文档内容
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学
（文史类）
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题
目要求的。
1、设集合 ，集合 ，则 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
（A）棱柱 （B）棱台
（C）圆柱 （D）圆台
3、如图，在复平面内，点 表示复数 ，则图中表示 的共轭复数的点是（ ）
（A） （B）
x
（C） （D） A C
4、设 ，集合 是奇数集，集合 是偶数集。若命题 ，则（ O y
B
D
）
（A） （B）
（C） （D）
5、抛物线 的焦点到直线 的距离是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6、函数 的部分图象如图所示，则
2
11π
的值分别是（ ）
12
O 5π
（A） （B）
12
-2（C） （D）
7、某学校随机抽取 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，
所得数据的茎叶图如图所示。以组距为 将数据分组成 ，
，…， ， 时，所作的频率分布直方图是
（ ）
8、若变量 满足约束条件 且 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值是
（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、从椭圆 上一点 向 轴作垂线，垂足恰为左焦点 ， 是椭圆与 轴正半轴
的交点， 是椭圆与 轴正半轴的交点，且 （ 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10、设函数 （ ， 为自然对数的底数）。若存在 使 成立，
则 的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
第二部分 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确
认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
D C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、 的值是____________。 O
12、如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ， A B
，则 ____________。13、已知函数 在 时取得最小值，则 ____________。
14、设 ， ，则 的值是____________。
15、在平面直角坐标系内，到点 ， ， ， 的距离之和最小的点的坐标是
_______。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
在等比数列 中， ，且 为 和 的等差中项，求数列 的首项、公比及前
项和。
17、(本小题满分12分)
在 中，角 的对边分别为 ，且 。
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求向量 在 方向上的投影。
18、(本小题满分12分)
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 在 这
个整数中等可能随机产生。
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 的值为 的概率
；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 次后，统计记录了输出 的值
为 的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。
甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）
运行 输出 的值 输出 的值 输出 的值
运行 输出 的值 输出 的值 输出 的值
次数 为 的频数 为 的频数 为 的频数
次数 为 的频数 为 的频数 为 的频数
… … … …
… … … …
当 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 的值为 的频率
（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。
19、(本小题满分12分)
如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ，
分别是线段 的中点， 是线段 上异于端点的
C
点。
D
（Ⅰ）在平面 内，试作出过点 与平面 平行的直线 ， A
P
B
说明理由，并证明直线 平面 ；
C
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 交 于点 ，求三棱锥 的体 1 D
1
B
A 1
积。（锥体体积公式： ，其中 为底面面积， 为高） 1
20、(本小题满分13分)
已知圆 的方程为 ，点 是坐标原点。直线 与圆 交于 两点。
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）设 是线段 上的点，且 。请将 表示为 的函数。21、(本小题满分14分)
已知函数 ，其中 是实数。设 ， 为该函数图象
上的两点，且 。
（Ⅰ）指出函数 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 的图象在点 处的切线互相垂直，且 ，证明： ；
（Ⅲ）若函数 的图象在点 处的切线重合，求 的取值范围。
答案：
2013 年四川省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题
目要求的．
1．（5分）（2013•四川）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（ ）
A∅ B {2} C {﹣2，2} D {﹣2，1，2，3}
． ． ． ．
考点：交集及其运算．
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专题：计算题．
分析：找出A与B的公共元素即可求出交集．
解答：解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，
∴A∩B={2}．
故选B
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
A棱柱 B 棱台 C 圆柱 D 圆台
． ． ． ．
考点：由三视图求面积、体积．
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专题：空间位置关系与距离．
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，
从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，
则该几何体可以是圆台．
故选D．点评：考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
3．（5分）（2013•四川）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是
（ ）
AA B B C C D D
． ． ． ．
考点：复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．
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专题：计算题．
分析：直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可．
解答：解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称．
所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．
故选B．
点评：本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查．
4．（5分）（2013•四川）设x Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x A，2x B，则（
）
∈ ∈ ∈
A￢p：∃x A，2x B B ￢p：∃x A，2x B C ￢p：∃x A，2x B D ￢p：∀x A，2x B
． ． ． ．
∈ ∈ ∉ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉
考点：命题的否定；特称命题．
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专题：规律型．
分析：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．
解答：解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，
∴命题p：∀x A，2x B 的否定是：
￢p：∃x A，2x B．
故选C． ∈ ∈
点评：本小题主∈要考查∉命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的
对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与
“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性
命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．
5．（5分）（2013•四川）抛物线y2=8x的焦点到直线 的距离是（ ）
A B 2 C D 1
． ． ． ．
考点：抛物线的简单性质；点到直线的距离公式．
