2008年高考真题数学文（山东卷）（解析版）_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_山东高考数学08-22_A4版

2008年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学试题及答案 第Ⅰ卷（共60分） 参考公式： 锥体的体积公式： ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高． 球的表面积公式： ，其中 是球的半径． 如果事件 互斥，那么 ． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．满足 ，且 的集合 的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设 的共轭复数是 ，若 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 3．函数 的图象是（ ） y y y y x x x x π O π π O π π O π π O π     2 2 2 2 2 2 2 2 A． B． C． D． 4．给出命题：若函数 是幂函数，则函数 的图象不过第四象限．在它的 逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．设函数 则 的值为（ ） A． B． C． D． 6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 2 可得该几何体的表面积是（ ） A． B． 3 2 2 俯视图 正(主)视图侧(左)视图C． D． 7．不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 8 ． 已 知 为 的 三 个 内 角 的 对 边 ， 向 量 ． 若 ， 且 ， 则 角 的大小分别为（ ） A． B． C． D． 9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ） 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A． B． C．3 D． 10．已知 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 11．若圆 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 和 轴相切，则该圆的标 准方程是（ ） A． B． C． D． 12．已知函数 的图象如图所示，则 满足的关系 是（ ） y A． B． x O C． D． 1第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．已知圆 ．以圆 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个 焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 开始 14．执行右边的程序框图，若 ， 输入p 则输出的 ． 15．已知 ， n 1，S 0 ? 否 则 的 是 值等于 ． 1 输出 S S 2n 16．设 满足约束条件 结束 nn1 则 的最大值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分） 已知函数 （ ， ）为偶函数，且函数 图象的两相邻对称轴间的距离为 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）将函数 的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象，求 的单调递减区间． 18．（本小题满分12分） 现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 通晓日语， 通晓俄语， 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求 被选中的概率； （Ⅱ）求 和 不全被选中的概率． 19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是等边 三角形，已知 ， ． P （Ⅰ）设 是 上的一点，证明：平面 平面 ； M （Ⅱ）求四棱锥 的体积． D C A B 20．（本小题满分12分） 将数列 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 记表中的第一列数 构成的数列为 ， ． 为数列 的 前 项和，且满足 ． （Ⅰ）证明数列 成等差数列，并求数列 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比 为同一个正数．当 时，求上表中第 行所有项的和．21．（本小题满分12分） 设函数 ，已知 和 为 的极值点． （Ⅰ）求 和 的值； （Ⅱ）讨论 的单调性； （Ⅲ）设 ，试比较 与 的大小． 22．（本小题满分14分） 已知曲线 所围成的封闭图形的面积为 ，曲线 的内切圆半 径为 ．记 为以曲线 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）设 是过椭圆 中心的任意弦， 是线段 的垂直平分线． 是 上异于椭圆 中心的点． （1）若 （ 为坐标原点），当点 在椭圆 上运动时，求点 的轨迹方 程； （2）若 是 与椭圆 的交点，求 的面积的最小值． 2008年普通高等学校招生全国统一考试答案 a ,a 1．B 解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合M 中必含有 1 2, M a ,a  M a ,a ,a  则 1 2 或 1 2 4 .选B. z 2bi 2．D 解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设 ，由 zz 8z z2 22i2   i. 4b2 8,b2. z 8 8 得 选D.   y lncosx(  x ) 2 2 3．A 解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。 是偶函 数， cosx 可排除B、D，由 的值域可以确定.选A. 4．C 解析：本小题主要考查四种命题的真假。易知原命题是真命题,则其逆否命题也是 真命题, 而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 真命题 有一个。选C. 5．A 解析：本小题主要考查分段函数问题。正确利用分段函数来进行分段求值。  1  1 1 15  f  f( )1  .    f(2)4,  f(2) 4 16 16 选A. 6．