专题06圆与射影定理结合型压轴题专题（解析版）—2023-2024学年挑战中考压轴题重难点题型分类_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 06 圆与射影定理结合型压轴题专题 （解析版） 射影定理模型： 射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中 项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定 理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。 图形 推导过程 结论 ① ; 因为 ② ; ∽ ③ 1.（长沙中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分 ∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F． （1） + ＝ ． （2）若PN2＝PM•MN，则 ＝ ． 【解答】解：（1）∵MN为 O的直径，∴∠MPN＝90°，∵PQ⊥MN，∴∠PQN＝∠MPN＝90°， ⊙ ∵NE平分∠PNM，∴∠MNE＝∠PNE，∴△PEN∽△QFN，∴ ，即 ①， ∵∠PNQ+∠NPQ＝∠PNQ+∠PMQ＝90°，∴∠NPQ＝∠PMQ，∵∠PQN＝∠PQM＝90°， ∴△NPQ∽△PMQ，∴ ②，∴①×②得 ，∵QF＝PQ﹣PF，∴ ＝1﹣ ， 资1 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ + ＝1，故答案为：1； （2）∵∠PNQ＝∠MNP，∠NQP＝∠NPM，∴由射影定理得：PN2＝QN•MN，∵PN2＝PM•MN，∴PM＝ QN，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴NQ2＝MQ2+MQ•NQ，即 ，设 ，则x2+x﹣1＝0，解得，x＝ ，或x＝﹣ ＜0（舍去）． 2．（北雅）如图，点P在以MN 为直径的半圆上运动（不与M 、N重合），PH MN 于H 点，过N点 作 NQ 与PH 平行交MP的延长线于 Q 点． QPN （1）求 的度数； （2）求证： QN 与O相切； MH （3）若PN2 PM MN ，求 NH 的值． 【解答】（1）解： MN 是直径，MPN 90， QPN 90 ； （2）证明： PH MN ，PHM 90， QN //PH ， QNM PHM 90 ， ON QN ， ON 是半径， QN 与O相切； MNPPNQ90 PNQQ90 MNPQ MPN QPN （3）解： ， ， ， ， PN PM  NPM∽QPN ， QP PN ， PN2 PM QP ， PN2 PM MN ， QPMN ，  PH //QN ， 资2 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 MH MP MH MP MP MH    HN PQ ， HN MN ，同理得，MHP∽MPN， MN MP ，HN MP，设 PQMN a ， MH MP ab b (1 5) ( 51) MH ab 51   a b a b   MPb， HN PQ ， b a ， 2 （舍 ) 或 2  HN b 2 ． 3．（长沙中考）如图，点 A，B，C在O上运动，满足 AB2 BC2  AC2 ，延长 AC 至点D，使得 DBC CAB，点E是弦AC 上一动点（不与点 A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F ， 交BC的延长线于点N，交O于点M （点M 在劣弧 AC 上）． （1）BD是O的切线吗？请作出你的判断并给出证明； （2）记BDC ，ABC ，ADB的面积分别为 S 1， S 2，S，若 S 1 S (S 2 )2 ，求 (tanD)2 的值； 1 1 FEFN   y （3）若O的半径为1，设FM x， BCBN AEAC ，试求 y 关于x的函数解析式，并 写出自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）BD是O的切线．证明：如图，在ABC 中，AB2 BC2  AC2 ， ACB90．又点A，B，C在O上，AB是O的直径．ACB90，CABABC 90． 又DBC CAB，DBCABC 90．ABD90．BD是O的切线． 1 1 1 S  BCCD S  BCAC S  ADBC （2）由题意得， 1 2 ， 2 2 ， 2 ． S 1 S (S 2 )2 ， 1 1 1 BCCD ADBC ( BCAC)2  2 2 2 ．CDAD AC2 ． CD(CD AC) AC2 ．又DDBC 90 BC AC BC2 tanD tanABC CD ABCA90，DBC A，DABC． CD BC ． AC ． 资3 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 BC4 AC AC BC2  AC2 1( )2 ( )4 又 CD(CD AC) AC2 ， AC2 ．BC4  AC2BC2  AC4 ． BC BC ． AC 1 5 1 5 ( )2 m m m 由题意，设 (tanD)2 m ， BC ．1mm2 ． 2 ．m0， 2 ． 1 5 (tanD)2  2 ． （3）设A，AABC ABCDBC ABCN 90，ADBC N ． 如图，连接OM ． 