腰三角形和菱形，则该几
何体的体积为
A． B．
2 3
C． D．
2
正视图 侧视图
图1 图2
2
俯视图
图310．设 是 上的任意实值函数，如下定义两个函数 和 ：对
任意 ， ； ，则下列等式恒成立的是
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（9 ~ 13题）
11．已知 是递增的等比数列，若 ， ，则此数列的公比 ．
12．设函数 ．若 ，则 ．
13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5
号每天打篮球时间 （单位：小时）与当天投篮命中率 之间的关系：
时间 1 2 3 4 5
命中率 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小李该月
6号打6小时篮球的投篮命中率为 ．
（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 和
，它们的交点坐标为___________．
D C
15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形 中， ∥ ，
， ， 分别为 上的点，且 ，
E F
∥ ，则梯形 与梯形 的面积比为________．
A B
图4
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知函数 ， ．
（1）求 的值；
（2）设 ， ， ，求 的值．
17．（本小题满分13分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用 表示编号为 的同学所
得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号 1 2 3 4 5
成绩 70 76 72 70 72
（1）求第6位同学的成绩 ，及这6位同学成绩的标准差 ；
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．18．（本小题满分13分）
图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切
面向右水平平移后得到的． 分别为 , , , 的中点， 分
别为 , ,
, 的中点．
（1）证明： 四点共面；
（2）设 为 中点，延长 到 ，使得 ．证明： 平面 ．
A A
O D O E O D O
C
1 2
C
1 2
H H
B B
G G
A A
C O D O E C O D O E
1 2 1 2
B H B
图519．（本小题满分14分）
设 ，讨论函数 的单调性．
20．（本小题满分14分）
设 ，数列 满足 ， ≥ ．
（1）求数列 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 ， ≤ ．
21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 上，直线 ： 交 轴于点 ．设 是 上一点， 是线段
的垂直平分线上一点，且满足 ．
（1）当点 在 上运动时，求点 的轨迹 的方程；
（2）已知 ，设 是 上动点，求 的最小值，并给出此时点 的坐标；
（3）过点 且不平行于 轴的直线 与轨迹 有且只有两个不同的交点，求直线 的
斜率 的取值范围．
