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专题 08 平面直角坐标系与函数基础
考点 01 点的坐标
1．（2023·江苏连云港·中考真题）画一条水平数轴，以原点 为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，
过原点 按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为 的射线，这样就建立了
“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点 的坐标分别表示为
，则点 的坐标可以表示为 ．
2．（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积
表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的
矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和
宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为 ，那么有
序数对记为 对应的田地面积为（ ）
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A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步
3．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的边长为5， 边在
轴上． ．若将正方形 绕点 逆时针旋转 ．得到正方形 ．则点 的坐标为
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·浙江衢州·中考真题）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为
，点B的坐标为 ，则点C的坐标为 ．
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5．（2023·山东东营·中考真题）如图，一束光线从点 出发，经过y轴上的点 反射后经过点
，则 的值是 ．
6．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中， 各点坐标分别为 ， ，
．先作 关于x轴成轴对称的 ，再把 平移后得到 ．若 ，则点
坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系
， 的顶点和 均为格点（网格线的交点）．已知点A和 的坐标分别为 和 ．
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(1)在所给的网格图中描出边 的中点D，并写出点D的坐标；
(2)以点O为位似中心，将 放大得到 ，使得点A的对应点为 ，请在所给的网格图中画出
．
考点 02 点与象限
1．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪
一个点在第四象限（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程 的两根之和与两根之积分别为 ， ，则点
在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为 ，且a，b满足
，则点A在第 象限．
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4．（2024·江苏宿迁·中考真题）点 在第 象限．
5．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式 与单项式 的和仍是一个单项式，则在平面直角
坐标系中点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数 的图象在第一、三象限，则点 在第 象限．
7．（2023·山东淄博·中考真题）若实数 ， 分别满足下列条件：
（1） ；
（2） ．
试判断点 所在的象限．
8．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点 在第三象限，则 的取值范围是
．
9．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系 中，对于点 ，若x，y均为整数，则称点P为
“整点”．特别地，当 （其中 ）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点
在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则
点P到两坐标轴的距离之和大于10
10．（2023·四川广安·中考真题）已知a，b，c为常数，点 在第四象限，则关于x的一元二次方程
的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
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考点 0 3 点的坐标规律探索
1．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数 ．在平面直角坐标系中，
将点 中的 ， 分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中 ， 均为正整
数）．例如，点 经过第 次运算得到点 ．经过第 次运算得到点 ，经过第 次运算得到点
，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点 经过第 次运算后得到点是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直
角坐标系中，点 的坐标为 ，以 为边作 ，使 ， ，再以 为
边作 ，使 ， ，过点 ， ， 作弧 ，记作第1条弧；以 为边
，使 ， ，再以 为边作 ，使 ，
，过点 ， ， 作弧 ，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点 的距离
最小的点的坐标为 ．
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3．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一
行第一列瓷砖的位置记为 ，其右边瓷砖的位置记为 ，其上面瓷砖的位置记为 ，按照这样的
规律，下列说法正确的是（ ）
A． 位置是B种瓷砖 B． 位置是B种瓷砖
C． 位置是A种瓷砖 D． 位置是B种瓷砖
4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形 顶点M的坐标为
， 是等边三角形，点B坐标是 ， 在正方形 内部紧靠正方形 的边
（方向为 ）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为 ， 的
坐标是 ；第二次滚动后， 的对应点记为 ， 的坐标是 ；第三次滚动后， 的对应点记为 ，
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的坐标是 ；如此下去，……，则 的坐标是 ．
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花
朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为 ，点B的坐标为
，点C在第一象限， ．将 沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重
合，第一次滚动后，点O的对应点为 ，点C的对应点为 ， 与 的交点为 ，称点 为第一个
“花朵”的花心，点 为第二个“花朵”的花心；……；按此规律， 滚动2024次后停止滚动，则
最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
6．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的
点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当
余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点” 按上述规则连续平移 3次后，到达点 ，其平移过程如
下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点 ，则点Q的坐标为（ ）
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A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
7．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ， ， ，
，…都是平行四边形，顶点 ， ， ， ， ，…都在 轴上，顶点 ， ， ， ，…
都在正比例函数 （ ）的图象上，且 ， ， ，…，连接
， ， ， ，…，分别交射线 于点 ， ， ， ，…，连接 ， ， ，
…，得到 ， ， ，…．若 ， ， ，则 的面积为
．
8．（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，
他在计算 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到
．人们借助于这样的方法，得到 （n是正整
数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点 ，其中 ，且 是
整数．记 ，如 ，即 ，即 ，即 ，以此类推．则下列结
论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
考点 0 4 函数基础知识——自变量与函数值
1．（2025·黑龙江·中考真题）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
2．（2025·云南·中考真题）已知 是常数，函数 ，记 ．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，比较 与 的大小．
3．（2025·四川内江·中考真题）在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
5．（2023·宁夏·中考真题）如图是某种杆秤．在秤杆的点 处固定提纽，点 处挂秤盘，点 为0刻度点．
当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点 ，秤杆处于平衡．秤盘放入 克物品后移动秤砣，
当秤砣所挂位置与提扭的距离为 毫米时秤杆处于平衡．测得 与 的几组对应数据如下表：
/克 0 2 4 6 10
1
/毫米 10 18 22 30
4
由表中数据的规律可知，当 克时， 毫米．
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考点 0 5 函数基础知识——函数解析式
1．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电
解水的过程中，生成物氢气的质量 与分解的水的质量 满足我们学过的某种函数关系．下表是一
组实验数据，根据表中数据， 与 之间的函数关系式为（ ）
水的质量
氢气的质量
A． B． C． D．
2．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（ ），另一个锐角为y度，则y与x
