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2014 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
(1) 已知集合 ， ，若
(A) (B) (C) (D)
(2) 下列函数中，在区间 上为增函数的是
(A) (B) (C) (D)
(3) 曲线 ，（ 为参数）的对称中心
开始
(A) 在直线 上 (B) 在直线 上 输入m,n的值
(C) 在直线 上 (D) 在直线 上 k m,S 1
(4) 当 , 时，执行如图所示的程序框图，输出的 值为
k k1
(A) 7 (B) 42 (C) 210 (D) 840
S S k
(5) 设 是公比为q的等比数列，则“ ”是“ ”为递 k m n 1
否
是
增数列的
输出S
(A) 充分且不必要条件 (B) 必要且不充分条件
结束
(C) 充分且必要条件 (D) 既非充分也非必要条件
(6) 若 满足 且 的最小值为 ，则 的值是(A) (B) (C) (D)
(7) 在空间坐标系 中，已知 ， ， ， ，若 ，
， 分别表示三棱锥 在 ， ， 则坐标平面上的正投影图形
的面积，则
(A) = = (B) = 且
(C) = 且 (D) = 且
(8) 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A同学每科成
绩不低于B同学，且至少有一颗成绩比B高，则称 “A同学比B同学成绩好，”现在
若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，
数学成绩也一样的。问满足条件的多少学生
(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D ) 5
第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(9) 复数 _____ ．
(10) 已知向量 、 满足 ， 、 且 ，则 _____ ．
(11) 在设曲线C经过点 ，且 具有相同渐近线，则C的方程是 ．
(12) 若等差数列 满足 ， ，则当 ______时， 的前
n项和最大．
(13) 把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻 ，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_____ 种．
(14) 设函数 （ 是常数， ），若 f(x)在区间
上具有单调性，且 ，则 f(x)的最小正周期为
．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。
(15)（本小题13分）
如 图 ， 在 中 ， ， ， 点 D 在 BC 边 上 ， 且 CD=2 ，
（Ⅰ）求 ．
（Ⅱ）求 ， 的长． A
B
D C(16)（本小题13分）
李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛相互独立）
场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数
主场1 22 12 客场1 18 8
主场2 15 12 客场2 13 12
主场3 12 8 客场3 21 7
主场4 23 8 客场4 18 15
主场5 24 20 客场5 25 12
（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，另
一场不超过0.6的概率；
（Ⅲ）记 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这
场比赛中的命中次数，比 和 的大小。(17)（本小题14分）
如图，正方形 的边长为 2， B，C 分别为 和 的中点，在五棱锥
中， 为 的中点，平面 与棱 ， 分别相较于点 、 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 平面 ，且A为垂足，求直线BC与平面ABF所成的角，并求线段P
的长
P
F
G
E H
D
A
C
B
M(18)（本小题13分）
已知函数 ，
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 在 上恒成立，求 的最大值与 的最小值．(19)（本小题14分）
已知椭圆 ： ．
（Ⅰ）求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆G上，点B在直线 上，且 ，求直线AB
与圆 的位置关系，并证明你的结论．(20)（本小题13分）
对 于 数 对 序 列 ， ， 记
， … ， ,
，
表示 和 两个数中最大的数．
其中
（Ⅰ）对于数对序列 ， 求 ；
， ，
（Ⅱ）记m为四个数 、 、 、 的最小值，对于两个数对 ， 组成的数对序
列 ， 和 ， ，试分别对 和 时的情况比较
和 的大小；
（Ⅲ）在由5个数对
， ， ， ， 组成的有序数对序列中，
写出一个数对序列P使 最小，并写出 的值（只需写出结论）。绝密★考试结束前
2014 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）A （3）B （4）C
（5）D （6）D （7）D （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9） 1 （10）
（11） （12）8
（13）36 （14）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：
（I）在 中，因为 ，所以 。所以
（Ⅱ）在 中，由正弦定理得
，
在 中，由余弦定理得
所以
（16）（共13分）
解：
（I） 根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别
是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过
0.6，一场不超过0.6”。
则C= ，A,B独立。
根据投篮统计数据， .所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一
场不超过0.6的概率为 .
（Ⅲ） .
（17）（共14分）
解：
（I） 在正方形中，因为B是AM的中点，所以 ∥ 。
又因为 平面PDE，
所以 ∥平面PDE，
因为 平面ABF，且平面 平面 ，
所以 ∥ 。
z
（Ⅱ）因为 底面ABCDE,所以 ， .
P
如图建立空间直角坐标系 ,则 , ,
y
F G
H
, , , E
D
A C
. B
M x
设平面ABF的法向量为 ，则即
令 ，则 。所以 ，设直线 BC 与平面 ABF 所成角为 a,则
。
设点H的坐标为 。
因为点H在棱PC上，所以可设 ，
即 。所以 。
因为 是平面ABF的法向量，所以 ，即 。
解得 ，所以点H的坐标为 。
所以
（18）（共13分）
解：
（I）由 得
。
因为在区间 上 ，所以 在区间 上单调递减。
从而 。（Ⅱ）当 时，“ ”等价于“ ”“ ”等价于“
”。
令 ，则 ，
当 时， 对任意 恒成立。
当 时，因为对任意 ， ，所以 在区间
上单调递减。从而 对任意 恒成立。
当 时，存在唯一的 使得 。
与 在区间 上的情况如下：
+ 0 -
↗ ↘
因为 在区间 上是增函数，所以 。进一步，“
对
任意 恒成立”当且仅当 ，即 ，
综上所述，当且仅当 时， 对任意 恒成立；当且仅当
时，
对任意 恒成立。
所以，若 对任意 恒成立，则a最大值为 ，b的最小值为1.（19）（共14分）
解：
（I） 由题意，椭圆C的标准方程为 。
所以 ，从而 。因此 。
故椭圆C的离心率 。
（Ⅱ）直线AB与圆 相切。证明如下：
设点A,B的坐标分别为 ， ，其中 。
因为 ，所以 ，即 ，解得 。
当 时， ，代入椭圆C的方程，得 ，
故直线AB的方程为 。圆心O到直线AB的距离 。
此时直线AB与圆 相切。
当 时，直线AB的方程为 ，
即 ，
圆心0到直线AB的距离
又 ， 故此时直线AB与圆 相切。
（20）（共13分）
解：
（I）
=8
（Ⅱ）
.
当m=a时， = =
因为 ，且 ，所以 ≤
当m=d时，
因为 ≤ ，且 所以 ≤ 。
所以无论m=a还是m=d， ≤ 都成立。
（Ⅲ）数对序列 （4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的 值最小，
=10， =26， =42， =50， =52