在 RtOFM中 ， OF  OM2 FM2  1x2 ． BF BOOF 1 1x2 ， AF OAOF 1 1x2 ． AF 1 1x2 AE  在 RtAFE中 ， EF  AFtan(1 1x2)tan ， cos cos ． 在 RtABC中 ， BC  ABsin2sin． (r1 ， AB2． ) AC  ABcos2cos． 在 RtBFN中 ， BF 1 1x2 BF 1 1x2 BN   FN   sin sin ， tan tan ． yFEFN 1  1 x2 1  1 x2 22 1x2 22 1x2 BCBN AEAC 22 1x2 22 1x2 44(1x2) 1 1 x2 x2 x2 x  x．即 y x ． FM  AB，FM 最大值为F 与O重合时，即为1． 0 x�1 ． y x 0 x�1 综上， ， ． 4.（长沙中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的 延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF． 资4 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）求∠CDE的度数； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）若AC=2 DE，求tan∠ABD的值． 解：（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°； （2）证明：连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的 切线； (3)设DE＝1，则AC＝2 ，由射影定理得：AC2＝AD×AE,∴20＝AD（AD+1）， ∴AD＝4或﹣5（舍去），∵DC2＝AC2﹣AD2，∴DC＝2，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝ ＝2； 5.（青竹湖三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点， CB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：AE＝CE； （2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD＝CF＝2cm，求⊙O的直径； （3）在（2）的条件下，若CF:CD=n（n＞0），求sin∠CAB． 解：（1）证明：连接DE，∵∠ABC＝90°∴∠ABE＝90°∴AE是⊙O直径， ∴∠ADE＝90°∴DE⊥AC又∵D是AC的中点∴DE是AC的垂直平分线∴AE＝CE； （2）解：在△ADE 和△EFA 中，∵∠ADE＝∠AEF＝90°，由射影定理得：AE2＝AD×AF,∴AE2＝ 2×6,∴AE＝2 cm； 资5 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）解：∵AE是 O直径，EF是 O的切线，∵CF:CD=n,令CD=1，则CF=n，∵∠ADE＝∠AEF＝ ⊙ ⊙ 90°，由射影定理得：AE2＝AD×AF，∴AE2＝1×(n+2)，∴AE＝ =CE，∵∠CAB＝∠DEC, ∴sin∠CAB＝sin∠DEC＝ ＝ ＝ ． 6.（长郡）如图，AB为 O的直径，弦CD与AB相交于E，DE＝EC，过点B的切线与AD的延长线交于 F，过E作EG⊥BC于G⊙，延长GE交AD于H． （1）求证：AH＝HD； （2）若 ＝ ，DF＝9，求 O的半径． ⊙ 【解答】（1）证明：∵AB为 O的直径，DE＝EC，∴AB⊥CD，∴∠C+∠CBE＝90°，∵EG⊥BC， ∴∠C+∠CEG＝90°，∴∠CBE⊙＝∠CEG，∵∠CBE＝∠CDA，∠CEG＝∠DEH，∴∠CDA＝∠DEH， ∴HD＝EH，∵∠A+∠ADC＝90°，∠AEH+∠DEH＝90°，∴AH＝EH，∴AH＝HD； （2）解：∵∠BDF＝90°， ＝ ，令BD=4x，BF=5x，则 ，∴ ，BD=12, 由射影定理得：BD2＝DF•DA，∴144＝9×DA，∴DA=16，又由射影定理得：AB2＝AF•DA，∴AB2＝ 25×16，∴AB=20,即半径为10. 10.如图， 是 的直径，点 是 上一点， 与过点 的切线垂直，垂足为 ，直线 与 的延长线交于点 ，弦 平分 ，交 于点 ，连接 ， . （1）求证： 平分 ； （2）若 ，求阴影部分的面积； （3）若 ，求 的长度（射影定理）. 资6 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D C A O F B P E 【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵PC是 O的切线，AD⊥CD， ∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD．∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC．即AC平⊙分∠DAB． （2）解：连接AE．∵∠ACE＝∠BCE，∴ ，∴AE＝BE．