2014年高考真题数学文（山东卷）（解析版）_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_山东高考数学08-22_A4版

2014 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷 第Ｉ卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 (1) 已知 是虚数单位. 若 ＝ ，则 (A) (B) (C) (D) (2) 设集合 ，则 (A) (B) (C) (D) (3) 函数 的定义域为 (A) (B) (C) (D) (4) 用反证法证明命题：“设 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的假设 是 (A) 方程 没有实根 (B) 方程 至多有一个实根 (C) 方程 至多有两个实根 (D) 方程 恰好有两个实根 (5) 已知实数 满足 ，则下列关系式恒成立的是 (A) (B) (C) (D) (6) 已知函数 的图象如右图，则下列结论成立的是 E O x (A) (B) (C) (D) (7) 已知向量 . 若向量 的夹角为 ，则实数 (A) (B) (C) 0 (D) (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： kPa）的分组区间为 ，将其按从左到右的顺序分别编号为第 一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共 有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为频率/组距 0.36 0.24 0.16 0.08 12 13 14 15 16 17 舒张压/kPa (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 18 (9) 对于函数 ，若存在常数 ，使得 取定义域内的每一个值，都有 ，则 称 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 (A) (B) (C) (D) (10) 已知 满足约束条件 当目标函数 在该约束条件下取 到最小值 时， 的最小值为 (A) 5 (B) 4 (C) (D) 2 第 II 卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. (11) 执行右面的程序框图，若输入的 的值为1，则输出的 的值为 . 开始 (12) 函数 的最小正周期为 . 输入 (13) 一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长 x 都相等，则该六棱锥的侧面积为 。 n0 (14) 圆心在直线 上的圆 与 轴的正半轴相切，圆 截 轴 所得弦的长为 ，则圆 的标准方程为 。 否 x34x30 (15) 已知双曲线 的焦距为 ，右顶点为A，抛 是 物线 的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长 xx1 输入 x 为 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为 。 三、解答题：本大题共6小题，共75分. nn1 结束 (16)（本小题满分12分） 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量 （单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测. 地区 A B C 数量 50 150 100 （Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； （II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概 率.(17) （本小题满分12分） 中，角A，B，C所对的边分别为 . 已知 . （Ｉ）求 的值； （II）求 的面积. (18)（本小题满分12分） 如图，四棱锥 中， P 分别为线段 的中点. F （Ｉ）求证： ； D （II）求证： . A E (19) （本小题满分12分） C 在等差数列 中，已知公差 ， 是 与 的等比中项. B （Ｉ）求数列 的通项公式； （II）设 ，记 ，求 . (20) （本小题满分13分） 设函数 ，其中 为常数. （Ｉ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （II）讨论函数 的单调性. (21)（本小题满分14分） 在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，直线 被椭圆 截 得的线段长为 . （Ｉ）求椭圆 的方程； （II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C上，且 ，直线BD与 轴、 轴分别交于M，N两点. （i）设直线BD，AM的斜率分别为 ，证明存在常数 使得 ，并求出 的值； （ii）求 面积的最大值.2014年高考山东卷文科数学真题及参考答案 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中， 选择符合题目要求的选项。 （1）已知 是虚数单位，若 ，则 （A） （B） （C） （D） 【解析】由 得， ， 故答案选A （2）设集合 则 （A）(0,2] （B） (1,2) （C） [1,2) （D）(1,4) 【解析】 ，数轴上表示出来得到 [1,2) 故答案为C （3）函数 的定义域为 （A） （B） （C） （D） 【解析】 故 。选D （4）用反证法证明命题“设 则方程 至少有一个实根”时要做的假设是 （A）方程 没有实根 （B）方程 至多有一个实根 （C）方程 至多有两个实根 （D）方程 恰好有两个实根 【解析】答案选A，解析略。 （5）已知实数 满足 ，则下列关系式恒成龙的是 （A） （B） （C） （D） 【解析】由 得， ，但是不可以确定 与 的大小关系，故 C、D排除，而 本身是一个周期函数，故B也不对， 正确。 （6）已知函数 的图像如右图，则下列结论成立的 是 （A） （B） （C） （D） 【解析】 由图象单调递减的性质可得 ，向左平移小于1个单位，故 答案选C （7）已知向量 .若向量 的夹角为 ，则实数 = （A） （B） （C） （D） 【解析】：答案：B （8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据（单位： kPa）的分组区间为[12,13）, [13,14）,[14,15）,[15,16].将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第 二组，……，第五组。右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组和第二组共有 20人， 第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 （A） （B） （C） （D） 【解析】：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4 答案：C （9）对于函数 ，若存在常数 ，使得 取定义域内的每一个值，都有 ，则 称 为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是 （A） （B） （C） （D） 【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。 答案：D （10）已知 满足的约束条件 当目标函数 在该约束条 件下取得最小值 时， 的最小值为 （A） （B） （C） （D） 【 解 析 】 ： 求 得 交 点 为 ， 则 ， 即 圆 心 到 直 线 的距离的平方 。 答案： B 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。 11．执行右面的程序框图，若输入的 的值为1，则输出的 的值为 。 【解析】：根据判断条件 ，得 ， 输入 第一次判断后循环， 第二次判断后循环， 第三次判断后循环， 第四次判断不满足条件，退出循环，输出 答案：3 12．函数 的最小正周期为 。 【解析】： . 答案： 13．一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面 积为 。 【解析】：设六棱锥的高为 ，斜高为 ，则由体积 得： ， 侧面积为 . 答案：12 14．圆心在直线 上的圆 与 轴的正半轴相切，圆 截 轴所得的弦的长 ，则圆 的标准方程为 。 【解析】 设圆心 ，半径为 . 由勾股定理 得： 圆心为 ，半径为2， 圆 的标准方程为 答案： 15．已知双曲线 的焦距为 ，右顶点为 ，抛物线 的焦 点为 ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为 。 【解析】 由题意知 ， 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 ， 即 代入双曲线方程为 ，得 ， 渐近线方程为 ， . 答案：1 三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （16）（本小题满分12分） 海关对同时从 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数 量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测。 地区 数量 50 150 100 （Ⅰ）求这6件样品中来自 各地区样品的数量； （Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概 率。 （16）【解析】： （Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为： 所以各地区抽取商品数为： ， ， ； （Ⅱ）设各地区商品分别为： 基本时间空间 为： ，共15个.样本时间空间为： 所以这两件商品来自同一地区的概率为： . （17）（本小题满分12分） 在 中，角 所对的边分别是 。已知 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的面积。 （17）【解析】： （Ⅰ）由题意知： ， ， 由正弦定理得： （Ⅱ）由余弦定理得： 又因为 为钝角，所以 ，即 ， 所以 （18）（本小题满分12分） 如图，四棱锥 中， , 分别为线段 的中点。 （Ⅰ）求证： （Ⅱ）求证： 【解析】：（Ⅰ）连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1,则AD=2 四边形ABCE为菱形 又 （Ⅱ） , , （19）（本小题满分12分） 在等差数列 中，已知 ， 是 与 等比中项. （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 记 ，求 . 【解析】： （Ⅰ）由题意知： 为等差数列，设 ， 为 与 的等比中项 且 ，即 ， 解得：（Ⅱ）由 （Ⅰ）知： ， ①当n为偶数时： ②当n为奇数时： 综上： （20）（本小题满分13分） 设函数 ，其中 为常数. （Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数 的单调性. 【解析】(1) (2)（21）（本小题满分14分） 在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，直线 被椭圆 截得的线段长为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆 交于 两点（ 不是椭圆 的顶点），点 在椭圆 上，且 ，直线 与 轴、 轴分别交于 两点. （i）设直线 的斜率分别为 .证明存在常数 使得 ，并求出 的值； （ii）求 面积的最大值. 【解析】(1) 设直线与椭圆交于 两点。不妨设 点为直线和椭圆在第一象限的交点。