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专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线
的距离．
解答：解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），
∴点F（2，0）到直线 的距离d= =1．
故选D．
点评：熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．6．（5分）（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）的部分图象如图所示，则
ω，φ的值分别是（ ）
A B C D
． ． ． ．
考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
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专题：三角函数的图像与性质．
分析：
根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T= =π，解得ω=2．由
函数当x= 时取得最大值2，得到 +φ= +kπ（k Z），取k=0得到φ=﹣ ．由此即可得到
本题的答案．
∈
解答：
解：∵在同一周期内，函数在x= 时取得最大值，x= 时取得最小值，
∴函数的周期T满足 = ﹣ = ，
由此可得T= =π，解得ω=2，
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
又∵当x= 时取得最大值2，
∴2sin（2• +φ）=2，可得 +φ= +2kπ（k Z）
∵ ，∴取k=0，得φ=﹣ ∈
故选：A．
点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函
数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．
7．（5分）（2013•四川）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎
叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40 时，所作的频率
分布直方图是（ ）
]A B C D
． ． ． ．
考点：频率分布直方图；茎叶图．
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专题：概率与统计．
分析：根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布
表，进而可以做出频率分布直方图．
解答：解：根据题意，频率分布表可得：
分组 频数 频率
[0，5） 1 0.05
[5，10） 1 0.05
[10，15） 4 0.20
… … …
[30，35） 3 0.15
[35，40） 2 0.10
合计 100 1.00
进而可以作频率直方图可得：
故选：A．
点评：本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并
运用．
8．（5分）（2013•四川）若变量x，y满足约束条件 且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，
则a﹣b的值是（ ）
A48 B 30 C 24 D 16
． ． ． ．
考点：简单线性规划．
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专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：先根据条件画出可行域，设z=5y﹣x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最
大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5y﹣x最大，从
而得到a﹣b的值．
解答：
解：满足约束条件 的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，
平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，
则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．
经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，
则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．
z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．
故选C．
点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中
的最优解，通常是利用平移直线法确定．
9．（5分）（2013•四川）从椭圆 上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F ，
1
A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆
的离心率是（ ）
A B C D
． ． ． ．
考点：椭圆的简单性质．
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专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
依题意，可求得点P的坐标P（﹣c， ），由AB∥OP k
AB
=k
OP
b=c，从而可得答案．
解答：解：依题意，设P（﹣c，y ）（y ＞0）， ⇒ ⇒
0 0
则 + =1，
∴y = ，
0
∴P（﹣c， ），
又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，
∴k =k ，即 = = ，
AB OP
∴b=c．
设该椭圆的离心率为e，则e2= = = = ，
∴椭圆的离心率e= ．
故选C．
点评：
本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（﹣c， ）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
10．（5分）（2013•四川）设函数 （a R，e为自然对数的底数）．若存在b [0，1
使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（ ） ∈ ∈ ]
A[1，e B [1，1+e C [e，1+e D [0，1
． ． ． ．
] ] ] ]
考点：函数的零点与方程根的关系．
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专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．
分析：根据题意，问题转化为“存在b [0，1 ，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1
（x）的图象有交点，且交点的横坐标b [0，1 ．由y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线
y=x对称，得到函数y=f（x）的∈图象与] y=x有交点，且交点横坐标b [0，1 ．因此，将方程
∈ ]
化简整理得ex=x2﹣x+a，记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，由零点存在性定理建立
∈ ]
关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．
解答：解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b）
其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b [0，1 使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b [0，1 ，使f（b）=f﹣1（b）”，
即y=f（x）的图象∈与函数] y=f﹣1（x）的图象有交点，
且交点的∈横坐标] b [0，1 ，
∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与∈函数] y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b [0，1 ，
根据 ，化简整理得ex=x2﹣x+a
∈ ]
记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，
可得 ，即 ，解之得1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1，e
故选：A
]
点评：本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b [0，1 使f（f（b））=b成立的情况下，求
参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函
数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题． ∈ ]
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）（2013•四川）lg +lg 的值是 1 ．
考点：对数的运算性质．
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专题：计算题．
分析：直接利用对数的运算性质求解即可．
解答：解： = =1．
故答案为：1．点评：本题考查对数的运算性质，基本知识的考查．