的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ．
4．（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以 的速度射向目标M， 后测距仪L收
到M反射回的激光束．则L到M的距离 与时间 的关系式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设
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计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌
面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面
的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川雅安·中考真题）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价
和零售价如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批发价/（元/kg）
零售价/（元/kg）
(1)若他批发甲、乙两种蔬菜共 花 元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
(2)若他批发甲、乙两种蔬菜共 花m元，设批发甲种蔬菜 ，求m与n的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于 元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
考点 0 6 函数基础知识——函数图象的应用
1．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停
留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽
略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚 到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车
距各自出发地的距离y（单位： ）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列
问题：
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(1)图中a的值是_______，b的值是_______；
(2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位： ）与行驶时间x（单位：h）之
间的函数解析式；
(3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40 ．
2．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从 地出发前往 地，在整个行程中，汽车离开 地的路程
与时刻 之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．乙车先到达 地 B． 、 两地相距
C．甲车的平均速度为 D．在 时，乙车追上甲车
3．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量
与骑行里程 之间的关系如图．当电池剩余能量小于 时，摩托车将自动报警．根据
图象，下列结论正确的是（ ）
A．电池能量最多可充
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B．摩托车每行驶 消耗能量
C．一次性充满电后，摩托车最多行驶
D．摩托车充满电后，行驶 将自动报警
4．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．
如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路 向目的地B处运动．设 为x
（单位： ） 为y（单位： ）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点
，且经过 和 两点．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．点C的纵坐标为240 D．点 在该函数图象上
5．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速
的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数 与车速 之间的函数关系如图所示．下列说法中
错误的是（ ）
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为
B．当 时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
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C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于 ，车速应不低于
D．若车速从 增大到 ，则这款轮胎的摩擦系数减小
6．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 的图象可以由函数 的图象平移
得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
(1)【动手操作】
列表：
1 2 3 4 5
2 1
0 1 2 3
4 2 1
描点连线：在已画出函数 的图象的坐标系中画出函数 的图象．
(2)【探究发现】
①将反比例函数 的图象向___________平移___________个单位长度得到函数 的图象．
②上述探究方法运用的数学思想是（ ）
整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)【应用延伸】
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①将反比例函数 的图象先___________，再___________得到函数 的图象．
②函数 图象的对称中心的坐标为___________．
7．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（
）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
8．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝
尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研
究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（ ）
A． B． C． D．
考点 0 7 函数基础知识——动点问题
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形 中， ， ，动点 从点 出发沿
边 匀速运动，运动到点 时停止，过点 作 的垂线 ，在点 运动过程中，垂线 扫过菱形
（即阴影部分）的面积为 ，点 运动的路程为 ．下列图象能反映 与 之间函数关系的是（ ）
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A． B． C．
D．
2．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，在等腰直角三角形 中， ，点D为边 的中点；
动点P从点A出发，沿边 方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，
的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到 的中点时， 的长为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．4
3．（2025·湖北·中考真题）如图1，在 中， ．动点P，Q均以
的速度从点 同时出发，点 沿折线 向点 运动，点 沿边CA向点 运动．当点 运动到点
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时，两点都停止运动． 的面积 （单位： ）与运动时间 （单位：s）的关系如图2所示．
（1） ；（2） ．
4．（2025·甘肃·中考真题）如图1，在等腰直角三角形 中， ，点D为边 的中点．动点
P从点A出发，沿边 方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x， 的面积
为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到 的中点时， 的长为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．4
5．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在 中， ，点P从点A出发沿A→C→B以1
的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时， 的面积 随时间x（s）变化的函数图象，
则该三角形的斜边 的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰 中， ， ，动点E，F同
时从点A出发，分别沿射线 和射线 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F
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也随之停止运动，连接 ，以 为边向下做正方形 ，设点E运动的路程为 ，正方形
和等腰 重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形 中， ， ，菱形 的
顶点 ， 在同一水平线上，点 与 的中点重合， ， ，现将菱形 以
的速度沿 方向匀速运动，当点 运动到 上时停止，在这个运动过程中，菱形 与矩形
重叠部分的面积 与运动时间 之间的函数关系图象大致是（ ）
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A． B．
C． D．
8．（2023·江苏·中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①
开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环
进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次 的折返跑，用时 在整个过程中，他的速度大小v
（ ）随时间t（ ）变化的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在矩形 中，对角线 交于点O， ， ，
垂直于 的直线 从 出发，沿 方向以每秒 个单位长度的速度平移，当直线 与 重合时
停止运动，运动过程中 分别交矩形的对角线 于点E，F，以 为边在 左侧作正方形
，设正方形 与 重叠部分的面积为S，直线 的运动时间为ts，则下列图象能大致反
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映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
21