又∵AB是直径，∴∠AEB＝90°． ∴AB＝ BE＝ ×5 ＝10，∵OB＝5，∴BC＝OB＝OC＝5，即△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°，∴OH＝ ＝ ，CH＝ OH＝ ，∴S△BOC ＝ ×5× ＝ ， S扇形BOC ＝ × ×52＝ ，∴阴影部分的面积为 ﹣ ； （3）解：过点Cπ作CH⊥AπB垂足为点H，如图：由（2π）得：OC＝OB＝5， （2）∵AC平分∠DAB，CH⊥AB，CD⊥AD，∴CH＝CD＝3，∵∠ACB＝∠BHC＝90°，由射影定理得： CH2＝BH•AH，设BH＝x，AH＝10-x，∴32＝x（10﹣x），解得：x＝1或9(舍)，又由射影定理得： CH2＝OH•HP，∴32＝4HP，解得：HP＝ ． 7.（雅礼）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与 ⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP． （1）连接OP，证明：△ADM∽△APO； （2）证明：PD是⊙O的切线； （3）若AD＝24，AM＝MC，求 的值． 解：（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP， 资7 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ＝ ，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO． （2）∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO， ∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵OD＝OM，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2， ∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°， ∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线． （2）连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R， 在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+242＝9R2，∴R＝6 ，∴OD＝6 ，MC＝12 ， ∵ ＝ ＝ ，∴DP＝12，∵O是MC的中点，∴ ＝ ＝ ，∴点P是BC的中点， ∴BP＝CP＝DP＝12，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°， 在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝24，MC＝12 ，∴BM＝12 ， 由射影定理得：MC2＝MD×MB,∴12 2＝12 ×MD，∴MD＝4 ，∴ ＝ ． 8.（广益）如图，已知PB与⊙O相切于点B，A是⊙O上的一点，满足PA=PB，连接PO，交AB于E，交 ⊙O于C，D两点，E在线段OD上，连接AD，OB。 （1）求证：直线PA是⊙O的切线； （2）①求证：点D是△PAB的内心 ②若PA=13，sin∠APE= ，求DE的长； （3）已知 ，求tanC. P D E A B O C 资8 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解答】（1）证明：连接OA，∵PB与 O相切于点B，∴∠OBP＝90°， ⊙ 在△OAP和△OBP中， ，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴OA⊥PA， ∴直线PA是 O的切线； （2）①由（⊙1）得△OAP≌△OBP，∴∠APO＝∠BPO，∴PO平分∠APB，∵PA＝PB，∴PE⊥AB， ∴∠DAE+∠ADE＝90°，∵∠OAP＝90°，∴∠DAP+∠OAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠ADE＝∠OAD， ∴∠DAE＝∠DAP，∴AD平分∠PAB，同理可得出BD平分∠PBA，∴点D是△PAB的内心； ②解：作DF⊥AP于F，在Rt△APE中，AE＝PA•sin∠APE＝13× ＝5，PE＝ ＝ ＝12，∵AD 平分∠PAB，PE⊥AB，DF⊥AP，∴DE＝DF，∵S△APE ＝S△APD +S△AED ，∴ ×5×12＝ ×13×DE+ ×5×DE，解得：DE＝ ； （3）解：∵PE⊥AB，∴ ＝ ，∴∠DAE＝∠OCA，∵∠DEA＝∠AEC＝90°，由射影定理得：AE2＝ CE•DE，∵ 设CD＝4 x，AE＝3x，DE＝y，∴（3x）2＝（4 x﹣y）•y，解得：y＝ x或 y＝3 x（不合题意，舍去），∴DE＝ x，CE＝3 x，在Rt△ACE中，tanC＝ ＝ ＝ ． 9.(长郡)如图，△ABC中，以AB为直径的 O分别与AC、BC交于点F、D，过点D作DE⊥AC于点E，且 CE＝FE． ⊙ （1）求证：DE是 O的切线； （2）连OE．若 ⊙ ，AB＝10，求CE的长． 资9 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解答】证明：（1）连接DF，OD，过点O作OH⊥AC于H，∵DE⊥AC，CE＝FE，∴DF＝DC， ∴∠C＝∠DFC，∵四边形ABDF是圆内接四边形，∴∠OBD+∠AFD＝180°，∵∠AFD+∠CFD＝180°， ∴∠OBD＝∠CFD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE，又∵OD为半径，∴DE是 O的切线； （2）∵OH⊥AC，DE⊥AC，OD⊥DE，⊙∴四边形ODEH是矩形，∴DE＝OH，OD＝EH，∵AB＝10， ∴AO＝OB＝OD＝EH＝5，∴DE＝ ＝ ＝4，由射影定理得：DE2＝CE×AE,∴16＝CE （10-CE），∴CE＝2或8（舍去），∴CE＝2． 