12．（5分）（2013•四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， ，则λ=
2 ．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
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专题：计算题；平面向量及应用．
分析：依题意， + = ，而 =2 ，从而可得答案．
解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴ + = ，
又O为AC的中点，
∴ =2 ，
∴ + =2 ，
∵ + =λ ，
∴λ=2．
故答案为：2．
点评：本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
13．（5分）（2013•四川）已知函数 在x=3时取得最小值，则a= 3 6
．
考点：函数在某点取得极值的条件．
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专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用．
分析：
由题设函数 在x=3时取得最小值，可得 f′（3）=0，解此方程即
可得出a的值．
解答：
解：由题设函数 在x=3时取得最小值，
∵x （0，+∞），
∴得x=3必定是函数 的极值点，
∈
∴f′（3）=0，
f′（x）=4﹣ ，
即4﹣ =0，
解得a=36．
故答案为：36．
点评：本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取
得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系．
14．（5分）（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α （ ，π），则tan2α的值是 ．
∈
考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正切．
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专题：压轴题；三角函数的求值．
分析：已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利
用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函
数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：
解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α （ ，π），
∴cosα=﹣ ，sinα= = ∈ ，
∴tanα=﹣ ，
则tan2α= = = ．
故答案为：
点评：此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解
本题的关键．
15．（5分）（2013•四川）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣
1）的距离之和最小的点的坐标是 （ 2 ， 4 ） ．
考点：一般形式的柯西不等式．
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专题：压轴题；直线与圆．
分析：如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得
PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交
点Q即为所求距离之和最小的点．再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求
交点坐标即可．
解答：解：如图，设平面直角坐标系中任一点P，
P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：
PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，
故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．
∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1），
∴AC，BD的方程分别为： ， ，
即2x﹣y=0，x+y﹣6=0．
解方程组 得Q（2，4）．
故答案为：（2，4）．
点评：本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合
思想、化归与转化思想．属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（12分）（2013•四川）在等比数列{a }中，a ﹣a =2，且2a 为3a 和a 的等差中项，求数列{a }的
n 2 1 2 1 3 n
首项、公比及前n项和．考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
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专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：
等比数列的公比为q，由已知可得，a q﹣a =2，4 ，解方程可求q，a ，然后代入
1 1 1
等比数列的求和公式可求
解答：解：设等比数列的公比为q，
由已知可得，a q﹣a =2，4
1 1
联立可得，a （q﹣1）=2，q2﹣4q+3=0
1
∴ 或q=1（舍去）
∴ =
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力
17．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣
sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣ ．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若a=4 ，b=5，求向量 在 方向上的投影．
考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的含义与物理意义；正弦定理．
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专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的
值；
（Ⅱ）利用 ，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c
的大小，然后求解向量 在 方向上的投影．
解答：
解：（Ⅰ）由 ，
可得 ，
即 ，
即 ，
因为0＜A＜π，
所以 ．
（Ⅱ）由正弦定理， ，所以 = ，
由题意可知a＞b，即A＞B，所以B= ，
由余弦定理可知 ．
解得c=1，c=﹣7（舍去）．
向量 在 方向上的投影： =ccosB= ．
点评：本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考
查计算能力转化思想．
18．（12分）（2013•四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个
整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P（i=1，2，3）；
i
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值
为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表（部分）
运行 输出y的值输出y的值输出y的值
次数n为1的频数为2的频数为3的频数
30 14 6 10
… … … …
2100 1027 376 697
乙的频数统计表（部分）
运行 输出y的值输出y的值输出y的值
次数n为1的频数为2的频数为3的频数
30 12 11 7
… … … …
2100 1051 696 353
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用
分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．
考点：程序框图；古典概型及其概率计算公式．
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专题：图表型；算法和程序框图．
分析：（I）由题意可知，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输
出y的值为1，当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，当x
从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为 ；输
出y的值为2的概率为 ；输出y的值为3的概率为 ；
（II）当n=2100时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比
较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．
解答：解：（I）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值
为1，故P = ；
1
当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P = ；
2
当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P = ；
3∴输出y的值为1的概率为 ；输出y的值为2的概率为 ；输出y的值为3的概率为 ；