D 解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由 S 412 12221312. 一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为 选 D。 x1 x0 7．D解析：本小题主要考查分式不等式的解法。易知 排除B;由 符合可排除C; x3 由 排除A, 故选D。也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解。 8．C 解析：本小题主要考查解三角形问题。  A ;  3cosAsin A0 3 sin AcosBsinBcosAsin2C,  C  . sin AcosBsinBcosAsin(AB)sinC sin2C 2 ， π B 6 .选C. 本题在求角B时,也可用验证法. 9．B 解析：本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。 10040906010 x 3,  100 1 S2  [(x x)2 (x x)2  (x x)2] n 1 2  n 1 160 8 2 10  [2022 1012 3012 1022]   , S  . 100 100 5 5 选B. 10．C 解 析 主 要 考 查 三 角 函 数 变 换 与 求 值 。 3 3 4 1 3 4 cos( )sin cos sin 3 cos sin 6 2 2 5 2 2 5 ， 7   3 1  4 sin( )sin( ) sin cos .   6 6 2 2 5   选C. 11．B 解析：本小题主要考查圆与直线相切问题。 |4a3| 1 d  1,a2(舍 ). (a,1), 5 2 设圆心为 由已知得 选B. 12．A 解析：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 a 1,0a1 1; x01 y log b0, 由图易得 取特殊点 a 1 1log log blog 10, a a a a 0a1 b1 .选A. 二、填空题 x2 y2  1 4 12 13． 解 析 ： 本 小 题 主 要 考 查 圆 、 双 曲 线 的 性 质 。 圆 C:x2  y2 6x4y80 y 0 x2 6x80, C (2，0), (4，0), 得圆 与坐标轴的交点分别为 x2 y2  1 a 2,c4,b2 12, 4 12 则 所以双曲线的标准方程为 14．4 解析：本小题主要考查程序框图。 1 1 1   0.8 2 4 8 n4. ，因此输出 15．2008 解析：本小题主要考查对数函数问题。 f(3x)4xlog 32334log 3x 233,  2 2  f(x)4log x233, f(2) f(4) f(8)  f(28) 2  82334(log 22log 23log 2 8log 2)18641442008. 2 2 2  2 16．11 解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个 顶点 (0，0), (0，2), (2，0), (3，5), (3，5) 分别为 验证知在点 时取得最大值11.三、解答题 17．解：（Ⅰ） ． 因为 为偶函数， 所以对 ， 恒成立， 因此 ． 即 ， 整理得 ． 因为 ，且 ， 所以 ． 又因为 ， 故 ． 所以 ． 由题意得 ，所以 ． 故 ． 因此 ． （Ⅱ）将 的图象向右平移 个单位后，得到 的图象，所以 ． 当 （ ）， 即 （ ）时， 单调递减， 因此 的单调递减区间为 （ ）． 18．解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的 基本事件空间 { ， ， ， ， ， ， ， ， } 由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生 是等可能的． 用 表示“ 恰被选中”这一事件，则 { ， } 事件 由6个基本事件组成， 因而 ． （Ⅱ）用 表示“ 不全被选中”这一事件，则其对立事件 表示“ 全被选 中”这一事件， 由于 { }，事件 有3个基本事件组成， 所以 ，由对立事件的概率公式得 ． 19．（Ⅰ）证明：在 中， 由于 ， ， ， 所以 ． P 故 ． 又平面 平面 ，平面 平面 ， M D C O A B平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ， 故平面 平面 ． （Ⅱ）解：过 作 交 于 ， 由于平面 平面 ， 所以 平面 ． 因此 为四棱锥 的高， 又 是边长为4的等边三角形． 因此 ． 在底面四边形 中， ， ， 所以四边形 是梯形，在 中，斜边 边上的高为 ， 此即为梯形 的高， 所以四边形 的面积为 ． 故 ． 20．（Ⅰ）证明：由已知，当 时， ， 又 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 又 ． 所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列． 由上可知 ，即 ． 所以当 时， ． 因此 （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为 ，且 ． 因为 ， 所以表中第1行至第12行共含有数列 的前78项， 故 在表中第13行第三列， 因此 ． 又 ， 所以 ． 记表中第 行所有项的和为 ， 则 ． 21．解：（Ⅰ）因为 ， 又 和 为 的极值点，所以 ， 因此 解方程组得 ， ． （Ⅱ）因为 ， ， 所以 ，令 ，解得 ， ， ． 因为当 时， ； 当 时， ． 所以 在 和 上是单调递增的； 在 和 上是单调递减的． （Ⅲ）由（Ⅰ）可知 ， 故 ， 令 ， 则 ． 令 ，得 ， 因为 时， ， 所以 在 上单调递减． 故 时， ； 因为 时， ， 所以 在 上单调递增． 故 时， ． 所以对任意 ，恒有 ，又 ， 因此 ， 故对任意 ，恒有 ． 22．解：（Ⅰ）由题意得 又 ，解得 ， ． 因此所求椭圆的标准方程为 ． （Ⅱ）（1）假设 所在的直线斜率存在且不为零，设 所在直线方程为 ， ． 解方程组 得 ， ， 所以 ． 设 ，由题意知 ， 所以 ，即 ， 因为 是 的垂直平分线， 所以直线 的方程为 ， 即 ， 因此 ， 又 ， 所以 ， 故 ． 又当 或不存在时，上式仍然成立． 综上所述， 的轨迹方程为 ．（2）当 存在且 时，由（1）得 ， ， 由 解得 ， ， 所以 ， ， ． 解法一：由于 ， 当且仅当 时等号成立，即 时等号成立，此时 面积的最小 值是 ． 当 ， ． 当 不存在时， ． 综上所述， 的面积的最小值为 ． 解法二：因为 ， 又 ， ，当且仅当 时等号成立，即 时等号成立， 此时 面积的最小值是 ． 当 ， ． 当 不存在时， ． 综上所述， 的面积的最小值为 ．