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2014 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合 ， ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）下列函数中，定义域是 且为增函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）已知向量 ， ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）
（A） （B） 开始
（C） （D）
（5）设 、 是实数，则“ ”是“ ”的（ ） k=0，S=0
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件
否
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件
k<3
（6）已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区
是
输出S
间是（ ）
S=S+2k
(A) (B) (C) (D) 结束
k=k+1
（ 7 ） 已 知 圆 和 两 点 ，
，
若圆 上存在点 ，使得 ，则 的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 与加工
时间 （单位：分钟）满足的函数关系 （ 、 、 是 p 常数），如图记
录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加 0.8
0.7
工时间为（ ）
0.5
（A） 分钟 （B） 分钟
（C） 分钟 （D） 分钟
第二部分（非选择题 共110分）
O 3 4 5 t二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若 ，则 .
（10）设双曲线 的两个焦点为 ， ，一个顶点式 ，则 的方程为 .
（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
（12）在 中， ， ， ，则 ； .
（13）若 、 满足 ，则 的最小值为 .
2
（14）顾客请一位工艺师把 、 两件玉石原料各制成一件工艺品，
工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工， 2 1
正（主）视图 侧（左）视图
再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，
1 1
两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
俯视图
工序
时间 粗加工 精加工
原料
原料
原料
则最短交货期为 工作日.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。
（15）（本小题13分）
已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ， 且 为
等比数列.
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和.（16）（本小题13分）
y
函数 的部分图象如图所示.
y
0
（Ⅰ）写出 的最小正周期及图中 、 的值；
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值.
O x 0 x
（17）（本小题14分）
E
如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， A C
1 1
B
， ， 1
、 分别为 、 的中点.
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
A C
F
B（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求三棱锥 的体积.
（18）（本小题14分）
组号 分组 频数 频数
从某校随机抽取 100名学生，获得了他们一周课外阅读时间
1 6 组距
（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分
2 8 b
布直方图：
3 17
4 22 a
5 25
6 12
7 6
8 2
O 2 4 6 8 10 1214 16 18
9 2
阅读时间
合计 100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100名学生该周课外阅读
时间的平均数在第几组（只需写出结论）
（19）（本小题14分）
已知椭圆C： .
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线 ，点B在椭圆C上，且 ，求线段AB长度的最小值.（20）（本小题13分）已知函数 .
（Ⅰ）求 在区间 上的最大值；
（Ⅱ）若过点 存在3条直线与曲线 相切，求t的取值范围；
（Ⅲ）问过点 分别存在几条直线与曲线 相切？（只需写出结论）2014 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）答案及解析
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合 ， ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】因为 ，所以选C.
【考点】本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键.（2）下列函数中，定义域是 且为增函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】对于选项A，在R上是减函数；选项C的定义域为 ；选项D，在 上是减函数，
故选B.
【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.
（3）已知向量 ， ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，故选A.
【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题
开始
（4）执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）
（A） （B） k=0，S=0
（C） （D）
否
【答案】C
k<3
【解析】当k=0时， ；当k=1时， ；
是
当k=2时， ；当k=3时，输出 ，故选C.
输出S
S=S+2k
【考点】本小题主要考查程序框图的基础知识，难度不大，程序框图是高
考新增内容，是高考的重点知识，熟练本部分的基础知识是解答的关键. 结束
（5）设 、 是实数，则“ ”是“ ”的（ ） k=k+1
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件
【答案】D
【解析】若 ，则 ，故不充分；
若 ，则 ，而 ，故不必要，故选D.
【考点】本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.
（6）已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是（ ） (A)
(B) (C) (D)
【答案】C
【解析】因为 ，所以由根的存在性定理可知，选C.
【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的
关键.（7）已知圆 和两点 ， ，
若圆 上存在点 ，使得 ，则 的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】由题意知，点P在以原点(0,0)为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只
要两个圆有交点即可，所以 ，故选B.
【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.
（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 与加工
时间 （单位：分钟）满足的函数关系 （ 、 、 是常数），如图记录了三次
实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
（A） 分钟 （B） 分钟
（C） 分钟 （D） 分钟
【答案】B
【解析】由图形可知，三点 都在函数 的图象上，
所以 ，解得 .
所以 ，当 = 时，p取最大值，故选B.
【考点】本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，
考查同学们分析问题与解决问题的能力.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若 ，则 .
【答案】2
【解析】由题意知： ，所以由复数相等的定义知
【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复 数是高考的重点，年年必
p
考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.
0.8
（10）设双曲线 的两个焦点为 ， ，一个顶点式 0.7 ，
0.5
则 的方程为 .
【答案】
【解析】由题意知： ，所以 ，又因为双曲
O 3 4 5 t
线的焦点在x轴上，所以C的方程为 .
【考点】本小题驻澳考查双曲线方程的求解、 的关系式，考查分析问题与解决问题的能力.（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
【答案】
【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形，棱锥
的高为2，所以最长的棱长为 .