（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下：
输出y的值为1的频 输出y的值为2的频 输出y的值为3的频
率 率 率
甲
乙
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．
点评：本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础
题．
19．（12分）（2013•四川）如图，在三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C中，侧棱AA 1⊥底面ABC，AB=AC=2AA
1
=2，
∠BAC=120°，D，D 分别是线段BC，B C 的中点，P是线段AD上异于端点的点．
1 1 1
（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A
1
BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面
ADD A ；
1 1
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A ﹣QC D的体积．（锥体体积公式： ，其中
1 1
S为底面面积，h为高）
考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
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专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与
平面A BC平行．
1
等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA 1⊥底面ABC，
可得 AA 1⊥l．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD
1
A
1
．
（Ⅱ）过点D作DE⊥AC，证明DE⊥平面AA
1
C
1
C．直角三角形ACD中，求出AD的值，可得
DE 的值，从而求得 = 的值，再根据三棱锥A ﹣QC D的体积
1 1
= = • •DE，运算求得结果．
解答：解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A BC内，而BC在
1
平面A BC内，
1
故直线l与平面A BC平行．
1
三角形ABC中，∵AB=AC=2AA =2，∠BAC=120°，D，D 分别是线段BC，B C 的中点，
1 1 1 1
∴AD⊥BC，∴l⊥AD．
再由AA 1⊥底面ABC，可得 AA 1⊥l．
而AA ∩AD=A，
1
∴直线l⊥平面ADD
1
A
1
．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC，
∵侧棱AA 1⊥底面ABC，故三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C为直三棱柱，
故DE⊥平面AA
1
C
1
C．
直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°= ．∵ = = =1，
∴三棱锥A ﹣QC D的体积 = = • •DE= ×1× = ．
1 1
点评：本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档
题．
20．（13分）（2013•四川）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C
交于M，N两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且 ．请将n表示为m的函数．
考点：直线与圆的位置关系；函数与方程的综合运用．
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专题：直线与圆．
分析：（Ⅰ）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交
点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范
围；
（Ⅱ）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x ，kx ），（x ，kx ），利用两点间的距
1 1 2 2
离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x +x
1 2
与x x ，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y=kx中表示出k，代入得出的关
1 2
系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可．
解答：解：（Ⅰ）将y=kx代入x2+（y﹣4）2=4中，得：（1+k2）x2﹣8kx+12=0（*），
根据题意得：△=（﹣8k）2﹣4（1+k2）×12＞0，即k2＞3，
则k的取值范围为（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）；
（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x ，kx ），（x ，kx ），
1 1 2 2
∴|OM|2=（1+k2）x 2，|ON|2=（1+k2）x 2，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，
1 2
代入 = + 得： = + ，
即 = + = ，
由（*）得到x +x = ，x x = ，
1 2 1 2
代入得： = ，即m2= ，
∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k= ，代入m2= ，化简得5n2﹣3m2=36，
由m2= 及k2＞3，得到0＜m2＜3，即m （﹣ ，0）∪（0， ），
根据题意得点Q在圆内，即n＞0， ∈
∴n= = ，
则n与m的函数关系式为n= （m （﹣ ，0）∪（0， ））．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识∈有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离
公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题．21．（14分）（2013•四川）已知函数 ，其中a是实数．设A（x ，f
1
（x ）），B（x ，f（x ））为该函数图象上的两点，且x ＜x ．
1 2 2 1 2
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x ＜0，证明：x ﹣x ≥1；
2 2 1
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
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专题：压轴题；导数的综合应用．
分析：（I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调
区间；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x ），点B处的切线的斜率为f′（x ），
1 2
再利用f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，斜率之积等于﹣1，得出（2x +2）
1
（2x +2）=﹣1，最后利用基本不等式即可证得x ﹣x ≥1；
2 2 1
（III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充
要条件列出关系式，从而得出a=lnx +（ ）2﹣1，最后利用导数研究它的单调性和最值，
2
即可得出a的取值范围．
解答：解：（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[﹣1，0），
（0，+∞）；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x ），点B处的切线的斜率为f′（x ），
1 2
函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x ）f′（x ）=﹣1，
1 2
当x＜0时，（2x +2）（2x +2）=﹣1，∵x ＜x ＜0，∴2x +2＜0，2x +2＞0，
1 2 1 2 1 2
∴x ﹣x = [﹣（2x +2）+（2x +2） ≥ =1，
2 1 1 2
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x ﹣x ≥1；
] 2 1
（III）当x ＜x ＜0，或0＜x ＜x 时，f′（x ）≠f′（x ），故x ＜0＜x ，
1 2 1 2 1 2 1 2
当x ＜0时，函数f（x）在点A（x ，f（x ））处的切线方程为y﹣（x +2x +a）=（2x +2）
1 1 1 1 1
（x﹣x ）；
1
当x ＞0时，函数f（x）在点B（x ，f（x ））处的切线方程为y﹣lnx = （x﹣x ）；
2 2 2 2 2
两直线重合的充要条件是 ，
由①及x ＜0＜x 得0＜ ＜2，由①②得a=lnx +（ ）2﹣1=﹣ln + （ ）2﹣1，
1 2 2
令t= ，则0＜t＜2，且a= t2﹣t﹣lnt，设h（t）= t2﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）
则h′（t）= t﹣1﹣ = ，∴h（t）在（0，2）为减函数，
则h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）．
点评：本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，
注意利用导数求函数的最值．