10．如图，已知 O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点 A与圆心O重⊙合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC． （1）求证：PC是 O的切线； （2）点G为弧AD⊙B的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与 B、C不重合）．问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由． 解：（1）∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝ ，又∵∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝ ＝2 ，∵OC＝2，PO＝4，∴PC2+OC2＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC与 O相切； ⊙ （2）GE•GF为定值，理由如下：如图2， 资10料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 连接GA、AF、GB，∵点G为弧ADB的中点，∴ ，∴∠BAG＝∠AFG，∵∠AGE＝∠FGA， ∴△AGE∽△FGA，∴ ，∴GE•GF＝AG2，∵AB为直径，AB＝4，∴∠BAG＝∠ABG＝45°， ∴AG＝2 ，∴GE•GF＝AG2＝8． 11．如图，已知AB是半圆O直径，点C为半圆上一动点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，将△ACD 沿AC翻折，得到△ACE，AE交半 O于点F． （1）求证：直线CE与 O相切；⊙ （2）若∠OCA＝∠ECF，⊙AD＝8，EC＝6，求CF的长． 【解答】（1）证明：连接 OC，将△ACD 沿 AC 翻折，得到△ACE，∴△ACD≌△ACE，∴∠EAC＝ ∠DAC， ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OCA＝∠EAC，∴OC∥AE，∵∠AEC＝90°，∴∠ECO＝90°， ∴OC⊥EC，∴直线EC是 O的切线； （2）解：连接BC，∵AB⊙是直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴CD2＝AD•BD，∵CD＝CE＝6，AD＝8， ∴BD＝ ＝ ，AC＝ ＝10，∴AB＝8+ ＝ ，∵ AC•BC＝ AB•CD，∴BC＝ ＝ ＝7.5∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠CFE＝∠DBC， 资11料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在△CEF和△CDB中， ∴△CEF≌△CDB（AAS），∴CF＝BC＝7.5． 12．在平面直角坐标系中，已知 A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C （0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D． （1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）求点D的坐标； （3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相 切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由． 解：（1）令二次函数y＝ax2+bx+c，则 ，∴ ， ∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣ x+2． （2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（﹣ ，0），∴O′C＝ ，OO′＝ ； ∵CD为 O′切线∴O′C⊥CD，∴∠O′CO+∠OCD＝90°，∠CO'O+∠O'CO＝90°， ⊙ ∴∠CO'O＝∠DCO，∴△O'CO∽△CDO，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴OD＝ ，∴D坐标为（ ， 0）． 资12料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）存在，抛物线对称轴为x＝﹣ ，设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为（﹣ +r，|r|）或F （﹣ ﹣r，|r|），而E点在抛物线y＝﹣ x2﹣ x+2上，∴|r|＝﹣ （﹣ +r）2﹣ （﹣ +r）+2； ∴r ＝﹣1+ ，r ＝﹣1﹣ （舍去），r ＝1+ ，r ＝1﹣ （舍去）； 1 2 3 4 故以EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为 或1+ ． 资13料整理【淘宝店铺：向阳百分百】