【考点】本小题主要考查立体几何的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题
的能力.
（12）在 中， ， ， ，则 ； .
【答案】2，
【解析】由余弦定理得： ，故 ；因为
，所以 .
【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正弦定理，三角函数的基本关系式等基础止水，属中
低档题目.
（13）若 、 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】1
【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线 可得，当直线经过
两条直线 与 的交点(0,1)时，z取得最小值1.
【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问
题，正确画图与平移直线是解答这类问题的关键. 2
（14）顾客请一位工艺师把 、 两件玉石原料各制成一件工艺品，
工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗 2 1
正（主）视图 侧（左）视图
加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成
1 1
后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）
如下：
俯视图
工序
时间 粗加工 精加工
原料
原料
原料
则最短交货期为 工作日.
【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为 天.
【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑思维能力，考查分析问题与解决问题的能力.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。
（15）（本小题13分）
已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ， 且 为
等比数列.
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和.
（15）（共13分）
解：（Ⅰ） 设等差数列 的公差为 ，由题意得
所以 ．
设等比数列 的公比为 ，
由题意得 ，解得 ．
所以 ．
从而
（Ⅱ）由⑴知 ．
数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ．
所以，数列 的前 项和为 ．
（16）（本小题13分）
y
函数 的部分图象如图所示.
y
0
（Ⅰ）写出 的最小正周期及图中 、 的值；
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值.
O x 0 x
（16）（共13分）
解：（Ⅰ） 的最小正周期为
．（Ⅱ） 因为 ，所以 ．
于是当 ，即 时， 取得最大值0；
当 ，即 时， 取得最小值 ．
（17）（本小题14分）
E
如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， A C
1 1
B
， ， 1
、 分别为 、 的中点.
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ； A C
（Ⅲ）求三棱锥 的体积. F
B
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）在三棱柱 中， 底面 ．
所以 ．
又因为 ．
所以 平面 ．
所以平面 平面 ．
（Ⅱ）取 中点 ，连结 ， ．
因为 ， 分别是 ， 的中点， A 1 E C 1
B
1
所以 ，且 ．
因为 ，且 ，
所以 ，且 ．
A C
所以四边形 为平行四边形． G F
B
所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（Ⅲ）因为 ， ， ，
所以 ．
所以三棱锥 的体积．
（18）（本小题14分）
从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据
分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号 分组 频数
频数
1 6
组距
2 8 b
3 17
4 22 a
5 25
6 12
7 6
8 2
O 2 4 6 8 10 1214 16 18
9 2
阅读时间
合计 100
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间
少于12小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100名学生该周课外阅读
时间的平均数在第几组（只需写出结论）
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有 名，所
以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是
．
从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为 ．
（Ⅱ）课外阅读时间落在组 的有17人，频率为 ，所以
．
课外阅读时间落在组 的有25人，频率为 ，
所以 ．
（Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．
（19）（本小题14分）
已知椭圆C： .
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线 ，点B在椭圆C上，且 ，求线段AB长度的最小值.
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由题意，椭圆 的标准方程为 ．
所以 ， ，从而 ．
因此 ， ．故椭圆 的离心率 ．
（Ⅱ）设点 ， 的坐标分别为 ， ，其中 ．
因为 ，
所以 ，
即 ，解得 ．
又 ，所以
．
因为 ，且当 时等号成立，所以 ．
故线段 长度的最小值为 ．
（20）（本小题13分）已知函数 .
（Ⅰ）求 在区间 上的最大值；
（Ⅱ）若过点 存在3条直线与曲线 相切，求t的取值范围；
（Ⅲ）问过点 分别存在几条直线与曲线 相切？（只需写出结论）
（20）（共13分）
解：（Ⅰ） 由 得 .
令 ，得 或 .因为 ， ，
所以 在区间 上的最大值为 .
（Ⅱ） 设过点 的直线与曲线 相切于点
则 且切线斜率为
所以切线方程为 ，
因此 .
整理得 .
设
则“过点 存在3条直线与曲线 相切”等价于“ 有3个不同零点”.
.
与 的情况如下：
0 1
0 0
↗
↘ ↗
所以， 是 的极大值， 是 的极小值．
当 ，即 时，此时 在区间 和 上分别至多有1个零点，
所以 至多有2个零点．
当 ，即 时，此时 在区间 和 上分别至多有1个零点，
所以 至多有2个零点．
当 且 ，即 时，因为 ，所以
分别在区间 ， 和 上恰有 个零点.由于 在区间 和 上单调，所
以 分别在区间 和 上恰有1个零点.
综上可知，当过点 存在 条直线与曲线 相切时， 的取值范围是 .
（Ⅲ） 过点 存在 条直线与曲线 相切；
过点 存在 条直线与曲线 相切；
过点 存在 条直线与曲线 相切.：
